Theorem decsmf 46782

Description: A real-valued, nonincreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decsmf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
decsmf.y	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
decsmf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
decsmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
decsmf.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
decsmf.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
decsmf.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
decsmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem decsmf

Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		decsmf.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 24782	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2837	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		decsmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7	5, 6	salgencld 46364	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
8		decsmf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
9	5, 6	unisalgen2 46369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ 𝐽)
10	2	unieqi 4919	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,)))
12		uniretop 24783	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
13	12	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ)
15	9, 11, 14	3eqtrrd 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐵)
16	8, 15	sseqtrd 4020	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
17		decsmf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
18		decsmf.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
19		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
20	18, 19	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
21		decsmf.y	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
22		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑎 ∈ ℝ
23	21, 22	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
24	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
25	17	frexr 45396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
26	25	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
27		decsmf.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
28		breq1 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑦))
29		fveq2 6906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑤))
30	29	breq2d 5155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤)))
31	28, 30	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤))))
32		breq2 5147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑤 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑧))
33		fveq2 6906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧))
34	33	breq1d 5153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
35	32, 34	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤))))
36	31, 35	cbvral2vw 3241	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
37	27, 36	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
39	38, 36	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
40		rexr 11307	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
41	40	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
42		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)}
43		fveq2 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑥))
44	43	breq2d 5155	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑎 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)))
45	44	cbvrabv 3447	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)}
46	45	supeq1i 9487	. . . 4 ⊢ sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < ) = sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)}, ℝ*, < )
47		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (-∞(,)sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < )) = (-∞(,)sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < ))
48		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (-∞(,]sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < )) = (-∞(,]sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < ))
49	20, 23, 24, 26, 39, 2, 6, 41, 42, 46, 47, 48	decsmflem 46781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴))
50	7	elexd 3504	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
51		reex 11246	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
52	51	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
53	52, 8	ssexd 5324	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
54		elrest 17472	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
55	50, 53, 54	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
56	55	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
57	49, 56	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴))
58	1, 7, 16, 17, 57	issmfgtd 46776	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5143  ran crn 5686  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  ℝcr 11154  -∞cmnf 11293  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388   ↾_t crest 17465  topGenctg 17482  Topctop 22899  SAlgcsalg 46323  SalGencsalgen 46327  SMblFncsmblfn 46710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-fl 13832  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-top 22900  df-bases 22953  df-salg 46324  df-salgen 46328  df-smblfn 46711

This theorem is referenced by: (None)