Theorem domen2 8703

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
domen2	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≼ 𝐴 ↔ 𝐶 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem domen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domentr 8607	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐵)
2	1	ancoms 462	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐴) → 𝐶 ≼ 𝐵)
3		ensym 8597	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
4		domentr 8607	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐶 ≼ 𝐴)
5	4	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐴)
6	3, 5	sylan 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐵) → 𝐶 ≼ 𝐴)
7	2, 6	impbida 801	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≼ 𝐴 ↔ 𝐶 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   class class class wbr 5027   ≈ cen 8545   ≼ cdom 8546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3399  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-br 5028  df-opab 5090  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550

This theorem is referenced by:  infdiffi  9187  carddomi2  9465  numdom  9531  djudom2  9676  infdif  9702  fin45  9885  fin67  9888  aleph1  10064  gchdomtri  10122  gchpwdom  10163  gchhar  10172  ctbnfien  40196