Theorem djufi 10210

Description: The disjoint union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
djufi	⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≺ ω)

Proof of Theorem djufi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9924	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		0elon 6419	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
3		relsdom 8975	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≺
4	3	brrelex1i 5723	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ V)
5		xpsnen2g 9088	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
6	2, 4, 5	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
7		sdomen1 9144	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → (({∅} × 𝐴) ≺ ω ↔ 𝐴 ≺ ω))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (({∅} × 𝐴) ≺ ω ↔ 𝐴 ≺ ω))
9	8	ibir 268	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ({∅} × 𝐴) ≺ ω)
10		1on 8501	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
11	3	brrelex1i 5723	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≺ ω → 𝐵 ∈ V)
12		xpsnen2g 9088	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
13	10, 11, 12	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≺ ω → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
14		sdomen1 9144	. . . . 5 ⊢ (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵 → (({1o} × 𝐵) ≺ ω ↔ 𝐵 ≺ ω))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ ω → (({1o} × 𝐵) ≺ ω ↔ 𝐵 ≺ ω))
16	15	ibir 268	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ ω → ({1o} × 𝐵) ≺ ω)
17		unfi2 9331	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≺ ω ∧ ({1o} × 𝐵) ≺ ω) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≺ ω)
18	9, 16, 17	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≺ ω)
19	1, 18	eqbrtrid 5160	1 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≺ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  Vcvv 3464   ∪ cun 3931  ∅c0 4315  {csn 4608   class class class wbr 5125   × cxp 5665  Oncon0 6365  ωcom 7870  1_oc1o 8482   ≈ cen 8965   ≺ csdm 8967   ⊔ cdju 9921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-dju 9924

This theorem is referenced by:  canthp1lem2  10676