MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatmats Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatmats 21883
Description: The set of an ๐‘ x ๐‘ scalar matrices over the ring ๐‘… expressed as a subset of ๐‘ x ๐‘ matrices over the ring ๐‘… with certain properties for their entries. (Contributed by AV, 31-Oct-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatmat.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
scmatmat.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
scmatmat.s ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘…)
scmate.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
scmate.0 0 = (0gโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
scmatmats ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘† = {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘š๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘, 0 )})
Distinct variable groups:   ๐‘,๐‘   ๐‘…,๐‘   ๐พ,๐‘   ๐‘†,๐‘   ๐ด,๐‘–,๐‘—   ๐ต,๐‘,๐‘–,๐‘—,๐‘š   ๐‘–,๐พ,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘š   ๐‘…,๐‘–,๐‘—,๐‘š
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘š,๐‘)   ๐‘†(๐‘–,๐‘—,๐‘š)   ๐พ(๐‘š)   0 (๐‘–,๐‘—,๐‘š,๐‘)

Proof of Theorem scmatmats
StepHypRef Expression
1 scmate.k . . 3 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
2 scmatmat.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 scmatmat.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
4 eqid 2733 . . 3 (1rโ€˜๐ด) = (1rโ€˜๐ด)
5 eqid 2733 . . 3 ( ยท๐‘  โ€˜๐ด) = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
6 scmatmat.s . . 3 ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘…)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatval 21876 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘† = {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))})
8 simpr 486 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐ต)
98adantr 482 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐ต)
10 simpll 766 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
112matring 21815 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
123, 4ringidcl 19997 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
1413adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
1514anim1ci 617 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต))
161, 2, 3, 5matvscl 21803 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต)
1710, 15, 16syl2anc 585 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต)
182, 3eqmat 21796 . . . . . 6 ((๐‘š โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘š๐‘—) = (๐‘–(๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))๐‘—)))
199, 17, 18syl2anc 585 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘š๐‘—) = (๐‘–(๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))๐‘—)))
20 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
21 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
22 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
2320, 21, 223jca 1129 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ))
24 scmate.0 . . . . . . . . 9 0 = (0gโ€˜๐‘…)
252, 1, 24, 4, 5scmatscmide 21879 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–(๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘, 0 ))
2623, 25sylan 581 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–(๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘, 0 ))
2726eqeq2d 2744 . . . . . 6 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘–๐‘š๐‘—) = (๐‘–(๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))๐‘—) โ†” (๐‘–๐‘š๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘, 0 )))
28272ralbidva 3207 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘š๐‘—) = (๐‘–(๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))๐‘—) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘š๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘, 0 )))
2919, 28bitrd 279 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘š๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘, 0 )))
3029rexbidva 3170 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘š๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘, 0 )))
3130rabbidva 3413 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))} = {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘š๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘, 0 )})
327, 31eqtrd 2773 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘† = {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–๐‘š๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘, 0 )})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3406  ifcif 4490  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  Basecbs 17091   ยท๐‘  cvsca 17145  0gc0g 17329  1rcur 19921  Ringcrg 19972   Mat cmat 21777   ScMat cscmat 21861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-mamu 21756  df-mat 21778  df-scmat 21863
This theorem is referenced by:  scmateALT  21884  scmatdmat  21887
  Copyright terms: Public domain W3C validator