Theorem scmatlss 22447

Description: The set of scalar matrices is a linear subspace of the matrix algebra. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatlss.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatlss.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatlss	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝐴))

Proof of Theorem scmatlss

Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 𝑚 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatlss.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2	1	matsca2 22342	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
3		eqidd 2729	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
4		eqidd 2729	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴))
5		eqidd 2729	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴))
6		eqidd 2729	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
7		eqidd 2729	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (LSubSp‘𝐴) = (LSubSp‘𝐴))
8		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
10		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
11		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
12		scmatlss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
13	8, 1, 9, 10, 11, 12	scmatval 22426	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑚 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))})
14		ssrab2 4077	. . 3 ⊢ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑚 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))} ⊆ (Base‘𝐴)
15	13, 14	eqsstrdi 4036	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐴))
16		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	1, 9, 8, 16, 12	scmatid 22436	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝑆)
18	17	ne0d 4339	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ≠ ∅)
19	8, 1, 12, 11	smatvscl 22446	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥) ∈ 𝑆)
20	19	3adantr3 1168	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥) ∈ 𝑆)
21		simpr3 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
22	20, 21	jca 510	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥) ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))
23	1, 9, 8, 16, 12	scmataddcl 22438	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥) ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥)(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
24	22, 23	syldan 589	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥)(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
25	2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 18, 24	islssd 20826	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3067  {crab 3430  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240   ·_𝑠 cvsca 17244  0_gc0g 17428  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  LSubSpclss 20822   Mat cmat 22327   ScMat cscmat 22411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-mamu 22306  df-mat 22328  df-scmat 22413

This theorem is referenced by:  scmatghm  22455