Theorem sgrp2nmndlem1 18985

Description: Lemma 1 for sgrp2nmnd 18992: 𝑀 is a magma, even if 𝐴 = 𝐵 (𝑀 is the trivial magma in this case, see mgmb1mgm1 18713). (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgm2nsgrp.s	⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b	⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sgrp2nmndlem1	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ Mgm)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sgrp2nmndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prid1g 4731	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
2		mgm2nsgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
3	1, 2	eleqtrrdi 2880	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		prid2g 4732	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
5	4, 2	eleqtrrdi 2880	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ 𝑆)
6		mgm2nsgrp.b	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
7	6	eqcomi 2778	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑀)
8		sgrp2nmnd.o	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
9		ne0i 4302	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑆 ≠ ∅)
10	9	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑆 ≠ ∅)
11		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
12		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
13	7, 8, 10, 11, 12	opifismgm 18717	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ Mgm)
14	3, 5, 13	syl2an 607	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ Mgm)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∅c0 4294  ifcif 4492  {cpr 4596  ‘cfv 6537   ∈ cmpo 7413  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  Mgmcmgm 18696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-mgm 18698

This theorem is referenced by:  sgrp2nmndlem4  18990