Theorem sgrp2nmndlem1 19137

Description: Lemma 1 for sgrp2nmnd 19144: 𝑀 is a magma, even if 𝐴 = 𝐵 (𝑀 is the trivial magma in this case, see mgmb1mgm1 18848). (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgm2nsgrp.s	⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b	⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sgrp2nmndlem1	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ Mgm)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)   𝑊(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem sgrp2nmndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prid1g 4721	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
2		mgm2nsgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
3	1, 2	eleqtrrdi 2875	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		prid2g 4722	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
5	4, 2	eleqtrrdi 2875	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ 𝑆)
6		mgm2nsgrp.b	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
7	6	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑀)
8		sgrp2nmnd.o	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
9		ne0i 4290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑆 ≠ ∅)
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑆 ≠ ∅)
11		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
12		simplr 781	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
13	7, 8, 10, 11, 12	opifismgm 18852	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ Mgm)
14	3, 5, 13	syl2an 608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ Mgm)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  ifcif 4485  {cpr 4590  ‘cfv 6547   ∈ cmpo 7432  Basecbs 17402  +_gcplusg 17443  Mgmcmgm 18829

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-mgm 18831

This theorem is used by:  sgrp2nmndlem4  19142