MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domen2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domen2 8391
Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
domen2 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))

Proof of Theorem domen2
StepHypRef Expression
1 domentr 8300 . . 3 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
21ancoms 452 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐴) → 𝐶𝐵)
3 ensym 8290 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 domentr 8300 . . . 4 ((𝐶𝐵𝐵𝐴) → 𝐶𝐴)
54ancoms 452 . . 3 ((𝐵𝐴𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
63, 5sylan 575 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐴)
72, 6impbida 791 1 (𝐴𝐵 → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   class class class wbr 4886  cen 8238  cdom 8239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243
This theorem is referenced by:  infdiffi  8852  carddomi2  9129  numdom  9194  cdadom2  9344  infdif  9366  fin45  9549  fin67  9552  aleph1  9728  gchdomtri  9786  gchpwdom  9827  gchhar  9836  ctbnfien  38342
  Copyright terms: Public domain W3C validator