Theorem saluncld 46799

Description: The union of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
saluncld.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
saluncld.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
saluncld.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
saluncld	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saluncld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saluncld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		saluncld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
3		saluncld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
4		saluncl 46768	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ∪ cun 3881  SAlgcsalg 46759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-salg 46760

This theorem is referenced by:  smfrec  47240  smfdmmblpimne  47288  smfpimne  47290