Theorem isfiniteg 9004

Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. In order to avoid the Axiom of infinity, we include it as a hypothesis. (Contributed by NM, 3-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfiniteg	⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))

Proof of Theorem isfiniteg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8719	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		nnsdomg 9003	. . . . 5 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ω) → 𝑥 ≺ ω)
3		sdomen1 8857	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑥 → (𝐴 ≺ ω ↔ 𝑥 ≺ ω))
4	2, 3	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ≺ ω))
5	4	rexlimdva 3212	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ≺ ω))
6	1, 5	syl5bi 241	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≺ ω))
7		isfinite2 9002	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
8	6, 7	impbid1 224	1 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  ωcom 7687   ≈ cen 8688   ≺ csdm 8690  Fincfn 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695

This theorem is referenced by:  unfi2  9013  unifi2  9039  isfinite  9340  axcclem  10144