Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnfsmf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnfsmf 45442
Description: A continuous function is measurable. Proposition 121D (b) of [Fremlin1] p. 36 is a special case of this theorem, where the topology on the domain is induced by the standard topology on n-dimensional Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfsmf.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
cnfsmf.k 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
cnfsmf.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt dom 𝐹) Cn 𝐾))
cnfsmf.s 𝑆 = (SalGenβ€˜π½)
Assertion
Ref Expression
cnfsmf (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Proof of Theorem cnfsmf
Dummy variables π‘Ž π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1917 . 2 β„²π‘Žπœ‘
2 cnfsmf.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 cnfsmf.s . . 3 𝑆 = (SalGenβ€˜π½)
42, 3salgencld 45051 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
5 cnfsmf.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt dom 𝐹) Cn 𝐾))
6 eqid 2732 . . . . . 6 βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹)
7 eqid 2732 . . . . . 6 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
86, 7cnf 22741 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt dom 𝐹) Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹)⟢βˆͺ 𝐾)
95, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹)⟢βˆͺ 𝐾)
109fdmd 6725 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹))
11 ovex 7438 . . . . . . . 8 (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∈ V
1211uniex 7727 . . . . . . 7 βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∈ V
1312a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∈ V)
1410, 13eqeltrd 2833 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ V)
152, 14unirestss 43798 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† βˆͺ 𝐽)
163sssalgen 45037 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 βŠ† 𝑆)
172, 16syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝑆)
1817unissd 4917 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝑆)
1915, 18sstrd 3991 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† βˆͺ 𝑆)
2010, 19eqsstrd 4019 . 2 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
21 uniretop 24270 . . . . . . 7 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
22 cnfsmf.k . . . . . . . 8 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
2322unieqi 4920 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
2421, 23eqtr4i 2763 . . . . . 6 ℝ = βˆͺ 𝐾
2524a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ = βˆͺ 𝐾)
2625feq3d 6701 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹)βŸΆβ„ ↔ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹)⟢βˆͺ 𝐾))
279, 26mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹)βŸΆβ„)
2827ffdmd 6745 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
29 ssrest 22671 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐽 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
304, 17, 29syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
3130adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
3210rabeqdv 3447 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž})
3332adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž})
34 nfcv 2903 . . . . 5 β„²π‘₯π‘Ž
35 nfcv 2903 . . . . 5 β„²π‘₯𝐹
36 nfv 1917 . . . . 5 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ)
37 eqid 2732 . . . . 5 {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž}
38 rexr 11256 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
3938adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
405adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt dom 𝐹) Cn 𝐾))
4134, 35, 36, 22, 6, 37, 39, 40rfcnpre2 43700 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹))
4233, 41eqeltrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹))
4331, 42sseldd 3982 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
441, 4, 20, 28, 43issmfd 45437 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ran crn 5676  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  β„*cxr 11243   < clt 11244  (,)cioo 13320   β†Ύt crest 17362  topGenctg 17379  Topctop 22386   Cn ccn 22719  SAlgcsalg 45010  SalGencsalgen 45014  SMblFncsmblfn 45397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cn 22722  df-salg 45011  df-salgen 45015  df-smblfn 45398
This theorem is referenced by:  cnfrrnsmf  45453
  Copyright terms: Public domain W3C validator