MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfiniteg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfiniteg 9325
Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. In order to avoid the Axiom of infinity, we include it as a hypothesis. (Contributed by NM, 3-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfiniteg (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))

Proof of Theorem isfiniteg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 8993 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
2 nnsdomg 9323 . . . . 5 ((ω ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ≺ ω)
3 sdomen1 9142 . . . . 5 (𝐴𝑥 → (𝐴 ≺ ω ↔ 𝑥 ≺ ω))
42, 3syl5ibrcom 246 . . . 4 ((ω ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴𝑥𝐴 ≺ ω))
54rexlimdva 3145 . . 3 (ω ∈ V → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥𝐴 ≺ ω))
61, 5biimtrid 241 . 2 (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≺ ω))
7 isfinite2 9322 . 2 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
86, 7impbid1 224 1 (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098  wrex 3060  Vcvv 3463   class class class wbr 5141  ωcom 7866  cen 8957  csdm 8959  Fincfn 8960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7417  df-om 7867  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964
This theorem is referenced by:  unfi2  9337  unifi2  9364  isfinite  9673  axcclem  10478
  Copyright terms: Public domain W3C validator