MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmatscmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmatscmcl 22004
Description: The multiplication of a diagonal matrix with a scalar is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatscmcl.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
dmatscmcl.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
dmatscmcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
dmatscmcl.s โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
dmatscmcl.d ๐ท = (๐‘ DMat ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
dmatscmcl (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐ถ โˆ— ๐‘€) โˆˆ ๐ท)

Proof of Theorem dmatscmcl
Dummy variables ๐‘– ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 769 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ท)) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
2 dmatscmcl.a . . . . . . . 8 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 dmatscmcl.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
4 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
5 dmatscmcl.d . . . . . . . 8 ๐ท = (๐‘ DMat ๐‘…)
62, 3, 4, 5dmatmat 21995 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ท โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต))
76com12 32 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ ๐ท โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต))
87adantl 482 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต))
98impcom 408 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ท)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
101, 9jca 512 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต))
11 dmatscmcl.k . . . 4 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
12 dmatscmcl.s . . . 4 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
1311, 2, 3, 12matvscl 21932 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ถ โˆ— ๐‘€) โˆˆ ๐ต)
1410, 13syldan 591 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐ถ โˆ— ๐‘€) โˆˆ ๐ต)
152, 3, 4, 5dmatel 21994 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ท โ†” (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…)))))
1615adantr 481 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ท โ†” (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…)))))
17 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
18 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
1918anim1i 615 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต))
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต))
21 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘))
2217, 20, 213jca 1128 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)))
2322adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง (๐‘–๐‘€๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)))
24 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
252, 3, 11, 12, 24matvscacell 21937 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–(๐ถ โˆ— ๐‘€)๐‘—) = (๐ถ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘€๐‘—)))
2623, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง (๐‘–๐‘€๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘–(๐ถ โˆ— ๐‘€)๐‘—) = (๐ถ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘€๐‘—)))
27 oveq2 7416 . . . . . . . . . 10 ((๐‘–๐‘€๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…) โ†’ (๐ถ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘€๐‘—)) = (๐ถ(.rโ€˜๐‘…)(0gโ€˜๐‘…)))
2827adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง (๐‘–๐‘€๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐ถ(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘€๐‘—)) = (๐ถ(.rโ€˜๐‘…)(0gโ€˜๐‘…)))
2911, 24, 4ringrz 20107 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐ถ(.rโ€˜๐‘…)(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
3029ad5ant23 758 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ถ(.rโ€˜๐‘…)(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
3130adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง (๐‘–๐‘€๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐ถ(.rโ€˜๐‘…)(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
3226, 28, 313eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง (๐‘–๐‘€๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘–(๐ถ โˆ— ๐‘€)๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…))
3332ex 413 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘–๐‘€๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…) โ†’ (๐‘–(๐ถ โˆ— ๐‘€)๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…)))
3433imim2d 57 . . . . . 6 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–(๐ถ โˆ— ๐‘€)๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…))))
3534ralimdvva 3204 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–(๐ถ โˆ— ๐‘€)๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…))))
3635expimpd 454 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–(๐ถ โˆ— ๐‘€)๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…))))
3716, 36sylbid 239 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ท โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–(๐ถ โˆ— ๐‘€)๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…))))
3837impr 455 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ท)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–(๐ถ โˆ— ๐‘€)๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…)))
392, 3, 4, 5dmatel 21994 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ((๐ถ โˆ— ๐‘€) โˆˆ ๐ท โ†” ((๐ถ โˆ— ๐‘€) โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–(๐ถ โˆ— ๐‘€)๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…)))))
4039adantr 481 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ท)) โ†’ ((๐ถ โˆ— ๐‘€) โˆˆ ๐ท โ†” ((๐ถ โˆ— ๐‘€) โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–(๐ถ โˆ— ๐‘€)๐‘—) = (0gโ€˜๐‘…)))))
4114, 38, 40mpbir2and 711 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐ถ โˆ— ๐‘€) โˆˆ ๐ท)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  Basecbs 17143  .rcmulr 17197   ยท๐‘  cvsca 17200  0gc0g 17384  Ringcrg 20055   Mat cmat 21906   DMat cdmat 21989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-mat 21907  df-dmat 21991
This theorem is referenced by:  scmatscmiddistr  22009
  Copyright terms: Public domain W3C validator