MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domen2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domen2 9120
Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
domen2 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))

Proof of Theorem domen2
StepHypRef Expression
1 domentr 9009 . . 3 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
21ancoms 460 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐴) → 𝐶𝐵)
3 ensym 8999 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 domentr 9009 . . . 4 ((𝐶𝐵𝐵𝐴) → 𝐶𝐴)
54ancoms 460 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
63, 5sylan 581 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
72, 6impbida 800 1 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   class class class wbr 5149  cen 8936  cdom 8937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941
This theorem is referenced by:  infdiffi  9653  carddomi2  9965  numdom  10033  djudom2  10178  infdif  10204  fin45  10387  fin67  10390  aleph1  10566  gchdomtri  10624  gchpwdom  10665  gchhar  10674  ctbnfien  41556
  Copyright terms: Public domain W3C validator