Theorem decsmf 44189

Description: A real-valued, nonincreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decsmf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
decsmf.y	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
decsmf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
decsmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
decsmf.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
decsmf.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
decsmf.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
decsmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem decsmf

Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1918	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		decsmf.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 23831	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2835	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		decsmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7	5, 6	salgencld 43778	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
8		decsmf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
9	5, 6	unisalgen2 43783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ 𝐽)
10	2	unieqi 4849	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,)))
12		uniretop 23832	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
13	12	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ)
15	9, 11, 14	3eqtrrd 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐵)
16	8, 15	sseqtrd 3957	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
17		decsmf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
18		decsmf.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
19		nfv 1918	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
20	18, 19	nfan 1903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
21		decsmf.y	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
22		nfv 1918	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑎 ∈ ℝ
23	21, 22	nfan 1903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
24	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
25	17	frexr 42814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
26	25	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
27		decsmf.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
28		breq1 5073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑦))
29		fveq2 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑤))
30	29	breq2d 5082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤)))
31	28, 30	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤))))
32		breq2 5074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑤 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑧))
33		fveq2 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧))
34	33	breq1d 5080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
35	32, 34	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤))))
36	31, 35	cbvral2vw 3385	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
37	27, 36	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
39	38, 36	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
40		rexr 10952	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
41	40	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
42		eqid 2738	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)}
43		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑥))
44	43	breq2d 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑎 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)))
45	44	cbvrabv 3416	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)}
46	45	supeq1i 9136	. . . 4 ⊢ sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < ) = sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)}, ℝ*, < )
47		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (-∞(,)sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < )) = (-∞(,)sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < ))
48		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (-∞(,]sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < )) = (-∞(,]sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < ))
49	20, 23, 24, 26, 39, 2, 6, 41, 42, 46, 47, 48	decsmflem 44188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴))
50	7	elexd 3442	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
51		reex 10893	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
52	51	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
53	52, 8	ssexd 5243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
54		elrest 17055	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
55	50, 53, 54	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
56	55	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
57	49, 56	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴))
58	1, 7, 16, 17, 57	issmfgtd 44183	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5070  ran crn 5581  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  supcsup 9129  ℝcr 10801  -∞cmnf 10938  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  (,)cioo 13008  (,]cioc 13009   ↾_t crest 17048  topGenctg 17065  Topctop 21950  SAlgcsalg 43739  SalGencsalgen 43743  SMblFncsmblfn 44123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-fl 13440  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-top 21951  df-bases 22004  df-salg 43740  df-salgen 43744  df-smblfn 44124

This theorem is referenced by: (None)