Theorem salgencld 47091

Description: SalGen actually generates a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salgencld.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
salgencld.2	⊢ 𝑆 = (SalGen‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
salgencld	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Proof of Theorem salgencld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salgencld.2	. 2 ⊢ 𝑆 = (SalGen‘𝑋)
2		salgencld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		salgencl 47074	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (SalGen‘𝑋) ∈ SAlg)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (SalGen‘𝑋) ∈ SAlg)
5	1, 4	eqeltrid 2866	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  SAlgcsalg 47050  SalGencsalgen 47054

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-salg 47051  df-salgen 47055

This theorem is used by:  bor1sal  47097  cnfsmf  47482  incsmf  47484  bormflebmf  47495  decsmf  47509  smf2id  47543  smfco  47544