MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ensdomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ensdomtr 8641
Description: Transitivity of equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ensdomtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem ensdomtr
StepHypRef Expression
1 endom 8524 . 2 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2 domsdomtr 8640 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan 580 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   class class class wbr 5057  cen 8494  cdom 8495  csdm 8496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500
This theorem is referenced by:  sdomen1  8649  sucxpdom  8715  f1finf1o  8733  findcard3  8749  isfinite2  8764  pm54.43  9417  infxpenlem  9427  alephnbtwn2  9486  alephordi  9488  alephsucdom  9493  pwsdompw  9614  infunsdom1  9623  cflim2  9673  fin23lem27  9738  cfpwsdom  9994  inawinalem  10099  inar1  10185  tskcard  10191  tskuni  10193  rpnnen  15568  resdomq  15585  aleph1re  15586  aleph1irr  15587  1nprm  16011  ensucne0OLD  39774
  Copyright terms: Public domain W3C validator