Theorem sdomen1 9063

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdomen1	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ 𝐵 ≺ 𝐶))

Proof of Theorem sdomen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 8954	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
2		ensdomtr 9055	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝐶) → 𝐵 ≺ 𝐶)
3	1, 2	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≺ 𝐶) → 𝐵 ≺ 𝐶)
4		ensdomtr 9055	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)
5	3, 4	impbida 801	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ 𝐵 ≺ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   class class class wbr 5100   ≈ cen 8894   ≺ csdm 8896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900

This theorem is referenced by:  isfiniteg  9214  djufi  10111  alephval2  10497  engch  10553