Theorem isfiniteg 9306

Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. In order to avoid the Axiom of infinity, we include it as a hypothesis. (Contributed by NM, 3-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfiniteg	⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))

Proof of Theorem isfiniteg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8974	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		nnsdomg 9304	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ≺ ω)
3		sdomen1 9123	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑥 → (𝐴 ≺ ω ↔ 𝑥 ≺ ω))
4	2, 3	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ≺ ω))
5	4	rexlimdva 3149	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ≺ ω))
6	1, 5	biimtrid 241	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≺ ω))
7		isfinite2 9303	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
8	6, 7	impbid1 224	1 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064  Vcvv 3468   class class class wbr 5141  ωcom 7852   ≈ cen 8938   ≺ csdm 8940  Fincfn 8941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945

This theorem is referenced by:  unfi2  9317  unifi2  9344  isfinite  9649  axcclem  10454