Theorem bormflebmf 47568

Description: A Borel measurable function is Lebesgue measurable. Proposition 121D (a) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bormflebmf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
bormflebmf.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘(TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
bormflebmf.l	⊢ 𝐿 = dom (voln‘𝑋)
bormflebmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
bormflebmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐿))

Proof of Theorem bormflebmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6897	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ V)
2		bormflebmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘(TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
3	1, 2	salgencld 47164	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
4		bormflebmf.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
5		bormflebmf.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = dom (voln‘𝑋)
6	4, 5	dmovnsal 47427	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ SAlg)
7	4, 5, 2	borelmbl 47451	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐿)
8		bormflebmf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))
9	3, 6, 7, 8	smfsssmf 47558	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐿))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  Fincfn 8955  TopOpenctopn 17510  ℝ^crrx 25612  SalGencsalgen 47127  volncvoln 47353  SMblFncsmblfn 47510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cc 10440  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-prod 15995  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-rhm 20614  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-drng 20893  df-field 20894  df-abv 20976  df-staf 21006  df-srng 21007  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lmhm 21207  df-lvec 21288  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-cnfld 21587  df-refld 21819  df-phl 21840  df-dsmm 21946  df-frlm 21961  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cmp 23613  df-xms 24547  df-ms 24548  df-nm 24809  df-ngp 24810  df-tng 24811  df-nrg 24812  df-nlm 24813  df-clm 25292  df-cph 25397  df-tcph 25398  df-rrx 25614  df-ovol 25693  df-vol 25694  df-salg 47124  df-salgen 47128  df-sumge0 47178  df-mea 47265  df-ome 47305  df-caragen 47307  df-ovoln 47352  df-voln 47354  df-smblfn 47511

This theorem is used by: (None)