Theorem isfiniteg 9307

Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. In order to avoid the Axiom of infinity, we include it as a hypothesis. (Contributed by NM, 3-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfiniteg	⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))

Proof of Theorem isfiniteg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8988	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		nnsdomg 9305	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ≺ ω)
3		sdomen1 9133	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑥 → (𝐴 ≺ ω ↔ 𝑥 ≺ ω))
4	2, 3	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ≺ ω))
5	4	rexlimdva 3141	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ≺ ω))
6	1, 5	biimtrid 242	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≺ ω))
7		isfinite2 9304	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
8	6, 7	impbid1 225	1 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   class class class wbr 5119  ωcom 7859   ≈ cen 8954   ≺ csdm 8956  Fincfn 8957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961

This theorem is referenced by:  unfi2  9318  unifi2  9355  isfinite  9664  axcclem  10469