Theorem bormflebmf 47685

Description: A Borel measurable function is Lebesgue measurable. Proposition 121D (a) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bormflebmf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
bormflebmf.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘(TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
bormflebmf.l	⊢ 𝐿 = dom (voln‘𝑋)
bormflebmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
bormflebmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐿))

Proof of Theorem bormflebmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6888	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ V)
2		bormflebmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘(TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
3	1, 2	salgencld 47281	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
4		bormflebmf.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
5		bormflebmf.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = dom (voln‘𝑋)
6	4, 5	dmovnsal 47544	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ SAlg)
7	4, 5, 2	borelmbl 47568	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐿)
8		bormflebmf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))
9	3, 6, 7, 8	smfsssmf 47675	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐿))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  dom cdm 5647  ‘cfv 6527  Fincfn 8951  TopOpenctopn 17553  ℝ^crrx 25665  SalGencsalgen 47244  volncvoln 47470  SMblFncsmblfn 47627

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cc 10484  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250  ax-mulf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9953  df-card 9991  df-acn 9994  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-ioo 13449  df-ico 13451  df-icc 13452  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-fl 13900  df-seq 14113  df-exp 14173  df-hash 14442  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-clim 15622  df-rlim 15623  df-sum 15821  df-prod 16040  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-rest 17554  df-topn 17555  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-topgen 17575  df-prds 17579  df-pws 17581  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-subg 19294  df-ghm 19389  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-cring 20423  df-oppr 20528  df-dvdsr 20548  df-unit 20549  df-invr 20579  df-dvr 20592  df-rhm 20663  df-subrng 20759  df-subrg 20783  df-drng 20943  df-field 20944  df-abv 21027  df-staf 21057  df-srng 21058  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-lmhm 21258  df-lvec 21339  df-sra 21409  df-rgmod 21410  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-met 21633  df-bl 21634  df-mopn 21635  df-cnfld 21640  df-refld 21872  df-phl 21893  df-dsmm 21999  df-frlm 22014  df-top 23173  df-topon 23190  df-topsp 23212  df-bases 23225  df-cmp 23666  df-xms 24600  df-ms 24601  df-nm 24862  df-ngp 24863  df-tng 24864  df-nrg 24865  df-nlm 24866  df-clm 25345  df-cph 25450  df-tcph 25451  df-rrx 25667  df-ovol 25746  df-vol 25747  df-salg 47241  df-salgen 47245  df-sumge0 47295  df-mea 47382  df-ome 47422  df-caragen 47424  df-ovoln 47469  df-voln 47471  df-smblfn 47628

This theorem is used by: (None)