Theorem smf2id 45976

Description: Twice the identity function is Borel sigma-measurable (just an example, to test previous general theorems). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smf2id.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smf2id.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smf2id.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smf2id	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem smf2id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1916	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smf2id.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 24598	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2828	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		smf2id.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7	5, 6	salgencld 45524	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
8		reex 11207	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
10		smf2id.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
11	9, 10	ssexd 5324	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
12	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	12, 13	sseldd 3983	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		2re 12293	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
17	2, 6, 10	smfid 45927	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))
18	1, 7, 11, 14, 16, 17	smfmulc1 45971	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ⊆ wss 3948   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11115   · cmul 11121  2c2 12274  (,)cioo 13331  topGenctg 17390  Topctop 22715  SalGencsalgen 45487  SMblFncsmblfn 45870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cc 10436  ax-ac2 10464  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-acn 9943  df-ac 10117  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-word 14472  df-concat 14528  df-s1 14553  df-s2 14806  df-s3 14807  df-s4 14808  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-top 22716  df-bases 22769  df-salg 45484  df-salgen 45488  df-smblfn 45871

This theorem is referenced by: (None)