MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsdm 17204
Description: The domain of a structure with replacement is the domain of the original structure extended by the index of the replacement. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
setsdm ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))

Proof of Theorem setsdm
StepHypRef Expression
1 opex 5475 . . . . 5 𝐼, 𝐸⟩ ∈ V
21a1i 11 . . . 4 (𝐸𝑊 → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
3 setsvalg 17200 . . . 4 ((𝐺𝑉 ∧ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
42, 3sylan2 593 . . 3 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
54dmeqd 5919 . 2 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = dom ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
6 dmun 5924 . . 3 dom ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})
7 dmres 6032 . . . . 5 dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺)
8 dmsnopg 6235 . . . . . . . . 9 (𝐸𝑊 → dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} = {𝐼})
98adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} = {𝐼})
109difeq2d 4136 . . . . . . 7 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (V ∖ {𝐼}))
1110ineq1d 4227 . . . . . 6 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) = ((V ∖ {𝐼}) ∩ dom 𝐺))
12 incom 4217 . . . . . . 7 ((V ∖ {𝐼}) ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐺 ∩ (V ∖ {𝐼}))
13 invdif 4285 . . . . . . 7 (dom 𝐺 ∩ (V ∖ {𝐼})) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼})
1412, 13eqtri 2763 . . . . . 6 ((V ∖ {𝐼}) ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼})
1511, 14eqtrdi 2791 . . . . 5 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼}))
167, 15eqtrid 2787 . . . 4 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼}))
1716, 9uneq12d 4179 . . 3 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
186, 17eqtrid 2787 . 2 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → dom ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
19 undif1 4482 . . 3 ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼})
2019a1i 11 . 2 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
215, 18, 203eqtrd 2779 1 ((𝐺𝑉𝐸𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  {csn 4631  cop 4637  dom cdm 5689  cres 5691  (class class class)co 7431   sSet csts 17197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-res 5701  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-sets 17198
This theorem is referenced by:  setsstruct2  17208  basprssdmsets  17258
  Copyright terms: Public domain W3C validator