Theorem decsmf 44692

Description: A real-valued, nonincreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decsmf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
decsmf.y	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
decsmf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
decsmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
decsmf.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
decsmf.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
decsmf.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
decsmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem decsmf

Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		decsmf.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 24031	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2834	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		decsmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7	5, 6	salgencld 44274	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
8		decsmf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
9	5, 6	unisalgen2 44279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ 𝐽)
10	2	unieqi 4870	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,)))
12		uniretop 24032	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
13	12	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ)
15	9, 11, 14	3eqtrrd 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐵)
16	8, 15	sseqtrd 3976	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
17		decsmf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
18		decsmf.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
19		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
20	18, 19	nfan 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
21		decsmf.y	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
22		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑎 ∈ ℝ
23	21, 22	nfan 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
24	8	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
25	17	frexr 43309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
26	25	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
27		decsmf.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
28		breq1 5100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑦))
29		fveq2 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑤))
30	29	breq2d 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤)))
31	28, 30	imbi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤))))
32		breq2 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑤 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑧))
33		fveq2 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧))
34	33	breq1d 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
35	32, 34	imbi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤))))
36	31, 35	cbvral2vw 3224	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
37	27, 36	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
38	37	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
39	38, 36	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
40		rexr 11127	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
41	40	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
42		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)}
43		fveq2 6830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑥))
44	43	breq2d 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑎 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)))
45	44	cbvrabv 3414	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)}
46	45	supeq1i 9309	. . . 4 ⊢ sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < ) = sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)}, ℝ*, < )
47		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (-∞(,)sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < )) = (-∞(,)sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < ))
48		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (-∞(,]sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < )) = (-∞(,]sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < ))
49	20, 23, 24, 26, 39, 2, 6, 41, 42, 46, 47, 48	decsmflem 44691	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴))
50	7	elexd 3462	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
51		reex 11068	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
52	51	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
53	52, 8	ssexd 5273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
54		elrest 17236	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
55	50, 53, 54	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
56	55	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
57	49, 56	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴))
58	1, 7, 16, 17, 57	issmfgtd 44686	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3404  Vcvv 3442   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4857   class class class wbr 5097  ran crn 5626  ⟶wf 6480  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342  supcsup 9302  ℝcr 10976  -∞cmnf 11113  ℝ^*cxr 11114   < clt 11115   ≤ cle 11116  (,)cioo 13185  (,]cioc 13186   ↾_t crest 17229  topGenctg 17246  Topctop 22148  SAlgcsalg 44235  SalGencsalgen 44239  SMblFncsmblfn 44620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-inf2 9503  ax-cc 10297  ax-ac2 10325  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-map 8693  df-pm 8694  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-sup 9304  df-inf 9305  df-card 9801  df-acn 9804  df-ac 9978  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-q 12795  df-rp 12837  df-ioo 13189  df-ioc 13190  df-ico 13191  df-fl 13618  df-rest 17231  df-topgen 17252  df-top 22149  df-bases 22202  df-salg 44236  df-salgen 44240  df-smblfn 44621

This theorem is referenced by: (None)