Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incsmf 43742
 Description: A real-valued, nondecreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
incsmf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
incsmf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
incsmf.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
incsmf.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
incsmf.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
Assertion
Ref Expression
incsmf (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem incsmf
Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . 2 𝑎𝜑
2 incsmf.j . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 retop 23463 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
42, 3eqeltri 2848 . . . 4 𝐽 ∈ Top
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 incsmf.b . . 3 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
75, 6salgencld 43355 . 2 (𝜑𝐵 ∈ SAlg)
8 incsmf.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
95, 6unisalgen2 43360 . . . 4 (𝜑 𝐵 = 𝐽)
102unieqi 4811 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 𝐽 = (topGen‘ran (,)))
12 uniretop 23464 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
1312eqcomi 2767 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ℝ
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 (topGen‘ran (,)) = ℝ)
159, 11, 143eqtrrd 2798 . . 3 (𝜑 → ℝ = 𝐵)
168, 15sseqtrd 3932 . 2 (𝜑𝐴 𝐵)
17 incsmf.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
18 nfv 1915 . . . 4 𝑤(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
19 nfv 1915 . . . 4 𝑧(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
208adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2117frexr 42387 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2221adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
23 incsmf.i . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
24 breq1 5035 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑦𝑤𝑦))
25 fveq2 6658 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
2625breq1d 5042 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑦)))
2724, 26imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ (𝑤𝑦 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑦))))
28 breq2 5036 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝑤𝑦𝑤𝑧))
29 fveq2 6658 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
3029breq2d 5044 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
3128, 30imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤𝑦 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧))))
3227, 31cbvral2vw 3373 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
3323, 32sylib 221 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
3433adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
35 rexr 10725 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
3635adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
3725breq1d 5042 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) < 𝑎 ↔ (𝐹𝑤) < 𝑎))
3837cbvrabv 3404 . . . 4 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = {𝑤𝐴 ∣ (𝐹𝑤) < 𝑎}
39 eqid 2758 . . . 4 sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ) = sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )
40 eqid 2758 . . . 4 (-∞(,)sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )) = (-∞(,)sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ))
41 eqid 2758 . . . 4 (-∞(,]sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )) = (-∞(,]sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ))
4218, 19, 20, 22, 34, 2, 6, 36, 38, 39, 40, 41incsmflem 43741 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝑏𝐴))
43 reex 10666 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
4443a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
4544, 8ssexd 5194 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
46 elrest 16759 . . . . 5 ((𝐵 ∈ SAlg ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝑏𝐴)))
477, 45, 46syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝑏𝐴)))
4847adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝑏𝐴)))
4942, 48mpbird 260 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵t 𝐴))
501, 7, 16, 17, 49issmfd 43735 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  {crab 3074  Vcvv 3409   ∩ cin 3857   ⊆ wss 3858  ∪ cuni 4798   class class class wbr 5032  ran crn 5525  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  supcsup 8937  ℝcr 10574  -∞cmnf 10711  ℝ*cxr 10712   < clt 10713   ≤ cle 10714  (,)cioo 12779  (,]cioc 12780   ↾t crest 16752  topGenctg 16769  Topctop 21593  SAlgcsalg 43316  SalGencsalgen 43320  SMblFncsmblfn 43700 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-inf 8940  df-card 9401  df-acn 9404  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-ioo 12783  df-ioc 12784  df-ico 12785  df-fl 13211  df-rest 16754  df-topgen 16775  df-top 21594  df-bases 21646  df-salg 43317  df-salgen 43321  df-smblfn 43701 This theorem is referenced by:  smfid  43752
 Copyright terms: Public domain W3C validator