Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incsmf 46757
Description: A real-valued, nondecreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
incsmf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
incsmf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
incsmf.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
incsmf.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
incsmf.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
Assertion
Ref Expression
incsmf (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem incsmf
Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1914 . 2 𝑎𝜑
2 incsmf.j . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 retop 24782 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
42, 3eqeltri 2837 . . . 4 𝐽 ∈ Top
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 incsmf.b . . 3 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
75, 6salgencld 46364 . 2 (𝜑𝐵 ∈ SAlg)
8 incsmf.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
95, 6unisalgen2 46369 . . . 4 (𝜑 𝐵 = 𝐽)
102unieqi 4919 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 𝐽 = (topGen‘ran (,)))
12 uniretop 24783 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
1312eqcomi 2746 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ℝ
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 (topGen‘ran (,)) = ℝ)
159, 11, 143eqtrrd 2782 . . 3 (𝜑 → ℝ = 𝐵)
168, 15sseqtrd 4020 . 2 (𝜑𝐴 𝐵)
17 incsmf.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
18 nfv 1914 . . . 4 𝑤(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
19 nfv 1914 . . . 4 𝑧(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
208adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2117frexr 45396 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2221adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
23 incsmf.i . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
24 breq1 5146 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑦𝑤𝑦))
25 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
2625breq1d 5153 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑦)))
2724, 26imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ (𝑤𝑦 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑦))))
28 breq2 5147 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝑤𝑦𝑤𝑧))
29 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
3029breq2d 5155 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
3128, 30imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤𝑦 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧))))
3227, 31cbvral2vw 3241 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
3323, 32sylib 218 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
3433adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
35 rexr 11307 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
3635adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
3725breq1d 5153 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) < 𝑎 ↔ (𝐹𝑤) < 𝑎))
3837cbvrabv 3447 . . . 4 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = {𝑤𝐴 ∣ (𝐹𝑤) < 𝑎}
39 eqid 2737 . . . 4 sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ) = sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )
40 eqid 2737 . . . 4 (-∞(,)sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )) = (-∞(,)sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ))
41 eqid 2737 . . . 4 (-∞(,]sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )) = (-∞(,]sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ))
4218, 19, 20, 22, 34, 2, 6, 36, 38, 39, 40, 41incsmflem 46756 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝑏𝐴))
43 reex 11246 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
4443a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
4544, 8ssexd 5324 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
46 elrest 17472 . . . . 5 ((𝐵 ∈ SAlg ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝑏𝐴)))
477, 45, 46syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝑏𝐴)))
4847adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝑏𝐴)))
4942, 48mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵t 𝐴))
501, 7, 16, 17, 49issmfd 46750 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951   cuni 4907   class class class wbr 5143  ran crn 5686  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cr 11154  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388  t crest 17465  topGenctg 17482  Topctop 22899  SAlgcsalg 46323  SalGencsalgen 46327  SMblFncsmblfn 46710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-fl 13832  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-top 22900  df-bases 22953  df-salg 46324  df-salgen 46328  df-smblfn 46711
This theorem is referenced by:  smfid  46767
  Copyright terms: Public domain W3C validator