Theorem incsmf 47182

Description: A real-valued, nondecreasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
incsmf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
incsmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
incsmf.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
incsmf.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
incsmf.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
incsmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem incsmf

Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		incsmf.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 24747	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2832	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		incsmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7	5, 6	salgencld 46789	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
8		incsmf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
9	5, 6	unisalgen2 46794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ 𝐽)
10	2	unieqi 4853	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,)))
12		uniretop 24748	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
13	12	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ)
15	9, 11, 14	3eqtrrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐵)
16	8, 15	sseqtrd 3954	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
17		incsmf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
18		nfv 1917	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
19		nfv 1917	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
20	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
21	17	frexr 45826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
22	21	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
23		incsmf.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
24		breq1 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑦))
25		fveq2 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑤))
26	25	breq1d 5085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦)))
27	24, 26	imbi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦))))
28		breq2 5079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑤 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑧))
29		fveq2 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧))
30	29	breq2d 5087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
31	28, 30	imbi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧))))
32	27, 31	cbvral2vw 3218	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
33	23, 32	sylib 219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
34	33	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
35		rexr 11185	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
36	35	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
37	25	breq1d 5085	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑥) < 𝑎 ↔ (𝐹‘𝑤) < 𝑎))
38	37	cbvrabv 3398	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑎}
39		eqid 2736	. . . 4 ⊢ sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ) = sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )
40		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (-∞(,)sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )) = (-∞(,)sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ))
41		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (-∞(,]sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < )) = (-∞(,]sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎}, ℝ*, < ))
42	18, 19, 20, 22, 34, 2, 6, 36, 38, 39, 40, 41	incsmflem 47181	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴))
43		reex 11123	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
45	44, 8	ssexd 5255	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
46		elrest 17384	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ SAlg ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
47	7, 45, 46	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
48	47	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
49	42, 48	mpbird 258	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴))
50	1, 7, 16, 17, 49	issmfd 47175	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1543   ∈ wcel 2115  ∀wral 3050  ∃wrex 3060  {crab 3388  Vcvv 3428   ∩ cin 3885   ⊆ wss 3886  ∪ cuni 4841   class class class wbr 5075  ran crn 5622  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  supcsup 9346  ℝcr 11031  -∞cmnf 11171  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173   ≤ cle 11174  (,)cioo 13292  (,]cioc 13293   ↾_t crest 17377  topGenctg 17394  Topctop 22879  SAlgcsalg 46748  SalGencsalgen 46752  SMblFncsmblfn 47135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3061  df-rmo 3341  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3906  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7934  df-2nd 7935  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-card 9857  df-acn 9860  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-ioo 13296  df-ioc 13297  df-ico 13298  df-fl 13745  df-rest 17379  df-topgen 17400  df-top 22880  df-bases 22932  df-salg 46749  df-salgen 46753  df-smblfn 47136

This theorem is referenced by:  smfid  47192