Theorem bormflebmf 44255

Description: A Borel measurable function is Lebesgue measurable. Proposition 121D (a) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bormflebmf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
bormflebmf.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘(TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
bormflebmf.l	⊢ 𝐿 = dom (voln‘𝑋)
bormflebmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
bormflebmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐿))

Proof of Theorem bormflebmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6784	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ V)
2		bormflebmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘(TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
3	1, 2	salgencld 43857	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
4		bormflebmf.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
5		bormflebmf.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = dom (voln‘𝑋)
6	4, 5	dmovnsal 44119	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ SAlg)
7	4, 5, 2	borelmbl 44143	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐿)
8		bormflebmf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))
9	3, 6, 7, 8	smfsssmf 44245	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431  dom cdm 5589  ‘cfv 6431  Fincfn 8714  TopOpenctopn 17128  ℝ^crrx 24543  SalGencsalgen 43822  volncvoln 44045  SMblFncsmblfn 44202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9375  ax-cc 10190  ax-ac2 10218  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948  ax-addf 10949  ax-mulf 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-disj 5045  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-supp 7967  df-tpos 8031  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-2o 8287  df-oadd 8290  df-omul 8291  df-er 8479  df-map 8598  df-pm 8599  df-ixp 8667  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-fsupp 9105  df-fi 9146  df-sup 9177  df-inf 9178  df-oi 9245  df-dju 9658  df-card 9696  df-acn 9699  df-ac 9871  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-dec 12435  df-uz 12580  df-q 12686  df-rp 12728  df-xneg 12845  df-xadd 12846  df-xmul 12847  df-ioo 13080  df-ico 13082  df-icc 13083  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-fl 13508  df-seq 13718  df-exp 13779  df-hash 14041  df-cj 14806  df-re 14807  df-im 14808  df-sqrt 14942  df-abs 14943  df-clim 15193  df-rlim 15194  df-sum 15394  df-prod 15612  df-struct 16844  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-ress 16938  df-plusg 16971  df-mulr 16972  df-starv 16973  df-sca 16974  df-vsca 16975  df-ip 16976  df-tset 16977  df-ple 16978  df-ds 16980  df-unif 16981  df-hom 16982  df-cco 16983  df-rest 17129  df-topn 17130  df-0g 17148  df-gsum 17149  df-topgen 17150  df-prds 17154  df-pws 17156  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-mhm 18426  df-submnd 18427  df-grp 18576  df-minusg 18577  df-sbg 18578  df-subg 18748  df-ghm 18828  df-cntz 18919  df-cmn 19384  df-abl 19385  df-mgp 19717  df-ur 19734  df-ring 19781  df-cring 19782  df-oppr 19858  df-dvdsr 19879  df-unit 19880  df-invr 19910  df-dvr 19921  df-rnghom 19955  df-drng 19989  df-field 19990  df-subrg 20018  df-abv 20073  df-staf 20101  df-srng 20102  df-lmod 20121  df-lss 20190  df-lmhm 20280  df-lvec 20361  df-sra 20430  df-rgmod 20431  df-psmet 20585  df-xmet 20586  df-met 20587  df-bl 20588  df-mopn 20589  df-cnfld 20594  df-refld 20806  df-phl 20827  df-dsmm 20935  df-frlm 20950  df-top 22039  df-topon 22056  df-topsp 22078  df-bases 22092  df-cmp 22534  df-xms 23469  df-ms 23470  df-nm 23734  df-ngp 23735  df-tng 23736  df-nrg 23737  df-nlm 23738  df-clm 24222  df-cph 24328  df-tcph 24329  df-rrx 24545  df-ovol 24624  df-vol 24625  df-salg 43819  df-salgen 43823  df-sumge0 43870  df-mea 43957  df-ome 43997  df-caragen 43999  df-ovoln 44044  df-voln 44046  df-smblfn 44203

This theorem is referenced by: (None)