Theorem isfiniteg 9304

Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. In order to avoid the Axiom of infinity, we include it as a hypothesis. (Contributed by NM, 3-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfiniteg	⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))

Proof of Theorem isfiniteg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8972	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		nnsdomg 9302	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ≺ ω)
3		sdomen1 9121	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑥 → (𝐴 ≺ ω ↔ 𝑥 ≺ ω))
4	2, 3	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ≺ ω))
5	4	rexlimdva 3156	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ≺ ω))
6	1, 5	biimtrid 241	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≺ ω))
7		isfinite2 9301	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
8	6, 7	impbid1 224	1 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  ωcom 7855   ≈ cen 8936   ≺ csdm 8938  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943

This theorem is referenced by:  unfi2  9315  unifi2  9342  isfinite  9647  axcclem  10452