MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ensdomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ensdomtr 9115
Description: Transitivity of equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ensdomtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem ensdomtr
StepHypRef Expression
1 endom 8977 . 2 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2 domsdomtr 9114 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan 578 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   class class class wbr 5147  cen 8938  cdom 8939  csdm 8940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944
This theorem is referenced by:  sdomen1  9123  sucxpdom  9257  f1finf1oOLD  9274  findcard3OLD  9288  isfinite2  9303  pm54.43  9998  infxpenlem  10010  alephnbtwn2  10069  alephordi  10071  alephsucdom  10076  pwsdompw  10201  infunsdom1  10210  cflim2  10260  fin23lem27  10325  cfpwsdom  10581  inawinalem  10686  inar1  10772  tskcard  10778  tskuni  10780  rpnnen  16174  resdomq  16191  aleph1re  16192  aleph1irr  16193  1nprm  16620  ensucne0OLD  42583
  Copyright terms: Public domain W3C validator