Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incsmf 46697
Description: A real-valued, nondecreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
incsmf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
incsmf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
incsmf.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
incsmf.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
incsmf.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
Assertion
Ref Expression
incsmf (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem incsmf
Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1911 . 2 𝑎𝜑
2 incsmf.j . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 retop 24797 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
42, 3eqeltri 2834 . . . 4 𝐽 ∈ Top
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 incsmf.b . . 3 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
75, 6salgencld 46304 . 2 (𝜑𝐵 ∈ SAlg)
8 incsmf.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
95, 6unisalgen2 46309 . . . 4 (𝜑 𝐵 = 𝐽)
102unieqi 4923 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 𝐽 = (topGen‘ran (,)))
12 uniretop 24798 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
1312eqcomi 2743 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ℝ
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 (topGen‘ran (,)) = ℝ)
159, 11, 143eqtrrd 2779 . . 3 (𝜑 → ℝ = 𝐵)
168, 15sseqtrd 4035 . 2 (𝜑𝐴 𝐵)
17 incsmf.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
18 nfv 1911 . . . 4 𝑤(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
19 nfv 1911 . . . 4 𝑧(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
208adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2117frexr 45334 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2221adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
23 incsmf.i . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
24 breq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑦𝑤𝑦))
25 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
2625breq1d 5157 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑦)))
2724, 26imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ (𝑤𝑦 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑦))))
28 breq2 5151 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝑤𝑦𝑤𝑧))
29 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
3029breq2d 5159 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
3128, 30imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤𝑦 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧))))
3227, 31cbvral2vw 3238 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
3323, 32sylib 218 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
3433adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
35 rexr 11304 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
3635adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
3725breq1d 5157 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) < 𝑎 ↔ (𝐹𝑤) < 𝑎))
3837cbvrabv 3443 . . . 4 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = {𝑤𝐴 ∣ (𝐹𝑤) < 𝑎}
39 eqid 2734 . . . 4 sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ) = sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )
40 eqid 2734 . . . 4 (-∞(,)sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )) = (-∞(,)sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ))
41 eqid 2734 . . . 4 (-∞(,]sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )) = (-∞(,]sup({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ))
4218, 19, 20, 22, 34, 2, 6, 36, 38, 39, 40, 41incsmflem 46696 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝑏𝐴))
43 reex 11243 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
4443a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
4544, 8ssexd 5329 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
46 elrest 17473 . . . . 5 ((𝐵 ∈ SAlg ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝑏𝐴)))
477, 45, 46syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝑏𝐴)))
4847adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵t 𝐴) ↔ ∃𝑏𝐵 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} = (𝑏𝐴)))
4942, 48mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵t 𝐴))
501, 7, 16, 17, 49issmfd 46690 1 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962   cuni 4911   class class class wbr 5147  ran crn 5689  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  supcsup 9477  cr 11151  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  (,)cioo 13383  (,]cioc 13384  t crest 17466  topGenctg 17483  Topctop 22914  SAlgcsalg 46263  SalGencsalgen 46267  SMblFncsmblfn 46650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-fl 13828  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-top 22915  df-bases 22968  df-salg 46264  df-salgen 46268  df-smblfn 46651
This theorem is referenced by:  smfid  46707
  Copyright terms: Public domain W3C validator