MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgrp2nmndlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgrp2nmndlem1 18949
Description: Lemma 1 for sgrp2nmnd 18956: 𝑀 is a magma, even if 𝐴 = 𝐵 (𝑀 is the trivial magma in this case, see mgmb1mgm1 18681). (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgm2nsgrp.s 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
Assertion
Ref Expression
sgrp2nmndlem1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝑀 ∈ Mgm)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sgrp2nmndlem1
StepHypRef Expression
1 prid1g 4765 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
2 mgm2nsgrp.s . . 3 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
31, 2eleqtrrdi 2850 . 2 (𝐴𝑉𝐴𝑆)
4 prid2g 4766 . . 3 (𝐵𝑊𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
54, 2eleqtrrdi 2850 . 2 (𝐵𝑊𝐵𝑆)
6 mgm2nsgrp.b . . . 4 (Base‘𝑀) = 𝑆
76eqcomi 2744 . . 3 𝑆 = (Base‘𝑀)
8 sgrp2nmnd.o . . 3 (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
9 ne0i 4347 . . . 4 (𝐴𝑆𝑆 ≠ ∅)
109adantr 480 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝑆 ≠ ∅)
11 simpll 767 . . 3 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐴𝑆)
12 simplr 769 . . 3 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐵𝑆)
137, 8, 10, 11, 12opifismgm 18685 . 2 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝑀 ∈ Mgm)
143, 5, 13syl2an 596 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝑀 ∈ Mgm)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  c0 4339  ifcif 4531  {cpr 4633  cfv 6563  cmpo 7433  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Mgmcmgm 18664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-mgm 18666
This theorem is referenced by:  sgrp2nmndlem4  18954
  Copyright terms: Public domain W3C validator