Theorem isfiniteg 9256

Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. In order to avoid the Axiom of infinity, we include it as a hypothesis. (Contributed by NM, 3-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfiniteg	⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))

Proof of Theorem isfiniteg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8968	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		nnsdomg 9255	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ≺ ω)
3		sdomen1 9105	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑥 → (𝐴 ≺ ω ↔ 𝑥 ≺ ω))
4	2, 3	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ≺ ω))
5	4	rexlimdva 3172	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ≺ ω))
6	1, 5	biimtrid 245	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≺ ω))
7		isfinite2 9254	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
8	6, 7	impbid1 228	1 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   class class class wbr 5110  ωcom 7858   ≈ cen 8936   ≺ csdm 8938  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943

This theorem is referenced by:  unfi2  9266  unifi2  9298  isfinite  9617  axcclem  10437  infinfg  10546