Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatmats Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatmats 20685
 Description: The set of an 𝑁 x 𝑁 scalar matrices over the ring 𝑅 expressed as a subset of 𝑁 x 𝑁 matrices over the ring 𝑅 with certain properties for their entries. (Contributed by AV, 31-Oct-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatmat.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatmat.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmate.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmate.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatmats ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )})
Distinct variable groups:   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐   𝐾,𝑐   𝑆,𝑐   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑐,𝑖,𝑗,𝑚   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗,𝑚   𝑅,𝑖,𝑗,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑚)   𝐾(𝑚)   0 (𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)

Proof of Theorem scmatmats
StepHypRef Expression
1 scmate.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 scmatmat.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 scmatmat.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2825 . . 3 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5 eqid 2825 . . 3 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
6 scmatmat.s . . 3 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatval 20678 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐾 𝑚 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))})
8 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) → 𝑚𝐵)
98adantr 474 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑚𝐵)
10 simpll 785 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
112matring 20616 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
123, 4ringidcl 18922 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1413adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1514anim1i 610 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → ((1r𝐴) ∈ 𝐵𝑐𝐾))
1615ancomd 455 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑐𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵))
171, 2, 3, 5matvscl 20604 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑐𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
1810, 16, 17syl2anc 581 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
192, 3eqmat 20597 . . . . . 6 ((𝑚𝐵 ∧ (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑚 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖(𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))𝑗)))
209, 18, 19syl2anc 581 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑚 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖(𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))𝑗)))
21 simplll 793 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑁 ∈ Fin)
22 simpllr 795 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
23 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑐𝐾)
2421, 22, 233jca 1164 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾))
25 scmate.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
262, 1, 25, 4, 5scmatscmide 20681 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ))
2724, 26sylan 577 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ))
2827eqeq2d 2835 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑖𝑚𝑗) = (𝑖(𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))𝑗) ↔ (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )))
29282ralbidva 3197 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖(𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))𝑗) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )))
3020, 29bitrd 271 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑚 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )))
3130rexbidva 3259 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) → (∃𝑐𝐾 𝑚 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )))
3231rabbidva 3401 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐾 𝑚 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))} = {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )})
337, 32eqtrd 2861 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  {crab 3121  ifcif 4306  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Fincfn 8222  Basecbs 16222   ·𝑠 cvsca 16309  0gc0g 16453  1rcur 18855  Ringcrg 18901   Mat cmat 20580   ScMat cscmat 20663 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-ot 4406  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-sup 8617  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-hash 13411  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-hom 16329  df-cco 16330  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-prds 16461  df-pws 16463  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-mulg 17895  df-subg 17942  df-ghm 18009  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-subrg 19134  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-sra 19533  df-rgmod 19534  df-dsmm 20439  df-frlm 20454  df-mamu 20557  df-mat 20581  df-scmat 20665 This theorem is referenced by:  scmateALT  20686  scmatdmat  20689
 Copyright terms: Public domain W3C validator