Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnfsmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfsmf 45941
Description: A continuous function is measurable. Proposition 121D (b) of [Fremlin1] p. 36 is a special case of this theorem, where the topology on the domain is induced by the standard topology on n-dimensional Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfsmf.1 (𝜑𝐽 ∈ Top)
cnfsmf.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
cnfsmf.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t dom 𝐹) Cn 𝐾))
cnfsmf.s 𝑆 = (SalGen‘𝐽)
Assertion
Ref Expression
cnfsmf (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem cnfsmf
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . 2 𝑎𝜑
2 cnfsmf.1 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
3 cnfsmf.s . . 3 𝑆 = (SalGen‘𝐽)
42, 3salgencld 45550 . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
5 cnfsmf.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t dom 𝐹) Cn 𝐾))
6 eqid 2724 . . . . . 6 (𝐽t dom 𝐹) = (𝐽t dom 𝐹)
7 eqid 2724 . . . . . 6 𝐾 = 𝐾
86, 7cnf 23072 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((𝐽t dom 𝐹) Cn 𝐾) → 𝐹: (𝐽t dom 𝐹)⟶ 𝐾)
95, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹: (𝐽t dom 𝐹)⟶ 𝐾)
109fdmd 6718 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐽t dom 𝐹))
11 ovex 7434 . . . . . . . 8 (𝐽t dom 𝐹) ∈ V
1211uniex 7724 . . . . . . 7 (𝐽t dom 𝐹) ∈ V
1312a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 (𝐽t dom 𝐹) ∈ V)
1410, 13eqeltrd 2825 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
152, 14unirestss 44301 . . . 4 (𝜑 (𝐽t dom 𝐹) ⊆ 𝐽)
163sssalgen 45536 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝑆)
172, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽𝑆)
1817unissd 4909 . . . 4 (𝜑 𝐽 𝑆)
1915, 18sstrd 3984 . . 3 (𝜑 (𝐽t dom 𝐹) ⊆ 𝑆)
2010, 19eqsstrd 4012 . 2 (𝜑 → dom 𝐹 𝑆)
21 uniretop 24601 . . . . . . 7 ℝ = (topGen‘ran (,))
22 cnfsmf.k . . . . . . . 8 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2322unieqi 4911 . . . . . . 7 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2421, 23eqtr4i 2755 . . . . . 6 ℝ = 𝐾
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ = 𝐾)
2625feq3d 6694 . . . 4 (𝜑 → (𝐹: (𝐽t dom 𝐹)⟶ℝ ↔ 𝐹: (𝐽t dom 𝐹)⟶ 𝐾))
279, 26mpbird 257 . . 3 (𝜑𝐹: (𝐽t dom 𝐹)⟶ℝ)
2827ffdmd 6738 . 2 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
29 ssrest 23002 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐽𝑆) → (𝐽t dom 𝐹) ⊆ (𝑆t dom 𝐹))
304, 17, 29syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝐽t dom 𝐹) ⊆ (𝑆t dom 𝐹))
3130adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐽t dom 𝐹) ⊆ (𝑆t dom 𝐹))
3210rabeqdv 3439 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = {𝑥 (𝐽t dom 𝐹) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎})
3332adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = {𝑥 (𝐽t dom 𝐹) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎})
34 nfcv 2895 . . . . 5 𝑥𝑎
35 nfcv 2895 . . . . 5 𝑥𝐹
36 nfv 1909 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
37 eqid 2724 . . . . 5 {𝑥 (𝐽t dom 𝐹) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = {𝑥 (𝐽t dom 𝐹) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}
38 rexr 11257 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
3938adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
405adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ ((𝐽t dom 𝐹) Cn 𝐾))
4134, 35, 36, 22, 6, 37, 39, 40rfcnpre2 44204 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝐽t dom 𝐹) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐽t dom 𝐹))
4233, 41eqeltrd 2825 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐽t dom 𝐹))
4331, 42sseldd 3975 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))
441, 4, 20, 28, 43issmfd 45936 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466  wss 3940   cuni 4899   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  ran crn 5667  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  cr 11105  *cxr 11244   < clt 11245  (,)cioo 13321  t crest 17365  topGenctg 17382  Topctop 22717   Cn ccn 23050  SAlgcsalg 45509  SalGencsalgen 45513  SMblFncsmblfn 45896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-top 22718  df-topon 22735  df-bases 22771  df-cn 23053  df-salg 45510  df-salgen 45514  df-smblfn 45897
This theorem is referenced by:  cnfrrnsmf  45952
  Copyright terms: Public domain W3C validator