Theorem djufi 9873

Description: The disjoint union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
djufi	⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≺ ω)

Proof of Theorem djufi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9590	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		0elon 6304	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
3		relsdom 8698	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≺
4	3	brrelex1i 5634	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ V)
5		xpsnen2g 8805	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
6	2, 4, 5	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
7		sdomen1 8857	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → (({∅} × 𝐴) ≺ ω ↔ 𝐴 ≺ ω))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (({∅} × 𝐴) ≺ ω ↔ 𝐴 ≺ ω))
9	8	ibir 267	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ({∅} × 𝐴) ≺ ω)
10		1on 8274	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
11	3	brrelex1i 5634	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≺ ω → 𝐵 ∈ V)
12		xpsnen2g 8805	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
13	10, 11, 12	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≺ ω → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
14		sdomen1 8857	. . . . 5 ⊢ (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵 → (({1o} × 𝐵) ≺ ω ↔ 𝐵 ≺ ω))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ ω → (({1o} × 𝐵) ≺ ω ↔ 𝐵 ≺ ω))
16	15	ibir 267	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ ω → ({1o} × 𝐵) ≺ ω)
17		unfi2 9013	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≺ ω ∧ ({1o} × 𝐵) ≺ ω) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≺ ω)
18	9, 16, 17	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≺ ω)
19	1, 18	eqbrtrid 5105	1 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≺ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∪ cun 3881  ∅c0 4253  {csn 4558   class class class wbr 5070   × cxp 5578  Oncon0 6251  ωcom 7687  1_oc1o 8260   ≈ cen 8688   ≺ csdm 8690   ⊔ cdju 9587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590

This theorem is referenced by:  canthp1lem2  10340