Theorem smf2id 47631

Description: Twice the identity function is Borel sigma-measurable (just an example, to test previous general theorems). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smf2id.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smf2id.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smf2id.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smf2id	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem smf2id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smf2id.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 24991	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2858	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		smf2id.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7	5, 6	salgencld 47179	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
8		reex 11218	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
10		smf2id.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
11	9, 10	ssexd 5293	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
12	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	12, 13	sseldd 3935	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		2re 12342	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
17	2, 6, 10	smfid 47582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))
18	1, 7, 11, 14, 16, 17	smfmulc1 47626	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5190  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℝcr 11126   · cmul 11132  2c2 12322  (,)cioo 13400  topGenctg 17526  Topctop 23122  SalGencsalgen 47142  SMblFncsmblfn 47525

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cc 10440  ax-ac2 10468  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-acn 9950  df-ac 10122  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-s4 14923  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-rest 17511  df-topgen 17532  df-top 23123  df-bases 23175  df-salg 47139  df-salgen 47143  df-smblfn 47526

This theorem is used by: (None)