Theorem decsmf 46784

Description: A real-valued, nonincreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decsmf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
decsmf.y	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
decsmf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
decsmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
decsmf.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
decsmf.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
decsmf.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
decsmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem decsmf

Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1915	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		decsmf.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 24669	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2825	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		decsmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7	5, 6	salgencld 46366	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
8		decsmf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
9	5, 6	unisalgen2 46371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ 𝐽)
10	2	unieqi 4869	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,)))
12		uniretop 24670	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
13	12	eqcomi 2739	. . . . 5 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ)
15	9, 11, 14	3eqtrrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐵)
16	8, 15	sseqtrd 3969	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
17		decsmf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
18		decsmf.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
19		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
20	18, 19	nfan 1900	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
21		decsmf.y	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
22		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑎 ∈ ℝ
23	21, 22	nfan 1900	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
24	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
25	17	frexr 45402	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
26	25	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
27		decsmf.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
28		breq1 5092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑦))
29		fveq2 6817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑤))
30	29	breq2d 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤)))
31	28, 30	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤))))
32		breq2 5093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑤 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑧))
33		fveq2 6817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧))
34	33	breq1d 5099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
35	32, 34	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤))))
36	31, 35	cbvral2vw 3212	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
37	27, 36	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
39	38, 36	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
40		rexr 11150	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
41	40	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
42		eqid 2730	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)}
43		fveq2 6817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑥))
44	43	breq2d 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑎 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)))
45	44	cbvrabv 3403	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)}
46	45	supeq1i 9326	. . . 4 ⊢ sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < ) = sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)}, ℝ*, < )
47		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (-∞(,)sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < )) = (-∞(,)sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < ))
48		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (-∞(,]sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < )) = (-∞(,]sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < ))
49	20, 23, 24, 26, 39, 2, 6, 41, 42, 46, 47, 48	decsmflem 46783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴))
50	7	elexd 3458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
51		reex 11089	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
52	51	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
53	52, 8	ssexd 5260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
54		elrest 17323	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
55	50, 53, 54	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
56	55	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
57	49, 56	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴))
58	1, 7, 16, 17, 57	issmfgtd 46778	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {crab 3393  Vcvv 3434   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4857   class class class wbr 5089  ran crn 5615  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  supcsup 9319  ℝcr 10997  -∞cmnf 11136  ℝ^*cxr 11137   < clt 11138   ≤ cle 11139  (,)cioo 13237  (,]cioc 13238   ↾_t crest 17316  topGenctg 17333  Topctop 22801  SAlgcsalg 46325  SalGencsalgen 46329  SMblFncsmblfn 46712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cc 10318  ax-ac2 10346  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-card 9824  df-acn 9827  df-ac 9999  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-ioo 13241  df-ioc 13242  df-ico 13243  df-fl 13688  df-rest 17318  df-topgen 17339  df-top 22802  df-bases 22854  df-salg 46326  df-salgen 46330  df-smblfn 46713

This theorem is referenced by: (None)