Theorem sdomen2 9188

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sdomen2	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≺ 𝐴 ↔ 𝐶 ≺ 𝐵))

Proof of Theorem sdomen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomentr 9177	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐶 ≺ 𝐵)
2	1	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≺ 𝐴) → 𝐶 ≺ 𝐵)
3		ensym 9063	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
4		sdomentr 9177	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≺ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐶 ≺ 𝐴)
5	4	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≺ 𝐵) → 𝐶 ≺ 𝐴)
6	3, 5	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≺ 𝐵) → 𝐶 ≺ 𝐴)
7	2, 6	impbida 800	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≺ 𝐴 ↔ 𝐶 ≺ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   class class class wbr 5166   ≈ cen 9000   ≺ csdm 9002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006

This theorem is referenced by:  djuxpdom  10255  alephval2  10641  engch  10697  canthp1lem2  10722  hargch  10742  alephgch  10743  ovoliunnfl  37622