MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatmats Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatmats 22426
Description: The set of an ๐‘ x ๐‘ scalar matrices over the ring ๐‘… expressed as a subset of ๐‘ x ๐‘ matrices over the ring ๐‘… with certain properties for their entries. (Contributed by AV, 31-Oct-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatmat.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
scmatmat.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
scmatmat.s ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘…)
scmate.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
scmate.0 0 = (0gโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
scmatmats ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘† = {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘š๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘, 0 )})
Distinct variable groups:   ๐‘,๐‘   ๐‘…,๐‘   ๐พ,๐‘   ๐‘†,๐‘   ๐ด,๐‘–,๐‘—   ๐ต,๐‘,๐‘–,๐‘—,๐‘š   ๐‘–,๐พ,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘š   ๐‘…,๐‘–,๐‘—,๐‘š
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘š,๐‘)   ๐‘†(๐‘–,๐‘—,๐‘š)   ๐พ(๐‘š)   0 (๐‘–,๐‘—,๐‘š,๐‘)

Proof of Theorem scmatmats
StepHypRef Expression
1 scmate.k . . 3 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
2 scmatmat.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 scmatmat.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
4 eqid 2728 . . 3 (1rโ€˜๐ด) = (1rโ€˜๐ด)
5 eqid 2728 . . 3 ( ยท๐‘  โ€˜๐ด) = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
6 scmatmat.s . . 3 ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘…)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatval 22419 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘† = {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))})
8 simpr 484 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐ต)
98adantr 480 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐ต)
10 simpll 766 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
112matring 22358 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
123, 4ringidcl 20202 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
1413adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
1514anim1ci 615 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต))
161, 2, 3, 5matvscl 22346 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต)
1710, 15, 16syl2anc 583 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต)
182, 3eqmat 22339 . . . . . 6 ((๐‘š โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘š๐‘—) = (๐‘–(๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))๐‘—)))
199, 17, 18syl2anc 583 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘š๐‘—) = (๐‘–(๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))๐‘—)))
20 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
21 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
22 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
2320, 21, 223jca 1126 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ))
24 scmate.0 . . . . . . . . 9 0 = (0gโ€˜๐‘…)
252, 1, 24, 4, 5scmatscmide 22422 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–(๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘, 0 ))
2623, 25sylan 579 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–(๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘, 0 ))
2726eqeq2d 2739 . . . . . 6 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘–๐‘š๐‘—) = (๐‘–(๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))๐‘—) โ†” (๐‘–๐‘š๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘, 0 )))
28272ralbidva 3213 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘š๐‘—) = (๐‘–(๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))๐‘—) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘š๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘, 0 )))
2919, 28bitrd 279 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘š๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘, 0 )))
3029rexbidva 3173 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘š๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘, 0 )))
3130rabbidva 3436 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))} = {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘š๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘, 0 )})
327, 31eqtrd 2768 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘† = {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘š๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘, 0 )})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067  {crab 3429  ifcif 4529  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  Basecbs 17180   ยท๐‘  cvsca 17237  0gc0g 17421  1rcur 20121  Ringcrg 20173   Mat cmat 22320   ScMat cscmat 22404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-dsmm 21666  df-frlm 21681  df-mamu 22299  df-mat 22321  df-scmat 22406
This theorem is referenced by:  scmateALT  22427  scmatdmat  22430
  Copyright terms: Public domain W3C validator