Theorem ensdomtr 9077

Description: Transitivity of equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensdomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem ensdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8950	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domsdomtr 9076	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5107   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921

This theorem is referenced by:  sdomen1  9085  sucxpdom  9202  f1finf1oOLD  9217  findcard3OLD  9230  isfinite2  9245  pm54.43  9954  infxpenlem  9966  alephnbtwn2  10025  alephordi  10027  alephsucdom  10032  pwsdompw  10156  infunsdom1  10165  cflim2  10216  fin23lem27  10281  cfpwsdom  10537  inawinalem  10642  inar1  10728  tskcard  10734  tskuni  10736  rpnnen  16195  resdomq  16212  aleph1re  16213  aleph1irr  16214  1nprm  16649  ensucne0OLD  43519