MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domen2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domen2 8659
Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
domen2 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))

Proof of Theorem domen2
StepHypRef Expression
1 domentr 8567 . . 3 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
21ancoms 461 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐴) → 𝐶𝐵)
3 ensym 8557 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 domentr 8567 . . . 4 ((𝐶𝐵𝐵𝐴) → 𝐶𝐴)
54ancoms 461 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
63, 5sylan 582 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
72, 6impbida 799 1 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208   class class class wbr 5065  cen 8505  cdom 8506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510
This theorem is referenced by:  infdiffi  9120  carddomi2  9398  numdom  9463  djudom2  9608  infdif  9630  fin45  9813  fin67  9816  aleph1  9992  gchdomtri  10050  gchpwdom  10091  gchhar  10100  ctbnfien  39413
  Copyright terms: Public domain W3C validator