Theorem cnfsmf 43855

Description: A continuous function is measurable. Proposition 121D (b) of [Fremlin1] p. 36 is a special case of this theorem, where the topology on the domain is induced by the standard topology on n-dimensional Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfsmf.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
cnfsmf.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
cnfsmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾))
cnfsmf.s	⊢ 𝑆 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
cnfsmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem cnfsmf

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1921	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		cnfsmf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3		cnfsmf.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SalGen‘𝐽)
4	2, 3	salgencld 43470	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
5		cnfsmf.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾))
6		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) = ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)
7		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
8	6, 7	cnf 22009	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾) → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶∪ 𝐾)
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶∪ 𝐾)
10	9	fdmd 6525	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹))
11		ovex 7215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∈ V
12	11	uniex 7497	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∈ V)
14	10, 13	eqeltrd 2834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
15	2, 14	unirestss 42251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ ∪ 𝐽)
16	3	sssalgen 43456	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ 𝑆)
17	2, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝑆)
18	17	unissd 4816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ⊆ ∪ 𝑆)
19	15, 18	sstrd 3897	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ ∪ 𝑆)
20	10, 19	eqsstrd 3925	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
21		uniretop 23527	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
22		cnfsmf.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
23	22	unieqi 4819	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
24	21, 23	eqtr4i 2765	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ 𝐾
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐾)
26	25	feq3d 6501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶ℝ ↔ 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶∪ 𝐾))
27	9, 26	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶ℝ)
28	27	ffdmd 6545	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
29		ssrest 21939	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐽 ⊆ 𝑆) → (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
30	4, 17, 29	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
31	30	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
32	10	rabeqdv 3387	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
33	32	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
34		nfcv 2900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
35		nfcv 2900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
36		nfv 1921	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
37		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}
38		rexr 10777	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
39	38	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
40	5	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾))
41	34, 35, 36, 22, 6, 37, 39, 40	rfcnpre2 42152	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐽 ↾t dom 𝐹))
42	33, 41	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐽 ↾t dom 𝐹))
43	31, 42	sseldd 3888	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
44	1, 4, 20, 28, 43	issmfd 43850	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3058  Vcvv 3400   ⊆ wss 3853  ∪ cuni 4806   class class class wbr 5040  dom cdm 5535  ran crn 5536  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7182  ℝcr 10626  ℝ^*cxr 10764   < clt 10765  (,)cioo 12833   ↾_t crest 16809  topGenctg 16826  Topctop 21656   Cn ccn 21987  SAlgcsalg 43431  SalGencsalgen 43435  SMblFncsmblfn 43815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-er 8332  df-map 8451  df-pm 8452  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-sup 8991  df-inf 8992  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-q 12443  df-ioo 12837  df-ico 12839  df-rest 16811  df-topgen 16832  df-top 21657  df-topon 21674  df-bases 21709  df-cn 21990  df-salg 43432  df-salgen 43436  df-smblfn 43816

This theorem is referenced by:  cnfrrnsmf  43866