Theorem setsdm 17252

Description: The domain of a structure with replacement is the domain of the original structure extended by the index of the replacement. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsdm	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))

Proof of Theorem setsdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5447	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑊 → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
3		setsvalg 17248	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
4	2, 3	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
5	4	dmeqd 5897	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = dom ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
6		dmun 5902	. . 3 ⊢ dom ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})
7		dmres 6013	. . . . 5 ⊢ dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺)
8		dmsnopg 6216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑊 → dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} = {𝐼})
9	8	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} = {𝐼})
10	9	difeq2d 4081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (V ∖ {𝐼}))
11	10	ineq1d 4172	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) = ((V ∖ {𝐼}) ∩ dom 𝐺))
12		incom 4162	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∖ {𝐼}) ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐺 ∩ (V ∖ {𝐼}))
13		invdif 4232	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝐺 ∩ (V ∖ {𝐼})) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼})
14	12, 13	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ ((V ∖ {𝐼}) ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼})
15	11, 14	eqtrdi 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼}))
16	7, 15	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼}))
17	16, 9	uneq12d 4123	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
18	6, 17	eqtrid 2812	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
19		undif1 4437	. . 3 ⊢ ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼})
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
21	5, 18, 20	3eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  {csn 4591  ⟨cop 4597  dom cdm 5663   ↾ cres 5665  (class class class)co 7419   sSet csts 17245

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-res 5675  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-sets 17246

This theorem is used by:  setsstruct2  17256  basprssdmsets  17303