Theorem setsdm 17207

Description: The domain of a structure with replacement is the domain of the original structure extended by the index of the replacement. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsdm	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))

Proof of Theorem setsdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5469	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑊 → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
3		setsvalg 17203	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
4	2, 3	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
5	4	dmeqd 5916	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = dom ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
6		dmun 5921	. . 3 ⊢ dom ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})
7		dmres 6030	. . . . 5 ⊢ dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺)
8		dmsnopg 6233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑊 → dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} = {𝐼})
9	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} = {𝐼})
10	9	difeq2d 4126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (V ∖ {𝐼}))
11	10	ineq1d 4219	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) = ((V ∖ {𝐼}) ∩ dom 𝐺))
12		incom 4209	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∖ {𝐼}) ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐺 ∩ (V ∖ {𝐼}))
13		invdif 4279	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝐺 ∩ (V ∖ {𝐼})) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼})
14	12, 13	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ ((V ∖ {𝐼}) ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼})
15	11, 14	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼}))
16	7, 15	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼}))
17	16, 9	uneq12d 4169	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
18	6, 17	eqtrid 2789	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
19		undif1 4476	. . 3 ⊢ ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼})
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
21	5, 18, 20	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950  {csn 4626  ⟨cop 4632  dom cdm 5685   ↾ cres 5687  (class class class)co 7431   sSet csts 17200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-res 5697  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-sets 17201

This theorem is referenced by:  setsstruct2  17211  basprssdmsets  17259