Theorem incsmf 46719

Description: A real-valued, nondecreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
incsmf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
incsmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
incsmf.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
incsmf.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
incsmf.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
incsmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem incsmf

Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		incsmf.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 24698	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2830	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		incsmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7	5, 6	salgencld 46326	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
8		incsmf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
9	5, 6	unisalgen2 46331	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ 𝐽)
10	2	unieqi 4895	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,)))
12		uniretop 24699	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
13	12	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ)
15	9, 11, 14	3eqtrrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐵)
16	8, 15	sseqtrd 3995	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
17		incsmf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
18		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
19		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
20	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
21	17	frexr 45360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
23		incsmf.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
24		breq1 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑦))
25		fveq2 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑤))
26	25	breq1d 5129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦)))
27	24, 26	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦))))
28		breq2 5123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑤 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑧))
29		fveq2 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧))
30	29	breq2d 5131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
31	28, 30	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧))))
32	27, 31	cbvral2vw 3224	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
33	23, 32	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
35		rexr 11279	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
36	35	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
37	25	breq1d 5129	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑥) < 𝑎 ↔ (𝐹‘𝑤) < 𝑎))
38	37	cbvrabv 3426	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑎}
39		eqid 2735	. . . 4 ⊢ sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ) = sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )
40		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (-∞(,)sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )) = (-∞(,)sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ))
41		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (-∞(,]sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )) = (-∞(,]sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ))
42	18, 19, 20, 22, 34, 2, 6, 36, 38, 39, 40, 41	incsmflem 46718	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴))
43		reex 11218	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
45	44, 8	ssexd 5294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
46		elrest 17439	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ SAlg ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
47	7, 45, 46	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
48	47	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
49	42, 48	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴))
50	1, 7, 16, 17, 49	issmfd 46712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3415  Vcvv 3459   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ∪ cuni 4883   class class class wbr 5119  ran crn 5655  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  supcsup 9450  ℝcr 11126  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  (,)cioo 13360  (,]cioc 13361   ↾_t crest 17432  topGenctg 17449  Topctop 22829  SAlgcsalg 46285  SalGencsalgen 46289  SMblFncsmblfn 46672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-card 9951  df-acn 9954  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-fl 13807  df-rest 17434  df-topgen 17455  df-top 22830  df-bases 22882  df-salg 46286  df-salgen 46290  df-smblfn 46673

This theorem is referenced by:  smfid  46729