Theorem setsdm 16852

Description: The domain of a structure with replacement is the domain of the original structure extended by the index of the replacement. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsdm	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))

Proof of Theorem setsdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5381	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑊 → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
3		setsvalg 16848	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
4	2, 3	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
5	4	dmeqd 5811	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = dom ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
6		dmun 5816	. . 3 ⊢ dom ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})
7		dmres 5910	. . . . 5 ⊢ dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺)
8		dmsnopg 6113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑊 → dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} = {𝐼})
9	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} = {𝐼})
10	9	difeq2d 4061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (V ∖ {𝐼}))
11	10	ineq1d 4150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) = ((V ∖ {𝐼}) ∩ dom 𝐺))
12		incom 4139	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∖ {𝐼}) ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐺 ∩ (V ∖ {𝐼}))
13		invdif 4207	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝐺 ∩ (V ∖ {𝐼})) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼})
14	12, 13	eqtri 2767	. . . . . 6 ⊢ ((V ∖ {𝐼}) ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼})
15	11, 14	eqtrdi 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼}))
16	7, 15	eqtrid 2791	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = (dom 𝐺 ∖ {𝐼}))
17	16, 9	uneq12d 4102	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
18	6, 17	eqtrid 2791	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}))
19		undif1 4414	. . 3 ⊢ ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼})
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ((dom 𝐺 ∖ {𝐼}) ∪ {𝐼}) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
21	5, 18, 20	3eqtrd 2783	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430   ∖ cdif 3888   ∪ cun 3889   ∩ cin 3890  {csn 4566  ⟨cop 4572  dom cdm 5588   ↾ cres 5590  (class class class)co 7268   sSet csts 16845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-res 5600  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-sets 16846

This theorem is referenced by:  setsstruct2  16856  basprssdmsets  16906