Theorem salgencld 43778

Description: SalGen actually generates a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salgencld.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
salgencld.2	⊢ 𝑆 = (SalGen‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
salgencld	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Proof of Theorem salgencld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salgencld.2	. 2 ⊢ 𝑆 = (SalGen‘𝑋)
2		salgencld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		salgencl 43761	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (SalGen‘𝑋) ∈ SAlg)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (SalGen‘𝑋) ∈ SAlg)
5	1, 4	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  SAlgcsalg 43739  SalGencsalgen 43743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-salg 43740  df-salgen 43744

This theorem is referenced by:  bor1sal  43784  cnfsmf  44163  incsmf  44165  bormflebmf  44176  decsmf  44189  smf2id  44222  smfco  44223