Theorem signstfv 32542

Description: Value of the zero-skipping sign word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstfv	⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6774	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
2	1	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (0..^(♯‘𝑓)) = (0..^(♯‘𝐹)))
3		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → 𝑓 = 𝐹)
4	3	fveq1d 6776	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (𝑓‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
5	4	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (sgn‘(𝑓‘𝑖)) = (sgn‘(𝐹‘𝑖)))
6	5	mpteq2dva 5174	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))
7	6	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))))
8	2, 7	mpteq12dv 5165	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))
9		signsv.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
10		ovex 7308	. . 3 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V
11	10	mptex 7099	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))) ∈ V
12	8, 9, 11	fvmpt 6875	1 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ifcif 4459  {cpr 4563  {ctp 4565  ⟨cop 4567   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   − cmin 11205  -cneg 11206  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217  sgncsgn 14797  Σcsu 15397  ndxcnx 16894  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962   Σ_g cgsu 17151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278

This theorem is referenced by:  signstfval  32543  signstf  32545  signstlen  32546  signstf0  32547