Theorem salgencld 42989

Description: SalGen actually generates a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salgencld.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
salgencld.2	⊢ 𝑆 = (SalGen‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
salgencld	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Proof of Theorem salgencld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salgencld.2	. 2 ⊢ 𝑆 = (SalGen‘𝑋)
2		salgencld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		salgencl 42972	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (SalGen‘𝑋) ∈ SAlg)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (SalGen‘𝑋) ∈ SAlg)
5	1, 4	eqeltrid 2894	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  SAlgcsalg 42950  SalGencsalgen 42954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-salg 42951  df-salgen 42955

This theorem is referenced by:  bor1sal  42995  cnfsmf  43374  incsmf  43376  bormflebmf  43387  decsmf  43400  smf2id  43433  smfco  43434