Theorem saluncld 44275

Description: The union of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
saluncld.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
saluncld.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
saluncld.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
saluncld	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saluncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saluncld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		saluncld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
3		saluncld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
4		saluncl 44246	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3899  SAlgcsalg 44237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-inf2 9502

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-ov 7344  df-om 7785  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-salg 44238

This theorem is referenced by:  smfrec  44716  smfdmmblpimne  44764  smfpimne  44766