Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatlss 21128
 Description: The set of scalar matrices is a linear subspace of the matrix algebra. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatlss.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatlss.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatlss ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝐴))

Proof of Theorem scmatlss
Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 𝑚 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatlss.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
21matsca2 21023 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
3 eqidd 2823 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
4 eqidd 2823 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴))
5 eqidd 2823 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g𝐴) = (+g𝐴))
6 eqidd 2823 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴))
7 eqidd 2823 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (LSubSp‘𝐴) = (LSubSp‘𝐴))
8 eqid 2822 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9 eqid 2822 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
10 eqid 2822 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
11 eqid 2822 . . . 4 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
12 scmatlss.s . . . 4 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
138, 1, 9, 10, 11, 12scmatval 21107 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑚 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))})
14 ssrab2 4031 . . 3 {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑚 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))} ⊆ (Base‘𝐴)
1513, 14eqsstrdi 3996 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐴))
16 eqid 2822 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
171, 9, 8, 16, 12scmatid 21117 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝑆)
1817ne0d 4273 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ≠ ∅)
198, 1, 12, 11smatvscl 21127 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥𝑆)) → (𝑎( ·𝑠𝐴)𝑥) ∈ 𝑆)
20193adantr3 1168 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑎( ·𝑠𝐴)𝑥) ∈ 𝑆)
21 simpr3 1193 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦𝑆)
2220, 21jca 515 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑎( ·𝑠𝐴)𝑥) ∈ 𝑆𝑦𝑆))
231, 9, 8, 16, 12scmataddcl 21119 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑎( ·𝑠𝐴)𝑥) ∈ 𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑎( ·𝑠𝐴)𝑥)(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
2422, 23syldan 594 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆)) → ((𝑎( ·𝑠𝐴)𝑥)(+g𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
252, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 18, 24islssd 19698 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3131  {crab 3134  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Fincfn 8496  Basecbs 16474  +gcplusg 16556   ·𝑠 cvsca 16560  0gc0g 16704  1rcur 19242  Ringcrg 19288  LSubSpclss 19694   Mat cmat 21010   ScMat cscmat 21092 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-ot 4548  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-prds 16712  df-pws 16714  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-dsmm 20419  df-frlm 20434  df-mamu 20989  df-mat 21011  df-scmat 21094 This theorem is referenced by:  scmatghm  21136
 Copyright terms: Public domain W3C validator