Theorem scmatlss 22377

Description: The set of scalar matrices is a linear subspace of the matrix algebra. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatlss.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatlss.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatlss	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝐴))

Proof of Theorem scmatlss

Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 𝑚 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatlss.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2	1	matsca2 22272	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
3		eqidd 2727	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
4		eqidd 2727	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴))
5		eqidd 2727	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴))
6		eqidd 2727	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
7		eqidd 2727	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (LSubSp‘𝐴) = (LSubSp‘𝐴))
8		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
10		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
11		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
12		scmatlss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
13	8, 1, 9, 10, 11, 12	scmatval 22356	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑚 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))})
14		ssrab2 4072	. . 3 ⊢ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑚 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))} ⊆ (Base‘𝐴)
15	13, 14	eqsstrdi 4031	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐴))
16		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	1, 9, 8, 16, 12	scmatid 22366	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝑆)
18	17	ne0d 4330	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ≠ ∅)
19	8, 1, 12, 11	smatvscl 22376	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥) ∈ 𝑆)
20	19	3adantr3 1168	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥) ∈ 𝑆)
21		simpr3 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
22	20, 21	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥) ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))
23	1, 9, 8, 16, 12	scmataddcl 22368	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥) ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥)(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
24	22, 23	syldan 590	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥)(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
25	2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 18, 24	islssd 20779	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064  {crab 3426  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  Basecbs 17150  +_gcplusg 17203   ·_𝑠 cvsca 17207  0_gc0g 17391  1_rcur 20083  Ringcrg 20135  LSubSpclss 20775   Mat cmat 22257   ScMat cscmat 22341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-dsmm 21622  df-frlm 21637  df-mamu 22236  df-mat 22258  df-scmat 22343

This theorem is referenced by:  scmatghm  22385