Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnfsmf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnfsmf 46009
Description: A continuous function is measurable. Proposition 121D (b) of [Fremlin1] p. 36 is a special case of this theorem, where the topology on the domain is induced by the standard topology on n-dimensional Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfsmf.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
cnfsmf.k 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
cnfsmf.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt dom 𝐹) Cn 𝐾))
cnfsmf.s 𝑆 = (SalGenβ€˜π½)
Assertion
Ref Expression
cnfsmf (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Proof of Theorem cnfsmf
Dummy variables π‘Ž π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . 2 β„²π‘Žπœ‘
2 cnfsmf.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 cnfsmf.s . . 3 𝑆 = (SalGenβ€˜π½)
42, 3salgencld 45618 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
5 cnfsmf.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt dom 𝐹) Cn 𝐾))
6 eqid 2726 . . . . . 6 βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹)
7 eqid 2726 . . . . . 6 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
86, 7cnf 23101 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt dom 𝐹) Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹)⟢βˆͺ 𝐾)
95, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹)⟢βˆͺ 𝐾)
109fdmd 6721 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹))
11 ovex 7437 . . . . . . . 8 (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∈ V
1211uniex 7727 . . . . . . 7 βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∈ V
1312a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∈ V)
1410, 13eqeltrd 2827 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ V)
152, 14unirestss 44369 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† βˆͺ 𝐽)
163sssalgen 45604 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 βŠ† 𝑆)
172, 16syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝑆)
1817unissd 4912 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝑆)
1915, 18sstrd 3987 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† βˆͺ 𝑆)
2010, 19eqsstrd 4015 . 2 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
21 uniretop 24630 . . . . . . 7 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
22 cnfsmf.k . . . . . . . 8 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
2322unieqi 4914 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
2421, 23eqtr4i 2757 . . . . . 6 ℝ = βˆͺ 𝐾
2524a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ = βˆͺ 𝐾)
2625feq3d 6697 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹)βŸΆβ„ ↔ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹)⟢βˆͺ 𝐾))
279, 26mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹)βŸΆβ„)
2827ffdmd 6741 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
29 ssrest 23031 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐽 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
304, 17, 29syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
3130adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
3210rabeqdv 3441 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž})
3332adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž})
34 nfcv 2897 . . . . 5 β„²π‘₯π‘Ž
35 nfcv 2897 . . . . 5 β„²π‘₯𝐹
36 nfv 1909 . . . . 5 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ)
37 eqid 2726 . . . . 5 {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž}
38 rexr 11261 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
3938adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
405adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt dom 𝐹) Cn 𝐾))
4134, 35, 36, 22, 6, 37, 39, 40rfcnpre2 44272 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹))
4233, 41eqeltrd 2827 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹))
4331, 42sseldd 3978 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
441, 4, 20, 28, 43issmfd 46004 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  ran crn 5670  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„cr 11108  β„*cxr 11248   < clt 11249  (,)cioo 13327   β†Ύt crest 17373  topGenctg 17390  Topctop 22746   Cn ccn 23079  SAlgcsalg 45577  SalGencsalgen 45581  SMblFncsmblfn 45964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-top 22747  df-topon 22764  df-bases 22800  df-cn 23082  df-salg 45578  df-salgen 45582  df-smblfn 45965
This theorem is referenced by:  cnfrrnsmf  46020
  Copyright terms: Public domain W3C validator