Theorem sdomen1 9051

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdomen1	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ 𝐵 ≺ 𝐶))

Proof of Theorem sdomen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 8942	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
2		ensdomtr 9043	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≺ 𝐶) → 𝐵 ≺ 𝐶)
3	1, 2	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≺ 𝐶) → 𝐵 ≺ 𝐶)
4		ensdomtr 9043	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)
5	3, 4	impbida 801	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≺ 𝐶 ↔ 𝐵 ≺ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   class class class wbr 5097   ≈ cen 8882   ≺ csdm 8884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888

This theorem is referenced by:  isfiniteg  9202  djufi  10099  alephval2  10485  engch  10541