MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domen2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domen2 8703
Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
domen2 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))

Proof of Theorem domen2
StepHypRef Expression
1 domentr 8607 . . 3 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
21ancoms 462 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐴) → 𝐶𝐵)
3 ensym 8597 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 domentr 8607 . . . 4 ((𝐶𝐵𝐵𝐴) → 𝐶𝐴)
54ancoms 462 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
63, 5sylan 583 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
72, 6impbida 801 1 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   class class class wbr 5027  cen 8545  cdom 8546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3399  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-br 5028  df-opab 5090  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550
This theorem is referenced by:  infdiffi  9187  carddomi2  9465  numdom  9531  djudom2  9676  infdif  9702  fin45  9885  fin67  9888  aleph1  10064  gchdomtri  10122  gchpwdom  10163  gchhar  10172  ctbnfien  40196
  Copyright terms: Public domain W3C validator