MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatmats Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatmats 21274
Description: The set of an 𝑁 x 𝑁 scalar matrices over the ring 𝑅 expressed as a subset of 𝑁 x 𝑁 matrices over the ring 𝑅 with certain properties for their entries. (Contributed by AV, 31-Oct-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatmat.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatmat.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmate.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmate.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatmats ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )})
Distinct variable groups:   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐   𝐾,𝑐   𝑆,𝑐   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑐,𝑖,𝑗,𝑚   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗,𝑚   𝑅,𝑖,𝑗,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑚)   𝐾(𝑚)   0 (𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)

Proof of Theorem scmatmats
StepHypRef Expression
1 scmate.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 scmatmat.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 scmatmat.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2739 . . 3 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5 eqid 2739 . . 3 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
6 scmatmat.s . . 3 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatval 21267 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐾 𝑚 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))})
8 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) → 𝑚𝐵)
98adantr 484 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑚𝐵)
10 simpll 767 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
112matring 21206 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
123, 4ringidcl 19452 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1413adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1514anim1ci 619 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑐𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵))
161, 2, 3, 5matvscl 21194 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑐𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
1710, 15, 16syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
182, 3eqmat 21187 . . . . . 6 ((𝑚𝐵 ∧ (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑚 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖(𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))𝑗)))
199, 17, 18syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑚 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖(𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))𝑗)))
20 simplll 775 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑁 ∈ Fin)
21 simpllr 776 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
22 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑐𝐾)
2320, 21, 223jca 1129 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾))
24 scmate.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
252, 1, 24, 4, 5scmatscmide 21270 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ))
2623, 25sylan 583 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 ))
2726eqeq2d 2750 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑖𝑚𝑗) = (𝑖(𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))𝑗) ↔ (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )))
28272ralbidva 3111 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖(𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))𝑗) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )))
2919, 28bitrd 282 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑚 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )))
3029rexbidva 3207 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑚𝐵) → (∃𝑐𝐾 𝑚 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )))
3130rabbidva 3380 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐾 𝑚 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))} = {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )})
327, 31eqtrd 2774 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚𝐵 ∣ ∃𝑐𝐾𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, 0 )})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  wrex 3055  {crab 3058  ifcif 4424  cfv 6349  (class class class)co 7182  Fincfn 8567  Basecbs 16598   ·𝑠 cvsca 16684  0gc0g 16828  1rcur 19382  Ringcrg 19428   Mat cmat 21170   ScMat cscmat 21252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-ot 4535  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-of 7437  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-supp 7869  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-map 8451  df-ixp 8520  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-fsupp 8919  df-sup 8991  df-oi 9059  df-card 9453  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-9 11798  df-n0 11989  df-z 12075  df-dec 12192  df-uz 12337  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-seq 13473  df-hash 13795  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-ress 16606  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-sca 16696  df-vsca 16697  df-ip 16698  df-tset 16699  df-ple 16700  df-ds 16702  df-hom 16704  df-cco 16705  df-0g 16830  df-gsum 16831  df-prds 16836  df-pws 16838  df-mre 16972  df-mrc 16973  df-acs 16975  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-mhm 18084  df-submnd 18085  df-grp 18234  df-minusg 18235  df-sbg 18236  df-mulg 18355  df-subg 18406  df-ghm 18486  df-cntz 18577  df-cmn 19038  df-abl 19039  df-mgp 19371  df-ur 19383  df-ring 19430  df-subrg 19664  df-lmod 19767  df-lss 19835  df-sra 20075  df-rgmod 20076  df-dsmm 20560  df-frlm 20575  df-mamu 21149  df-mat 21171  df-scmat 21254
This theorem is referenced by:  scmateALT  21275  scmatdmat  21278
  Copyright terms: Public domain W3C validator