Theorem djufi 10109

Description: The disjoint union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
djufi	⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≺ ω)

Proof of Theorem djufi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dju 9825	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐵) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵))
2		0elon 6378	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ On
3		relsdom 8900	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≺
4	3	brrelex1i 5687	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ V)
5		xpsnen2g 9008	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
6	2, 4, 5	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
7		sdomen1 9059	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴 → (({∅} × 𝐴) ≺ ω ↔ 𝐴 ≺ ω))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (({∅} × 𝐴) ≺ ω ↔ 𝐴 ≺ ω))
9	8	ibir 268	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ ω → ({∅} × 𝐴) ≺ ω)
10		1on 8417	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
11	3	brrelex1i 5687	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≺ ω → 𝐵 ∈ V)
12		xpsnen2g 9008	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ V) → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
13	10, 11, 12	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≺ ω → ({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵)
14		sdomen1 9059	. . . . 5 ⊢ (({1o} × 𝐵) ≈ 𝐵 → (({1o} × 𝐵) ≺ ω ↔ 𝐵 ≺ ω))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ ω → (({1o} × 𝐵) ≺ ω ↔ 𝐵 ≺ ω))
16	15	ibir 268	. . 3 ⊢ (𝐵 ≺ ω → ({1o} × 𝐵) ≺ ω)
17		unfi2 9220	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ≺ ω ∧ ({1o} × 𝐵) ≺ ω) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≺ ω)
18	9, 16, 17	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐵)) ≺ ω)
19	1, 18	eqbrtrid 5120	1 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≺ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∪ cun 3887  ∅c0 4273  {csn 4567   class class class wbr 5085   × cxp 5629  Oncon0 6323  ωcom 7817  1_oc1o 8398   ≈ cen 8890   ≺ csdm 8892   ⊔ cdju 9822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825

This theorem is referenced by:  canthp1lem2  10576