Theorem scmatlss 22481

Description: The set of scalar matrices is a linear subspace of the matrix algebra. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatlss.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatlss.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatlss	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝐴))

Proof of Theorem scmatlss

Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 𝑚 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatlss.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2	1	matsca2 22376	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
3		eqidd 2738	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
4		eqidd 2738	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴))
5		eqidd 2738	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴))
6		eqidd 2738	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
7		eqidd 2738	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (LSubSp‘𝐴) = (LSubSp‘𝐴))
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
12		scmatlss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
13	8, 1, 9, 10, 11, 12	scmatval 22460	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑚 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))})
14		ssrab2 4034	. . 3 ⊢ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑚 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))} ⊆ (Base‘𝐴)
15	13, 14	eqsstrdi 3980	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐴))
16		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	1, 9, 8, 16, 12	scmatid 22470	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝑆)
18	17	ne0d 4296	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ≠ ∅)
19	8, 1, 12, 11	smatvscl 22480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥) ∈ 𝑆)
20	19	3adantr3 1173	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥) ∈ 𝑆)
21		simpr3 1198	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
22	20, 21	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥) ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))
23	1, 9, 8, 16, 12	scmataddcl 22472	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥) ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥)(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
24	22, 23	syldan 592	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝐴)𝑥)(+g‘𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
25	2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 18, 24	islssd 20898	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {crab 3401  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189   ·_𝑠 cvsca 17193  0_gc0g 17371  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  LSubSpclss 20894   Mat cmat 22363   ScMat cscmat 22445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-dsmm 21699  df-frlm 21714  df-mamu 22347  df-mat 22364  df-scmat 22447

This theorem is referenced by:  scmatghm  22489