Theorem scmatmats 21860

Description: The set of an 𝑁 x 𝑁 scalar matrices over the ring 𝑅 expressed as a subset of 𝑁 x 𝑁 matrices over the ring 𝑅 with certain properties for their entries. (Contributed by AV, 31-Oct-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatmat.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmate.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmate.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatmats	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐾 ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )})

Distinct variable groups:   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐   𝐾,𝑐   𝑆,𝑐   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑐,𝑖,𝑗,𝑚   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗,𝑚   𝑅,𝑖,𝑗,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑚)   𝐾(𝑚)   0 (𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)

Proof of Theorem scmatmats

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmate.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		scmatmat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatmat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
6		scmatmat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatval 21853	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑚 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))})
8		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → 𝑚 ∈ 𝐵)
10		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
11	2	matring 21792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
12	3, 4	ringidcl 19989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
14	13	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
15	14	anim1ci 616	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝑐 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵))
16	1, 2, 3, 5	matvscl 21780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑐 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
17	10, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
18	2, 3	eqmat 21773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑚 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖(𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))𝑗)))
19	9, 17, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝑚 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖(𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))𝑗)))
20		simplll 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ Fin)
21		simpllr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → 𝑐 ∈ 𝐾)
23	20, 21, 22	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ 𝐾))
24		scmate.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
25	2, 1, 24, 4, 5	scmatscmide 21856	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ))
26	23, 25	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ))
27	26	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑖𝑚𝑗) = (𝑖(𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))𝑗) ↔ (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )))
28	27	2ralbidva 3210	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖(𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )))
29	19, 28	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝑚 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )))
30	29	rexbidva 3173	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑚 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐾 ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )))
31	30	rabbidva 3414	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝑚 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))} = {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐾 ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )})
32	7, 31	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐾 ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  {crab 3407  ifcif 4486  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  Basecbs 17083   ·_𝑠 cvsca 17137  0_gc0g 17321  1_rcur 19913  Ringcrg 19964   Mat cmat 21754   ScMat cscmat 21838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-scmat 21840

This theorem is referenced by:  scmateALT  21861  scmatdmat  21864