Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstfval 34201
Description: Value of the zero-skipping sign word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstfval ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇𝐹)‘𝑁) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑖,𝑁,𝑛   𝑓,𝑊,𝑛
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfval
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . . 4 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2 signsv.w . . . 4 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
3 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
4 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
51, 2, 3, 4signstfv 34200 . . 3 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖))))))
65adantr 479 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑇𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖))))))
7 simpr 483 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
87oveq2d 7440 . . . 4 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (0...𝑛) = (0...𝑁))
98mpteq1d 5245 . . 3 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖))))
109oveq2d 7440 . 2 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
11 simpr 483 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
12 ovexd 7459 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))) ∈ V)
136, 10, 11, 12fvmptd 7015 1 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇𝐹)‘𝑁) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2936  Vcvv 3471  ifcif 4530  {cpr 4632  {ctp 4634  cop 4636  cmpt 5233  cfv 6551  (class class class)co 7424  cmpo 7426  cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145  cmin 11480  -cneg 11481  ...cfz 13522  ..^cfzo 13665  chash 14327  Word cword 14502  sgncsgn 15071  Σcsu 15670  ndxcnx 17167  Basecbs 17185  +gcplusg 17238   Σg cgsu 17427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427
This theorem is referenced by:  signstcl  34202  signstfvn  34206  signstfvp  34208
  Copyright terms: Public domain W3C validator