Theorem cnfsmf 45941

Description: A continuous function is measurable. Proposition 121D (b) of [Fremlin1] p. 36 is a special case of this theorem, where the topology on the domain is induced by the standard topology on n-dimensional Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfsmf.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
cnfsmf.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
cnfsmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾))
cnfsmf.s	⊢ 𝑆 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
cnfsmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem cnfsmf

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1909	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		cnfsmf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3		cnfsmf.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SalGen‘𝐽)
4	2, 3	salgencld 45550	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
5		cnfsmf.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾))
6		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) = ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)
7		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
8	6, 7	cnf 23072	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾) → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶∪ 𝐾)
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶∪ 𝐾)
10	9	fdmd 6718	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹))
11		ovex 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∈ V
12	11	uniex 7724	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∈ V)
14	10, 13	eqeltrd 2825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
15	2, 14	unirestss 44301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ ∪ 𝐽)
16	3	sssalgen 45536	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ 𝑆)
17	2, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝑆)
18	17	unissd 4909	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ⊆ ∪ 𝑆)
19	15, 18	sstrd 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ ∪ 𝑆)
20	10, 19	eqsstrd 4012	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
21		uniretop 24601	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
22		cnfsmf.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
23	22	unieqi 4911	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
24	21, 23	eqtr4i 2755	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ 𝐾
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐾)
26	25	feq3d 6694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶ℝ ↔ 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶∪ 𝐾))
27	9, 26	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶ℝ)
28	27	ffdmd 6738	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
29		ssrest 23002	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐽 ⊆ 𝑆) → (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
30	4, 17, 29	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
31	30	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
32	10	rabeqdv 3439	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
34		nfcv 2895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
35		nfcv 2895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
36		nfv 1909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
37		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}
38		rexr 11257	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
39	38	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
40	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾))
41	34, 35, 36, 22, 6, 37, 39, 40	rfcnpre2 44204	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐽 ↾t dom 𝐹))
42	33, 41	eqeltrd 2825	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐽 ↾t dom 𝐹))
43	31, 42	sseldd 3975	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
44	1, 4, 20, 28, 43	issmfd 45936	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466   ⊆ wss 3940  ∪ cuni 4899   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  ran crn 5667  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℝcr 11105  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245  (,)cioo 13321   ↾_t crest 17365  topGenctg 17382  Topctop 22717   Cn ccn 23050  SAlgcsalg 45509  SalGencsalgen 45513  SMblFncsmblfn 45896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-top 22718  df-topon 22735  df-bases 22771  df-cn 23053  df-salg 45510  df-salgen 45514  df-smblfn 45897

This theorem is referenced by:  cnfrrnsmf  45952