Theorem cnfsmf 46900

Description: A continuous function is measurable. Proposition 121D (b) of [Fremlin1] p. 36 is a special case of this theorem, where the topology on the domain is induced by the standard topology on n-dimensional Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfsmf.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
cnfsmf.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
cnfsmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾))
cnfsmf.s	⊢ 𝑆 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
cnfsmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem cnfsmf

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1915	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		cnfsmf.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3		cnfsmf.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SalGen‘𝐽)
4	2, 3	salgencld 46509	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
5		cnfsmf.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾))
6		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) = ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)
7		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
8	6, 7	cnf 23181	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾) → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶∪ 𝐾)
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶∪ 𝐾)
10	9	fdmd 6669	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹))
11		ovex 7388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∈ V
12	11	uniex 7683	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∈ V)
14	10, 13	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
15	2, 14	unirestss 45284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ ∪ 𝐽)
16	3	sssalgen 46495	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ 𝑆)
17	2, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝑆)
18	17	unissd 4870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ⊆ ∪ 𝑆)
19	15, 18	sstrd 3941	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ ∪ 𝑆)
20	10, 19	eqsstrd 3965	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
21		uniretop 24697	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
22		cnfsmf.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
23	22	unieqi 4872	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ (topGen‘ran (,))
24	21, 23	eqtr4i 2759	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ 𝐾
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐾)
26	25	feq3d 6644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶ℝ ↔ 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶∪ 𝐾))
27	9, 26	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹)⟶ℝ)
28	27	ffdmd 6689	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
29		ssrest 23111	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐽 ⊆ 𝑆) → (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
30	4, 17, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
31	30	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐽 ↾t dom 𝐹) ⊆ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
32	10	rabeqdv 3411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎})
34		nfcv 2895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
35		nfcv 2895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
36		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
37		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}
38		rexr 11169	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
39	38	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
40	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t dom 𝐹) Cn 𝐾))
41	34, 35, 36, 22, 6, 37, 39, 40	rfcnpre2 45192	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ∪ (𝐽 ↾t dom 𝐹) ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐽 ↾t dom 𝐹))
42	33, 41	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐽 ↾t dom 𝐹))
43	31, 42	sseldd 3931	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
44	1, 4, 20, 28, 43	issmfd 46895	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  ∪ cuni 4860   class class class wbr 5095  dom cdm 5621  ran crn 5622  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  ℝ^*cxr 11156   < clt 11157  (,)cioo 13252   ↾_t crest 17331  topGenctg 17348  Topctop 22828   Cn ccn 23159  SAlgcsalg 46468  SalGencsalgen 46472  SMblFncsmblfn 46855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-q 12853  df-ioo 13256  df-ico 13258  df-rest 17333  df-topgen 17354  df-top 22829  df-topon 22846  df-bases 22881  df-cn 23162  df-salg 46469  df-salgen 46473  df-smblfn 46856

This theorem is referenced by:  cnfrrnsmf  46911