Theorem salgencld 42631

Description: SalGen actually generates a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salgencld.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
salgencld.2	⊢ 𝑆 = (SalGen‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
salgencld	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Proof of Theorem salgencld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salgencld.2	. 2 ⊢ 𝑆 = (SalGen‘𝑋)
2		salgencld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		salgencl 42614	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (SalGen‘𝑋) ∈ SAlg)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (SalGen‘𝑋) ∈ SAlg)
5	1, 4	eqeltrid 2917	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6354  SAlgcsalg 42592  SalGencsalgen 42596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fv 6362  df-salg 42593  df-salgen 42597

This theorem is referenced by:  bor1sal  42637  cnfsmf  43016  incsmf  43018  bormflebmf  43029  decsmf  43042  smf2id  43075  smfco  43076