Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnfsmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfsmf 46696
Description: A continuous function is measurable. Proposition 121D (b) of [Fremlin1] p. 36 is a special case of this theorem, where the topology on the domain is induced by the standard topology on n-dimensional Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfsmf.1 (𝜑𝐽 ∈ Top)
cnfsmf.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
cnfsmf.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t dom 𝐹) Cn 𝐾))
cnfsmf.s 𝑆 = (SalGen‘𝐽)
Assertion
Ref Expression
cnfsmf (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem cnfsmf
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1912 . 2 𝑎𝜑
2 cnfsmf.1 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
3 cnfsmf.s . . 3 𝑆 = (SalGen‘𝐽)
42, 3salgencld 46305 . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
5 cnfsmf.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t dom 𝐹) Cn 𝐾))
6 eqid 2735 . . . . . 6 (𝐽t dom 𝐹) = (𝐽t dom 𝐹)
7 eqid 2735 . . . . . 6 𝐾 = 𝐾
86, 7cnf 23270 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((𝐽t dom 𝐹) Cn 𝐾) → 𝐹: (𝐽t dom 𝐹)⟶ 𝐾)
95, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹: (𝐽t dom 𝐹)⟶ 𝐾)
109fdmd 6747 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐽t dom 𝐹))
11 ovex 7464 . . . . . . . 8 (𝐽t dom 𝐹) ∈ V
1211uniex 7760 . . . . . . 7 (𝐽t dom 𝐹) ∈ V
1312a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 (𝐽t dom 𝐹) ∈ V)
1410, 13eqeltrd 2839 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
152, 14unirestss 45064 . . . 4 (𝜑 (𝐽t dom 𝐹) ⊆ 𝐽)
163sssalgen 46291 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝑆)
172, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽𝑆)
1817unissd 4922 . . . 4 (𝜑 𝐽 𝑆)
1915, 18sstrd 4006 . . 3 (𝜑 (𝐽t dom 𝐹) ⊆ 𝑆)
2010, 19eqsstrd 4034 . 2 (𝜑 → dom 𝐹 𝑆)
21 uniretop 24799 . . . . . . 7 ℝ = (topGen‘ran (,))
22 cnfsmf.k . . . . . . . 8 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2322unieqi 4924 . . . . . . 7 𝐾 = (topGen‘ran (,))
2421, 23eqtr4i 2766 . . . . . 6 ℝ = 𝐾
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ = 𝐾)
2625feq3d 6724 . . . 4 (𝜑 → (𝐹: (𝐽t dom 𝐹)⟶ℝ ↔ 𝐹: (𝐽t dom 𝐹)⟶ 𝐾))
279, 26mpbird 257 . . 3 (𝜑𝐹: (𝐽t dom 𝐹)⟶ℝ)
2827ffdmd 6767 . 2 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
29 ssrest 23200 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐽𝑆) → (𝐽t dom 𝐹) ⊆ (𝑆t dom 𝐹))
304, 17, 29syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐽t dom 𝐹) ⊆ (𝑆t dom 𝐹))
3130adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐽t dom 𝐹) ⊆ (𝑆t dom 𝐹))
3210rabeqdv 3449 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = {𝑥 (𝐽t dom 𝐹) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎})
3332adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = {𝑥 (𝐽t dom 𝐹) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎})
34 nfcv 2903 . . . . 5 𝑥𝑎
35 nfcv 2903 . . . . 5 𝑥𝐹
36 nfv 1912 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
37 eqid 2735 . . . . 5 {𝑥 (𝐽t dom 𝐹) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = {𝑥 (𝐽t dom 𝐹) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}
38 rexr 11305 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
3938adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
405adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ ((𝐽t dom 𝐹) Cn 𝐾))
4134, 35, 36, 22, 6, 37, 39, 40rfcnpre2 44969 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 (𝐽t dom 𝐹) ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐽t dom 𝐹))
4233, 41eqeltrd 2839 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐽t dom 𝐹))
4331, 42sseldd 3996 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t dom 𝐹))
441, 4, 20, 28, 43issmfd 46691 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963   cuni 4912   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ran crn 5690  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  *cxr 11292   < clt 11293  (,)cioo 13384  t crest 17467  topGenctg 17484  Topctop 22915   Cn ccn 23248  SAlgcsalg 46264  SalGencsalgen 46268  SMblFncsmblfn 46651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cn 23251  df-salg 46265  df-salgen 46269  df-smblfn 46652
This theorem is referenced by:  cnfrrnsmf  46707
  Copyright terms: Public domain W3C validator