Theorem incsmf 46733

Description: A real-valued, nondecreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
incsmf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
incsmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
incsmf.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
incsmf.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
incsmf.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
incsmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem incsmf

Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		incsmf.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 24655	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2825	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		incsmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7	5, 6	salgencld 46340	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
8		incsmf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
9	5, 6	unisalgen2 46345	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ 𝐽)
10	2	unieqi 4885	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,)))
12		uniretop 24656	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
13	12	eqcomi 2739	. . . . 5 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ)
15	9, 11, 14	3eqtrrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐵)
16	8, 15	sseqtrd 3985	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
17		incsmf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
18		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
19		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
20	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
21	17	frexr 45374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
23		incsmf.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
24		breq1 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑦))
25		fveq2 6860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑤))
26	25	breq1d 5119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦)))
27	24, 26	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦))))
28		breq2 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑤 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑧))
29		fveq2 6860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧))
30	29	breq2d 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
31	28, 30	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧))))
32	27, 31	cbvral2vw 3220	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
33	23, 32	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
35		rexr 11226	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
36	35	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
37	25	breq1d 5119	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑥) < 𝑎 ↔ (𝐹‘𝑤) < 𝑎))
38	37	cbvrabv 3419	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑎}
39		eqid 2730	. . . 4 ⊢ sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ) = sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )
40		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (-∞(,)sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )) = (-∞(,)sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ))
41		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (-∞(,]sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )) = (-∞(,]sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ))
42	18, 19, 20, 22, 34, 2, 6, 36, 38, 39, 40, 41	incsmflem 46732	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴))
43		reex 11165	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
45	44, 8	ssexd 5281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
46		elrest 17396	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ SAlg ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
47	7, 45, 46	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
48	47	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
49	42, 48	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴))
50	1, 7, 16, 17, 49	issmfd 46726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {crab 3408  Vcvv 3450   ∩ cin 3915   ⊆ wss 3916  ∪ cuni 4873   class class class wbr 5109  ran crn 5641  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  supcsup 9397  ℝcr 11073  -∞cmnf 11212  ℝ^*cxr 11213   < clt 11214   ≤ cle 11215  (,)cioo 13312  (,]cioc 13313   ↾_t crest 17389  topGenctg 17406  Topctop 22786  SAlgcsalg 46299  SalGencsalgen 46303  SMblFncsmblfn 46686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-card 9898  df-acn 9901  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-ioo 13316  df-ioc 13317  df-ico 13318  df-fl 13760  df-rest 17391  df-topgen 17412  df-top 22787  df-bases 22839  df-salg 46300  df-salgen 46304  df-smblfn 46687

This theorem is referenced by:  smfid  46743