Theorem sgrp2nmndlem1 18886

Description: Lemma 1 for sgrp2nmnd 18893: 𝑀 is a magma, even if 𝐴 = 𝐵 (𝑀 is the trivial magma in this case, see mgmb1mgm1 18615). (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgm2nsgrp.s	⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b	⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sgrp2nmndlem1	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ Mgm)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sgrp2nmndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prid1g 4693	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
2		mgm2nsgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
3	1, 2	eleqtrrdi 2850	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		prid2g 4694	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
5	4, 2	eleqtrrdi 2850	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ 𝑆)
6		mgm2nsgrp.b	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
7	6	eqcomi 2748	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑀)
8		sgrp2nmnd.o	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
9		ne0i 4270	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑆 ≠ ∅)
10	9	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑆 ≠ ∅)
11		simpll 772	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
12		simplr 774	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
13	7, 8, 10, 11, 12	opifismgm 18619	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ Mgm)
14	3, 5, 13	syl2an 602	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ Mgm)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∅c0 4262  ifcif 4455  {cpr 4558  ‘cfv 6486   ∈ cmpo 7359  Basecbs 17171  +_gcplusg 17212  Mgmcmgm 18598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-mgm 18600

This theorem is referenced by:  sgrp2nmndlem4  18891