Theorem sdomen2 9167

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdomen2	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≺ 𝐴 ↔ 𝐶 ≺ 𝐵))

Proof of Theorem sdomen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomentr 9156	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐶 ≺ 𝐵)
2	1	ancoms 457	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≺ 𝐴) → 𝐶 ≺ 𝐵)
3		ensym 9042	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
4		sdomentr 9156	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐶 ≺ 𝐴)
5	4	ancoms 457	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≺ 𝐵) → 𝐶 ≺ 𝐴)
6	3, 5	sylan 578	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≺ 𝐵) → 𝐶 ≺ 𝐴)
7	2, 6	impbida 799	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≺ 𝐴 ↔ 𝐶 ≺ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   class class class wbr 5156   ≈ cen 8979   ≺ csdm 8981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rab 3429  df-v 3474  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-br 5157  df-opab 5219  df-id 5584  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-er 8742  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985

This theorem is referenced by:  djuxpdom  10236  alephval2  10622  engch  10678  canthp1lem2  10703  hargch  10723  alephgch  10724  ovoliunnfl  37410