MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatlss 21897
Description: The set of scalar matrices is a linear subspace of the matrix algebra. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatlss.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatlss.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatlss ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π΄))

Proof of Theorem scmatlss
Dummy variables π‘Ž π‘₯ 𝑦 π‘š 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatlss.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
21matsca2 21792 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π΄))
3 eqidd 2734 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
4 eqidd 2734 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄))
5 eqidd 2734 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (+gβ€˜π΄) = (+gβ€˜π΄))
6 eqidd 2734 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ( ·𝑠 β€˜π΄) = ( ·𝑠 β€˜π΄))
7 eqidd 2734 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (LSubSpβ€˜π΄) = (LSubSpβ€˜π΄))
8 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
9 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄)
10 eqid 2733 . . . 4 (1rβ€˜π΄) = (1rβ€˜π΄)
11 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π΄) = ( ·𝑠 β€˜π΄)
12 scmatlss.s . . . 4 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
138, 1, 9, 10, 11, 12scmatval 21876 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 = {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)π‘š = (𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄))})
14 ssrab2 4041 . . 3 {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)π‘š = (𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄))} βŠ† (Baseβ€˜π΄)
1513, 14eqsstrdi 4002 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π΄))
16 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
171, 9, 8, 16, 12scmatid 21886 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (1rβ€˜π΄) ∈ 𝑆)
1817ne0d 4299 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
198, 1, 12, 11smatvscl 21896 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π΄)π‘₯) ∈ 𝑆)
20193adantr3 1172 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π΄)π‘₯) ∈ 𝑆)
21 simpr3 1197 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
2220, 21jca 513 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π΄)π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))
231, 9, 8, 16, 12scmataddcl 21888 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π΄)π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π΄)π‘₯)(+gβ€˜π΄)𝑦) ∈ 𝑆)
2422, 23syldan 592 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π΄)π‘₯)(+gβ€˜π΄)𝑦) ∈ 𝑆)
252, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 18, 24islssd 20440 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  Basecbs 17091  +gcplusg 17141   ·𝑠 cvsca 17145  0gc0g 17329  1rcur 19921  Ringcrg 19972  LSubSpclss 20436   Mat cmat 21777   ScMat cscmat 21861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-mamu 21756  df-mat 21778  df-scmat 21863
This theorem is referenced by:  scmatghm  21905
  Copyright terms: Public domain W3C validator