Theorem ensdomtr 9045

Description: Transitivity of equinumerosity and strict dominance. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensdomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Proof of Theorem ensdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8920	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domsdomtr 9044	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)
3	1, 2	sylan 581	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≺ 𝐶) → 𝐴 ≺ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5099   ≈ cen 8884   ≼ cdom 8885   ≺ csdm 8886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890

This theorem is referenced by:  sdomen1  9053  sucxpdom  9165  isfinite2  9202  pm54.43  9917  infxpenlem  9927  alephnbtwn2  9986  alephordi  9988  alephsucdom  9993  pwsdompw  10117  infunsdom1  10126  cflim2  10177  fin23lem27  10242  cfpwsdom  10499  inawinalem  10604  inar1  10690  tskcard  10696  tskuni  10698  rpnnen  16156  resdomq  16173  aleph1re  16174  aleph1irr  16175  1nprm  16610  ensucne0OLD  43838