Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmatscmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmatscmcl 21112
 Description: The multiplication of a diagonal matrix with a scalar is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatscmcl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
dmatscmcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatscmcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatscmcl.s = ( ·𝑠𝐴)
dmatscmcl.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dmatscmcl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐷)) → (𝐶 𝑀) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem dmatscmcl
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐷)) → 𝐶𝐾)
2 dmatscmcl.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 dmatscmcl.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2824 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 dmatscmcl.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
62, 3, 4, 5dmatmat 21103 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀𝐷𝑀𝐵))
76com12 32 . . . . . 6 (𝑀𝐷 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀𝐵))
87adantl 485 . . . . 5 ((𝐶𝐾𝑀𝐷) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀𝐵))
98impcom 411 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐷)) → 𝑀𝐵)
101, 9jca 515 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐷)) → (𝐶𝐾𝑀𝐵))
11 dmatscmcl.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
12 dmatscmcl.s . . . 4 = ( ·𝑠𝐴)
1311, 2, 3, 12matvscl 21040 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐵)) → (𝐶 𝑀) ∈ 𝐵)
1410, 13syldan 594 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐷)) → (𝐶 𝑀) ∈ 𝐵)
152, 3, 4, 5dmatel 21102 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀𝐷 ↔ (𝑀𝐵 ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))))
1615adantr 484 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → (𝑀𝐷 ↔ (𝑀𝐵 ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)))))
17 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
18 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → 𝐶𝐾)
1918anim1i 617 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶𝐾𝑀𝐵))
2019adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝐶𝐾𝑀𝐵))
21 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
2217, 20, 213jca 1125 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
2322adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
24 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
252, 3, 11, 12, 24matvscacell 21045 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (𝐶(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑗)))
2623, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)) → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (𝐶(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑗)))
27 oveq2 7157 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅) → (𝐶(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑗)) = (𝐶(.r𝑅)(0g𝑅)))
2827adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)) → (𝐶(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑗)) = (𝐶(.r𝑅)(0g𝑅)))
2911, 24, 4ringrz 19341 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾) → (𝐶(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3029ad5ant23 759 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝐶(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3130adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)) → (𝐶(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3226, 28, 313eqtrd 2863 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)) → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (0g𝑅))
3332ex 416 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅) → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (0g𝑅)))
3433imim2d 57 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)) → (𝑖𝑗 → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (0g𝑅))))
3534ralimdvva 3174 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑀𝐵) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (0g𝑅))))
3635expimpd 457 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → ((𝑀𝐵 ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g𝑅))) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (0g𝑅))))
3716, 36sylbid 243 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → (𝑀𝐷 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (0g𝑅))))
3837impr 458 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐷)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (0g𝑅)))
392, 3, 4, 5dmatel 21102 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝐶 𝑀) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐶 𝑀) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (0g𝑅)))))
4039adantr 484 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐷)) → ((𝐶 𝑀) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐶 𝑀) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝐶 𝑀)𝑗) = (0g𝑅)))))
4114, 38, 40mpbir2and 712 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑀𝐷)) → (𝐶 𝑀) ∈ 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Fincfn 8505  Basecbs 16483  .rcmulr 16566   ·𝑠 cvsca 16569  0gc0g 16713  Ringcrg 19297   Mat cmat 21016   DMat cdmat 21097 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-mat 21017  df-dmat 21099 This theorem is referenced by:  scmatscmiddistr  21117
 Copyright terms: Public domain W3C validator