Theorem smf2id 47733

Description: Twice the identity function is Borel sigma-measurable (just an example, to test previous general theorems). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smf2id.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smf2id.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smf2id.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smf2id	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem smf2id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smf2id.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 25042	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		smf2id.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7	5, 6	salgencld 47281	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
8		reex 11263	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
10		smf2id.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
11	9, 10	ssexd 5285	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
12	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	12, 13	sseldd 3931	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		2re 12387	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
17	2, 6, 10	smfid 47684	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))
18	1, 7, 11, 14, 16, 17	smfmulc1 47728	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3898   ↦ cmpt 5185  ran crn 5648  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℝcr 11171   · cmul 11177  2c2 12367  (,)cioo 13446  topGenctg 17570  Topctop 23173  SalGencsalgen 47244  SMblFncsmblfn 47627

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cc 10485  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9992  df-acn 9995  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-q 13046  df-rp 13091  df-ioo 13450  df-ioc 13451  df-ico 13452  df-icc 13453  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-fl 13901  df-seq 14114  df-exp 14174  df-hash 14443  df-word 14627  df-concat 14684  df-s1 14711  df-s2 14967  df-s3 14968  df-s4 14969  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-rest 17555  df-topgen 17576  df-top 23174  df-bases 23226  df-salg 47241  df-salgen 47245  df-smblfn 47628

This theorem is used by: (None)