Theorem signstfv 34540

Description: Value of the zero-skipping sign word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstfv	⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6920	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
2	1	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (0..^(♯‘𝑓)) = (0..^(♯‘𝐹)))
3		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → 𝑓 = 𝐹)
4	3	fveq1d 6922	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (𝑓‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
5	4	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (sgn‘(𝑓‘𝑖)) = (sgn‘(𝐹‘𝑖)))
6	5	mpteq2dva 5266	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))
7	6	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))))
8	2, 7	mpteq12dv 5257	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))
9		signsv.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
10		ovex 7481	. . 3 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V
11	10	mptex 7260	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))) ∈ V
12	8, 9, 11	fvmpt 7029	1 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ifcif 4548  {cpr 4650  {ctp 4652  ⟨cop 4654   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   − cmin 11520  -cneg 11521  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562  sgncsgn 15135  Σcsu 15734  ndxcnx 17240  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311   Σ_g cgsu 17500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451

This theorem is referenced by:  signstfval  34541  signstf  34543  signstlen  34544  signstf0  34545