Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnfsmf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnfsmf 46130
Description: A continuous function is measurable. Proposition 121D (b) of [Fremlin1] p. 36 is a special case of this theorem, where the topology on the domain is induced by the standard topology on n-dimensional Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfsmf.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
cnfsmf.k 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
cnfsmf.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt dom 𝐹) Cn 𝐾))
cnfsmf.s 𝑆 = (SalGenβ€˜π½)
Assertion
Ref Expression
cnfsmf (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Proof of Theorem cnfsmf
Dummy variables π‘Ž π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . 2 β„²π‘Žπœ‘
2 cnfsmf.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 cnfsmf.s . . 3 𝑆 = (SalGenβ€˜π½)
42, 3salgencld 45739 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
5 cnfsmf.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt dom 𝐹) Cn 𝐾))
6 eqid 2727 . . . . . 6 βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹)
7 eqid 2727 . . . . . 6 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
86, 7cnf 23168 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt dom 𝐹) Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹)⟢βˆͺ 𝐾)
95, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹)⟢βˆͺ 𝐾)
109fdmd 6736 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹))
11 ovex 7457 . . . . . . . 8 (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∈ V
1211uniex 7750 . . . . . . 7 βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∈ V
1312a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∈ V)
1410, 13eqeltrd 2828 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ V)
152, 14unirestss 44493 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† βˆͺ 𝐽)
163sssalgen 45725 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 βŠ† 𝑆)
172, 16syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝑆)
1817unissd 4920 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝑆)
1915, 18sstrd 3990 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† βˆͺ 𝑆)
2010, 19eqsstrd 4018 . 2 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
21 uniretop 24697 . . . . . . 7 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
22 cnfsmf.k . . . . . . . 8 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
2322unieqi 4922 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
2421, 23eqtr4i 2758 . . . . . 6 ℝ = βˆͺ 𝐾
2524a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ = βˆͺ 𝐾)
2625feq3d 6712 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹)βŸΆβ„ ↔ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹)⟢βˆͺ 𝐾))
279, 26mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹)βŸΆβ„)
2827ffdmd 6757 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
29 ssrest 23098 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐽 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
304, 17, 29syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
3130adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) βŠ† (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
3210rabeqdv 3444 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž})
3332adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž})
34 nfcv 2898 . . . . 5 β„²π‘₯π‘Ž
35 nfcv 2898 . . . . 5 β„²π‘₯𝐹
36 nfv 1909 . . . . 5 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ)
37 eqid 2727 . . . . 5 {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž}
38 rexr 11296 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ℝ β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
3938adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
405adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt dom 𝐹) Cn 𝐾))
4134, 35, 36, 22, 6, 37, 39, 40rfcnpre2 44396 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹) ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹))
4233, 41eqeltrd 2828 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝐽 β†Ύt dom 𝐹))
4331, 42sseldd 3981 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ dom 𝐹 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
441, 4, 20, 28, 43issmfd 46125 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3428  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4910   class class class wbr 5150  dom cdm 5680  ran crn 5681  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  β„cr 11143  β„*cxr 11283   < clt 11284  (,)cioo 13362   β†Ύt crest 17407  topGenctg 17424  Topctop 22813   Cn ccn 23146  SAlgcsalg 45698  SalGencsalgen 45702  SMblFncsmblfn 46085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-q 12969  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-rest 17409  df-topgen 17430  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-cn 23149  df-salg 45699  df-salgen 45703  df-smblfn 46086
This theorem is referenced by:  cnfrrnsmf  46141
  Copyright terms: Public domain W3C validator