Theorem incsmf 46839

Description: A real-valued, nondecreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
incsmf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
incsmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
incsmf.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
incsmf.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
incsmf.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
incsmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem incsmf

Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1915	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		incsmf.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 24676	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2827	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		incsmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7	5, 6	salgencld 46446	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
8		incsmf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
9	5, 6	unisalgen2 46451	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ 𝐽)
10	2	unieqi 4868	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,)))
12		uniretop 24677	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
13	12	eqcomi 2740	. . . . 5 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ)
15	9, 11, 14	3eqtrrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐵)
16	8, 15	sseqtrd 3966	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
17		incsmf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
18		nfv 1915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
19		nfv 1915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
20	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
21	17	frexr 45482	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
23		incsmf.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
24		breq1 5092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑦))
25		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑤))
26	25	breq1d 5099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦)))
27	24, 26	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦))))
28		breq2 5093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑤 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑧))
29		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧))
30	29	breq2d 5101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
31	28, 30	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧))))
32	27, 31	cbvral2vw 3214	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
33	23, 32	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
35		rexr 11158	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
36	35	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
37	25	breq1d 5099	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑥) < 𝑎 ↔ (𝐹‘𝑤) < 𝑎))
38	37	cbvrabv 3405	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑎}
39		eqid 2731	. . . 4 ⊢ sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ) = sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )
40		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (-∞(,)sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )) = (-∞(,)sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ))
41		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (-∞(,]sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )) = (-∞(,]sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ))
42	18, 19, 20, 22, 34, 2, 6, 36, 38, 39, 40, 41	incsmflem 46838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴))
43		reex 11097	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
45	44, 8	ssexd 5260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
46		elrest 17331	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ SAlg ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
47	7, 45, 46	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
48	47	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
49	42, 48	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴))
50	1, 7, 16, 17, 49	issmfd 46832	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395  Vcvv 3436   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∪ cuni 4856   class class class wbr 5089  ran crn 5615  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  supcsup 9324  ℝcr 11005  -∞cmnf 11144  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147  (,)cioo 13245  (,]cioc 13246   ↾_t crest 17324  topGenctg 17341  Topctop 22808  SAlgcsalg 46405  SalGencsalgen 46409  SMblFncsmblfn 46792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-card 9832  df-acn 9835  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-fl 13696  df-rest 17326  df-topgen 17347  df-top 22809  df-bases 22861  df-salg 46406  df-salgen 46410  df-smblfn 46793

This theorem is referenced by:  smfid  46849