Theorem ensdomtr 9026

Description: Transitivity of equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensdomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem ensdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8901	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domsdomtr 9025	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5089   ≈ cen 8866   ≼ cdom 8867   ≺ csdm 8868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872

This theorem is referenced by:  sdomen1  9034  sucxpdom  9145  isfinite2  9182  pm54.43  9894  infxpenlem  9904  alephnbtwn2  9963  alephordi  9965  alephsucdom  9970  pwsdompw  10094  infunsdom1  10103  cflim2  10154  fin23lem27  10219  cfpwsdom  10475  inawinalem  10580  inar1  10666  tskcard  10672  tskuni  10674  rpnnen  16136  resdomq  16153  aleph1re  16154  aleph1irr  16155  1nprm  16590  ensucne0OLD  43622