Theorem domen2 9058

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
domen2	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≼ 𝐴 ↔ 𝐶 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem domen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domentr 8960	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐵)
2	1	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐴) → 𝐶 ≼ 𝐵)
3		ensym 8950	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
4		domentr 8960	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐶 ≼ 𝐴)
5	4	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐴)
6	3, 5	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐴)
7	2, 6	impbida 801	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≼ 𝐴 ↔ 𝐶 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   class class class wbr 5085   ≈ cen 8890   ≼ cdom 8891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895

This theorem is referenced by:  infdiffi  9579  carddomi2  9894  numdom  9960  djudom2  10106  infdif  10130  fin45  10314  fin67  10317  aleph1  10494  gchdomtri  10552  gchpwdom  10593  gchhar  10602  ctbnfien  43246