Theorem djufi 10081

Description: The disjoint union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
djufi	⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≺ ω)

Proof of Theorem djufi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9797	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		0elon 6362	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
3		relsdom 8879	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≺
4	3	brrelex1i 5675	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ V)
5		xpsnen2g 8987	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
6	2, 4, 5	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
7		sdomen1 9038	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → (({∅} × 𝐴) ≺ ω ↔ 𝐴 ≺ ω))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (({∅} × 𝐴) ≺ ω ↔ 𝐴 ≺ ω))
9	8	ibir 268	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ({∅} × 𝐴) ≺ ω)
10		1on 8400	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
11	3	brrelex1i 5675	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≺ ω → 𝐵 ∈ V)
12		xpsnen2g 8987	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
13	10, 11, 12	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≺ ω → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
14		sdomen1 9038	. . . . 5 ⊢ (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵 → (({1o} × 𝐵) ≺ ω ↔ 𝐵 ≺ ω))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ ω → (({1o} × 𝐵) ≺ ω ↔ 𝐵 ≺ ω))
16	15	ibir 268	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ ω → ({1o} × 𝐵) ≺ ω)
17		unfi2 9199	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≺ ω ∧ ({1o} × 𝐵) ≺ ω) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≺ ω)
18	9, 16, 17	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≺ ω)
19	1, 18	eqbrtrid 5127	1 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≺ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∪ cun 3901  ∅c0 4284  {csn 4577   class class class wbr 5092   × cxp 5617  Oncon0 6307  ωcom 7799  1_oc1o 8381   ≈ cen 8869   ≺ csdm 8871   ⊔ cdju 9794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-dju 9797

This theorem is referenced by:  canthp1lem2  10547