Theorem dmatscmcl 22729

Description: The multiplication of a diagonal matrix with a scalar is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatscmcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
dmatscmcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatscmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatscmcl.s	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
dmatscmcl.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dmatscmcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → (𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem dmatscmcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
2		dmatscmcl.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		dmatscmcl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		dmatscmcl.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
6	2, 3, 4, 5	dmatmat 22720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ 𝐷 → 𝑀 ∈ 𝐵))
7	6	com12 33	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ 𝐵))
8	7	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ 𝐵))
9	8	impcom 413	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
10	1, 9	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
11		dmatscmcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
12		dmatscmcl.s	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
13	11, 2, 3, 12	matvscl 22657	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵)) → (𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐵)
14	10, 13	syldan 603	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → (𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐵)
15	2, 3, 4, 5	dmatel 22719	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ 𝐷 ↔ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)))))
16	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝑀 ∈ 𝐷 ↔ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)))))
17		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
18		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → 𝐶 ∈ 𝐾)
19	18	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
21		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
22	17, 20, 21	3jca 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
24		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
25	2, 3, 11, 12, 24	matvscacell 22662	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (𝐶(.r‘𝑅)(𝑖𝑀𝑗)))
26	23, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (𝐶(.r‘𝑅)(𝑖𝑀𝑗)))
27		oveq2 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅) → (𝐶(.r‘𝑅)(𝑖𝑀𝑗)) = (𝐶(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
28	27	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → (𝐶(.r‘𝑅)(𝑖𝑀𝑗)) = (𝐶(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
29	11, 24, 4	ringrz 20440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐶(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
30	29	ad5ant23 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝐶(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
31	30	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → (𝐶(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
32	26, 28, 31	3eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅))
33	32	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅) → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅)))
34	33	imim2d 58	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅))))
35	34	ralimdvva 3211	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅))))
36	35	expimpd 459	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅))) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅))))
37	16, 36	sylbid 243	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝑀 ∈ 𝐷 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅))))
38	37	impr 460	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅)))
39	2, 3, 4, 5	dmatel 22719	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅)))))
40	39	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → ((𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅)))))
41	14, 38, 40	mpbir2and 726	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → (𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Fincfn 8955  Basecbs 17305  ._rcmulr 17347   ·_𝑠 cvsca 17350  0_gc0g 17528  Ringcrg 20376   Mat cmat 22633   DMat cdmat 22714

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-sbg 19066  df-subg 19250  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-ring 20378  df-subrg 20736  df-lmod 21050  df-lss 21120  df-sra 21361  df-rgmod 21362  df-dsmm 21949  df-frlm 21964  df-mat 22634  df-dmat 22716

This theorem is used by:  scmatscmiddistr  22734