Theorem sdomen2 9054

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdomen2	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≺ 𝐴 ↔ 𝐶 ≺ 𝐵))

Proof of Theorem sdomen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomentr 9043	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐶 ≺ 𝐵)
2	1	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≺ 𝐴) → 𝐶 ≺ 𝐵)
3		ensym 8944	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
4		sdomentr 9043	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐶 ≺ 𝐴)
5	4	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≺ 𝐵) → 𝐶 ≺ 𝐴)
6	3, 5	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≺ 𝐵) → 𝐶 ≺ 𝐴)
7	2, 6	impbida 801	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≺ 𝐴 ↔ 𝐶 ≺ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   class class class wbr 5086   ≈ cen 8884   ≺ csdm 8886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890

This theorem is referenced by:  djuxpdom  10102  alephval2  10489  engch  10545  canthp1lem2  10570  hargch  10590  alephgch  10591  ovoliunnfl  38000