Theorem sdomen2 8791

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdomen2	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≺ 𝐴 ↔ 𝐶 ≺ 𝐵))

Proof of Theorem sdomen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomentr 8780	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐶 ≺ 𝐵)
2	1	ancoms 462	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≺ 𝐴) → 𝐶 ≺ 𝐵)
3		ensym 8677	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
4		sdomentr 8780	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐶 ≺ 𝐴)
5	4	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≺ 𝐵) → 𝐶 ≺ 𝐴)
6	3, 5	sylan 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≺ 𝐵) → 𝐶 ≺ 𝐴)
7	2, 6	impbida 801	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≺ 𝐴 ↔ 𝐶 ≺ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   class class class wbr 5053   ≈ cen 8623   ≺ csdm 8625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629

This theorem is referenced by:  djuxpdom  9799  alephval2  10186  engch  10242  canthp1lem2  10267  hargch  10287  alephgch  10288  ovoliunnfl  35556