Theorem djufi 10180

Description: The disjoint union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
djufi	⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≺ ω)

Proof of Theorem djufi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9895	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		0elon 6418	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
3		relsdom 8945	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≺
4	3	brrelex1i 5732	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ V)
5		xpsnen2g 9064	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
6	2, 4, 5	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
7		sdomen1 9120	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → (({∅} × 𝐴) ≺ ω ↔ 𝐴 ≺ ω))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (({∅} × 𝐴) ≺ ω ↔ 𝐴 ≺ ω))
9	8	ibir 267	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ({∅} × 𝐴) ≺ ω)
10		1on 8477	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
11	3	brrelex1i 5732	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≺ ω → 𝐵 ∈ V)
12		xpsnen2g 9064	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
13	10, 11, 12	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≺ ω → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
14		sdomen1 9120	. . . . 5 ⊢ (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵 → (({1o} × 𝐵) ≺ ω ↔ 𝐵 ≺ ω))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ ω → (({1o} × 𝐵) ≺ ω ↔ 𝐵 ≺ ω))
16	15	ibir 267	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ ω → ({1o} × 𝐵) ≺ ω)
17		unfi2 9314	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≺ ω ∧ ({1o} × 𝐵) ≺ ω) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≺ ω)
18	9, 16, 17	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≺ ω)
19	1, 18	eqbrtrid 5183	1 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≺ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∪ cun 3946  ∅c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   × cxp 5674  Oncon0 6364  ωcom 7854  1_oc1o 8458   ≈ cen 8935   ≺ csdm 8937   ⊔ cdju 9892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895

This theorem is referenced by:  canthp1lem2  10647