Theorem scmatlss 22873

Description: The set of scalar matrices is a linear subspace of the matrix algebra. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatlss.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatlss.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatlss	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝐴))

Proof of Theorem scmatlss

Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 𝑚 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatlss.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2	1	matsca2 22768	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
3		eqidd 2764	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
4		eqidd 2764	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴))
5		eqidd 2764	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴))
6		eqidd 2764	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
7		eqidd 2764	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (LSubSp‘𝐴) = (LSubSp‘𝐴))
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
12		scmatlss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
13	8, 1, 9, 10, 11, 12	scmatval 22852	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑚 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))})
14		ssrab2 4008	. . 3 ⊢ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑚 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))} ⊆ (Base‘𝐴)
15	13, 14	eqsstrdi 3957	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐴))
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	1, 9, 8, 16, 12	scmatid 22862	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝑆)
18	17	ne0d 4291	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ≠ ∅)
19	8, 1, 12, 11	smatvscl 22872	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥) ∈ 𝑆)
20	19	3adantr3 1190	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥) ∈ 𝑆)
21		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
22	20, 21	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥) ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))
23	1, 9, 8, 16, 12	scmataddcl 22864	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥) ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥)(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
24	22, 23	syldan 603	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥)(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
25	2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 18, 24	islssd 21243	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  {crab 3416  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Fincfn 9004  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460   ·_𝑠 cvsca 17464  0_gc0g 17642  1_rcur 20440  Ringcrg 20492  LSubSpclss 21239   Mat cmat 22755   ScMat cscmat 22837

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-sup 9464  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-hash 14505  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-prds 17650  df-pws 17652  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-mulg 19310  df-subg 19365  df-ghm 19460  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-subrg 20855  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-dsmm 22071  df-frlm 22086  df-mamu 22739  df-mat 22756  df-scmat 22839

This theorem is used by:  scmatghm  22881