MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domen2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domen2 9160
Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
domen2 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))

Proof of Theorem domen2
StepHypRef Expression
1 domentr 9053 . . 3 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
21ancoms 458 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐴) → 𝐶𝐵)
3 ensym 9043 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 domentr 9053 . . . 4 ((𝐶𝐵𝐵𝐴) → 𝐶𝐴)
54ancoms 458 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
63, 5sylan 580 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
72, 6impbida 801 1 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   class class class wbr 5143  cen 8982  cdom 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987
This theorem is referenced by:  infdiffi  9698  carddomi2  10010  numdom  10078  djudom2  10224  infdif  10248  fin45  10432  fin67  10435  aleph1  10611  gchdomtri  10669  gchpwdom  10710  gchhar  10719  ctbnfien  42829
  Copyright terms: Public domain W3C validator