Theorem smf2id 46792

Description: Twice the identity function is Borel sigma-measurable (just an example, to test previous general theorems). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smf2id.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smf2id.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smf2id.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smf2id	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem smf2id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smf2id.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 24655	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2825	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		smf2id.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7	5, 6	salgencld 46340	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
8		reex 11165	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
10		smf2id.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
11	9, 10	ssexd 5281	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
12	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	12, 13	sseldd 3949	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		2re 12261	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
17	2, 6, 10	smfid 46743	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))
18	1, 7, 11, 14, 16, 17	smfmulc1 46787	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3916   ↦ cmpt 5190  ran crn 5641  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℝcr 11073   · cmul 11079  2c2 12242  (,)cioo 13312  topGenctg 17406  Topctop 22786  SalGencsalgen 46303  SMblFncsmblfn 46686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cc 10394  ax-ac2 10422  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-oadd 8440  df-omul 8441  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-card 9898  df-acn 9901  df-ac 10075  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-ioo 13316  df-ioc 13317  df-ico 13318  df-icc 13319  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14302  df-word 14485  df-concat 14542  df-s1 14567  df-s2 14820  df-s3 14821  df-s4 14822  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-rest 17391  df-topgen 17412  df-top 22787  df-bases 22839  df-salg 46300  df-salgen 46304  df-smblfn 46687

This theorem is referenced by: (None)