MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomen1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomen1 8459
Description: Equality-like theorem for equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdomen1 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))

Proof of Theorem sdomen1
StepHypRef Expression
1 ensym 8357 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
2 ensdomtr 8451 . . 3 ((𝐵𝐴𝐴𝐶) → 𝐵𝐶)
31, 2sylan 572 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐶) → 𝐵𝐶)
4 ensdomtr 8451 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
53, 4impbida 788 1 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   class class class wbr 4930  cen 8305  csdm 8307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3417  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-br 4931  df-opab 4993  df-id 5313  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311
This theorem is referenced by:  isfiniteg  8575  djufi  9412  alephval2  9794  engch  9850
  Copyright terms: Public domain W3C validator