MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsdm 17085
Description: The domain of a structure with replacement is the domain of the original structure extended by the index of the replacement. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
setsdm ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))

Proof of Theorem setsdm
StepHypRef Expression
1 opex 5457 . . . . 5 𝐼, 𝐸⟩ ∈ V
21a1i 11 . . . 4 (𝐸𝑊 → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
3 setsvalg 17081 . . . 4 ((𝐺𝑉 ∧ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
42, 3sylan2 593 . . 3 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
54dmeqd 5897 . 2 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = dom ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
6 dmun 5902 . . 3 dom ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})
7 dmres 5995 . . . . 5 dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺)
8 dmsnopg 6201 . . . . . . . . 9 (𝐸𝑊 → dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} = {𝐼})
98adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} = {𝐼})
109difeq2d 4118 . . . . . . 7 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (V ∖ {𝐼}))
1110ineq1d 4207 . . . . . 6 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) = ((V ∖ {𝐼}) ∩ dom 𝐺))
12 incom 4197 . . . . . . 7 ((V ∖ {𝐼}) ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐺 ∩ (V ∖ {𝐼}))
13 invdif 4264 . . . . . . 7 (dom 𝐺 ∩ (V ∖ {𝐼})) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼})
1412, 13eqtri 2759 . . . . . 6 ((V ∖ {𝐼}) ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼})
1511, 14eqtrdi 2787 . . . . 5 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼}))
167, 15eqtrid 2783 . . . 4 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼}))
1716, 9uneq12d 4160 . . 3 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
186, 17eqtrid 2783 . 2 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → dom ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
19 undif1 4471 . . 3 ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼})
2019a1i 11 . 2 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
215, 18, 203eqtrd 2775 1 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3473  cdif 3941  cun 3942  cin 3943  {csn 4622  cop 4628  dom cdm 5669  cres 5671  (class class class)co 7393   sSet csts 17078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-res 5681  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-sets 17079
This theorem is referenced by:  setsstruct2  17089  basprssdmsets  17139
  Copyright terms: Public domain W3C validator