Theorem cnfsmf 43024

Description: A continuous function is measurable. Proposition 121D (b) of [Fremlin1] p. 36 is a special case of this theorem, where the topology on the domain is induced by the standard topology on n-dimensional Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfsmf.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
cnfsmf.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
cnfsmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾))
cnfsmf.s	⊢ 𝑆 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
cnfsmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem cnfsmf

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1915	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		cnfsmf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3		cnfsmf.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SalGen‘𝐽)
4	2, 3	salgencld 42639	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
5		cnfsmf.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾))
6		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) = ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)
7		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
8	6, 7	cnf 21856	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾) → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶∪ 𝐾)
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶∪ 𝐾)
10	9	fdmd 6525	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹))
11		ovex 7191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∈ V
12	11	uniex 7469	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∈ V)
14	10, 13	eqeltrd 2915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
15	2, 14	unirestss 41397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ ∪ 𝐽)
16	3	sssalgen 42625	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ 𝑆)
17	2, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝑆)
18	17	unissd 4850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ⊆ ∪ 𝑆)
19	15, 18	sstrd 3979	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ ∪ 𝑆)
20	10, 19	eqsstrd 4007	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
21		uniretop 23373	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
22		cnfsmf.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
23	22	unieqi 4853	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
24	21, 23	eqtr4i 2849	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ 𝐾
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐾)
26	25	feq3d 6503	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶ℝ ↔ 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶∪ 𝐾))
27	9, 26	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶ℝ)
28	27	ffdmd 6539	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
29		ssrest 21786	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐽 ⊆ 𝑆) → (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
30	4, 17, 29	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
31	30	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
32	10	rabeqdv 3486	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
33	32	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
34		nfcv 2979	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
35		nfcv 2979	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
36		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
37		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}
38		rexr 10689	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
39	38	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
40	5	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾))
41	34, 35, 36, 22, 6, 37, 39, 40	rfcnpre2 41295	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐽 ↾t dom 𝐹))
42	33, 41	eqeltrd 2915	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐽 ↾t dom 𝐹))
43	31, 42	sseldd 3970	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
44	1, 4, 20, 28, 43	issmfd 43019	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3144  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  ∪ cuni 4840   class class class wbr 5068  dom cdm 5557  ran crn 5558  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677  (,)cioo 12741   ↾_t crest 16696  topGenctg 16713  Topctop 21503   Cn ccn 21834  SAlgcsalg 42600  SalGencsalgen 42604  SMblFncsmblfn 42984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-rest 16698  df-topgen 16719  df-top 21504  df-topon 21521  df-bases 21556  df-cn 21837  df-salg 42601  df-salgen 42605  df-smblfn 42985

This theorem is referenced by:  cnfrrnsmf  43035