MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomen2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomen2 9153
Description: Equality-like theorem for equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdomen2 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))

Proof of Theorem sdomen2
StepHypRef Expression
1 sdomentr 9142 . . 3 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
21ancoms 457 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐴) → 𝐶𝐵)
3 ensym 9030 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 sdomentr 9142 . . . 4 ((𝐶𝐵𝐵𝐴) → 𝐶𝐴)
54ancoms 457 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
63, 5sylan 578 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
72, 6impbida 799 1 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   class class class wbr 5152  cen 8967  csdm 8969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973
This theorem is referenced by:  djuxpdom  10216  alephval2  10603  engch  10659  canthp1lem2  10684  hargch  10704  alephgch  10705  ovoliunnfl  37168
  Copyright terms: Public domain W3C validator