Theorem incsmf 47426

Description: A real-valued, nondecreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
incsmf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
incsmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
incsmf.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
incsmf.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
incsmf.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
incsmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem incsmf

Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1942	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		incsmf.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 24897	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2857	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		incsmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7	5, 6	salgencld 47033	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
8		incsmf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
9	5, 6	unisalgen2 47038	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ 𝐽)
10	2	unieqi 4883	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,)))
12		uniretop 24898	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
13	12	eqcomi 2770	. . . . 5 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ)
15	9, 11, 14	3eqtrrd 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐵)
16	8, 15	sseqtrd 3972	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
17		incsmf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
18		nfv 1942	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
19		nfv 1942	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
20	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
21	17	frexr 46070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
22	21	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
23		incsmf.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
24		breq1 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑦))
25		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑤))
26	25	breq1d 5118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦)))
27	24, 26	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦))))
28		breq2 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑤 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑧))
29		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧))
30	29	breq2d 5120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
31	28, 30	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧))))
32	27, 31	cbvral2vw 3245	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
33	23, 32	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
34	33	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
35		rexr 11254	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
36	35	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
37	25	breq1d 5118	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑥) < 𝑎 ↔ (𝐹‘𝑤) < 𝑎))
38	37	cbvrabv 3424	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑎}
39		eqid 2761	. . . 4 ⊢ sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ) = sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )
40		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (-∞(,)sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )) = (-∞(,)sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ))
41		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (-∞(,]sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )) = (-∞(,]sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ))
42	18, 19, 20, 22, 34, 2, 6, 36, 38, 39, 40, 41	incsmflem 47425	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴))
43		reex 11190	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
45	44, 8	ssexd 5294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
46		elrest 17479	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ SAlg ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
47	7, 45, 46	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
48	47	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
49	42, 48	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴))
50	1, 7, 16, 17, 49	issmfd 47419	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3414  Vcvv 3453   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5108  ran crn 5662  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  supcsup 9399  ℝcr 11098  -∞cmnf 11240  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243  (,)cioo 13371  (,]cioc 13372   ↾_t crest 17472  topGenctg 17489  Topctop 23029  SAlgcsalg 46992  SalGencsalgen 46996  SMblFncsmblfn 47379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-fl 13824  df-rest 17474  df-topgen 17495  df-top 23030  df-bases 23082  df-salg 46993  df-salgen 46997  df-smblfn 47380

This theorem is referenced by:  smfid  47436