Theorem setsdm 17357

Description: The domain of a structure with replacement is the domain of the original structure extended by the index of the replacement. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsdm	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))

Proof of Theorem setsdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5432	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑊 → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
3		setsvalg 17353	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
4	2, 3	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
5	4	dmeqd 5888	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = dom ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
6		dmun 5893	. . 3 ⊢ dom ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})
7		dmres 6005	. . . . 5 ⊢ dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺)
8		dmsnopg 6217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑊 → dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} = {𝐼})
9	8	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} = {𝐼})
10	9	difeq2d 4062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (V ∖ {𝐼}))
11	10	ineq1d 4115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) = ((V ∖ {𝐼}) ∩ dom 𝐺))
12		incom 4105	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∖ {𝐼}) ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐺 ∩ (V ∖ {𝐼}))
13		invdif 4223	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝐺 ∩ (V ∖ {𝐼})) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼})
14	12, 13	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((V ∖ {𝐼}) ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼})
15	11, 14	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼}))
16	7, 15	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼}))
17	16, 9	uneq12d 4167	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
18	6, 17	eqtrid 2807	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
19		undif1 4429	. . 3 ⊢ ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼})
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
21	5, 18, 20	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088   ∪ cun 4148  {csn 4584  ⟨cop 4834  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  (class class class)co 7424   sSet csts 17350

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-res 5663  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-sets 17351

This theorem is used by:  setsstruct2  17361  basprssdmsets  17408