Theorem dmatscmcl 22510

Description: The multiplication of a diagonal matrix with a scalar is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatscmcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
dmatscmcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatscmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatscmcl.s	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
dmatscmcl.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dmatscmcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → (𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem dmatscmcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
2		dmatscmcl.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		dmatscmcl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		dmatscmcl.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
6	2, 3, 4, 5	dmatmat 22501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ 𝐷 → 𝑀 ∈ 𝐵))
7	6	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ 𝐵))
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ 𝐵))
9	8	impcom 407	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
10	1, 9	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
11		dmatscmcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
12		dmatscmcl.s	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
13	11, 2, 3, 12	matvscl 22438	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵)) → (𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐵)
14	10, 13	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → (𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐵)
15	2, 3, 4, 5	dmatel 22500	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ 𝐷 ↔ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)))))
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝑀 ∈ 𝐷 ↔ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)))))
17		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → 𝐶 ∈ 𝐾)
19	18	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
22	17, 20, 21	3jca 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
24		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
25	2, 3, 11, 12, 24	matvscacell 22443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (𝐶(.r‘𝑅)(𝑖𝑀𝑗)))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (𝐶(.r‘𝑅)(𝑖𝑀𝑗)))
27		oveq2 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅) → (𝐶(.r‘𝑅)(𝑖𝑀𝑗)) = (𝐶(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
28	27	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → (𝐶(.r‘𝑅)(𝑖𝑀𝑗)) = (𝐶(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
29	11, 24, 4	ringrz 20292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐶(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
30	29	ad5ant23 759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝐶(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → (𝐶(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
32	26, 28, 31	3eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅))
33	32	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅) → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅)))
34	33	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅))))
35	34	ralimdvva 3205	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅))))
36	35	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = (0g‘𝑅))) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅))))
37	16, 36	sylbid 240	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝑀 ∈ 𝐷 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅))))
38	37	impr 454	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅)))
39	2, 3, 4, 5	dmatel 22500	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅)))))
40	39	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → ((𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝐶 ∗ 𝑀)𝑗) = (0g‘𝑅)))))
41	14, 38, 40	mpbir2and 713	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷)) → (𝐶 ∗ 𝑀) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  Basecbs 17248  ._rcmulr 17299   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17485  Ringcrg 20231   Mat cmat 22412   DMat cdmat 22495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-mat 22413  df-dmat 22497

This theorem is referenced by:  scmatscmiddistr  22515