Theorem cnfsmf 46736

Description: A continuous function is measurable. Proposition 121D (b) of [Fremlin1] p. 36 is a special case of this theorem, where the topology on the domain is induced by the standard topology on n-dimensional Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfsmf.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
cnfsmf.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
cnfsmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾))
cnfsmf.s	⊢ 𝑆 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
cnfsmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem cnfsmf

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		cnfsmf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3		cnfsmf.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SalGen‘𝐽)
4	2, 3	salgencld 46345	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
5		cnfsmf.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾))
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) = ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
8	6, 7	cnf 23189	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾) → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶∪ 𝐾)
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶∪ 𝐾)
10	9	fdmd 6721	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹))
11		ovex 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∈ V
12	11	uniex 7740	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∈ V)
14	10, 13	eqeltrd 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
15	2, 14	unirestss 45115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ ∪ 𝐽)
16	3	sssalgen 46331	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ 𝑆)
17	2, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝑆)
18	17	unissd 4898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ⊆ ∪ 𝑆)
19	15, 18	sstrd 3974	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ ∪ 𝑆)
20	10, 19	eqsstrd 3998	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
21		uniretop 24706	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
22		cnfsmf.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
23	22	unieqi 4900	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
24	21, 23	eqtr4i 2762	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ 𝐾
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐾)
26	25	feq3d 6698	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶ℝ ↔ 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶∪ 𝐾))
27	9, 26	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶ℝ)
28	27	ffdmd 6741	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
29		ssrest 23119	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐽 ⊆ 𝑆) → (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
30	4, 17, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
31	30	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
32	10	rabeqdv 3436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
34		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
35		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
36		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
37		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}
38		rexr 11286	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
39	38	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
40	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾))
41	34, 35, 36, 22, 6, 37, 39, 40	rfcnpre2 45022	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐽 ↾t dom 𝐹))
42	33, 41	eqeltrd 2835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐽 ↾t dom 𝐹))
43	31, 42	sseldd 3964	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
44	1, 4, 20, 28, 43	issmfd 46731	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3420  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  ∪ cuni 4888   class class class wbr 5124  dom cdm 5659  ran crn 5660  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  ℝ^*cxr 11273   < clt 11274  (,)cioo 13367   ↾_t crest 17439  topGenctg 17456  Topctop 22836   Cn ccn 23167  SAlgcsalg 46304  SalGencsalgen 46308  SMblFncsmblfn 46691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-q 12970  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-rest 17441  df-topgen 17462  df-top 22837  df-topon 22854  df-bases 22889  df-cn 23170  df-salg 46305  df-salgen 46309  df-smblfn 46692

This theorem is referenced by:  cnfrrnsmf  46747