Theorem dmatscmcl 22012

Description: The multiplication of a diagonal matrix with a scalar is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatscmcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
dmatscmcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatscmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatscmcl.s	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
dmatscmcl.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dmatscmcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → (𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem dmatscmcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 769	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
2		dmatscmcl.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		dmatscmcl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		dmatscmcl.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
6	2, 3, 4, 5	dmatmat 22003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ 𝐷 → 𝑀 ∈ 𝐵))
7	6	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ 𝐵))
8	7	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ 𝐵))
9	8	impcom 408	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
10	1, 9	jca 512	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
11		dmatscmcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
12		dmatscmcl.s	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
13	11, 2, 3, 12	matvscl 21940	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵)) → (𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐵)
14	10, 13	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → (𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐵)
15	2, 3, 4, 5	dmatel 22002	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ 𝐷 ↔ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)))))
16	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝑀 ∈ 𝐷 ↔ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)))))
17		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
18		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → 𝐶 ∈ 𝐾)
19	18	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
21		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
22	17, 20, 21	3jca 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
24		eqid 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
25	2, 3, 11, 12, 24	matvscacell 21945	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (𝐶(.r‘𝑅)(𝑖𝑀𝑗)))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (𝐶(.r‘𝑅)(𝑖𝑀𝑗)))
27		oveq2 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅) → (𝐶(.r‘𝑅)(𝑖𝑀𝑗)) = (𝐶(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
28	27	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → (𝐶(.r‘𝑅)(𝑖𝑀𝑗)) = (𝐶(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
29	11, 24, 4	ringrz 20110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐶(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
30	29	ad5ant23 758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝐶(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
31	30	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → (𝐶(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
32	26, 28, 31	3eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅))
33	32	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅) → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅)))
34	33	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅))))
35	34	ralimdvva 3204	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅))))
36	35	expimpd 454	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅))) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅))))
37	16, 36	sylbid 239	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝑀 ∈ 𝐷 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅))))
38	37	impr 455	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅)))
39	2, 3, 4, 5	dmatel 22002	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅)))))
40	39	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → ((𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅)))))
41	14, 38, 40	mpbir2and 711	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → (𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  Basecbs 17146  ._rcmulr 17200   ·_𝑠 cvsca 17203  0_gc0g 17387  Ringcrg 20058   Mat cmat 21914   DMat cdmat 21997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-subrg 20321  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-dsmm 21293  df-frlm 21308  df-mat 21915  df-dmat 21999

This theorem is referenced by:  scmatscmiddistr  22017