Theorem signstfv 34819

Description: Value of the zero-skipping sign word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstfv	⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6861	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
2	1	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (0..^(♯‘𝑓)) = (0..^(♯‘𝐹)))
3		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → 𝑓 = 𝐹)
4	3	fveq1d 6863	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (𝑓‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
5	4	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (sgn‘(𝑓‘𝑖)) = (sgn‘(𝐹‘𝑖)))
6	5	mpteq2dva 5192	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))
7	6	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))))
8	2, 7	mpteq12dv 5186	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))
9		signsv.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
10		ovex 7423	. . 3 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V
11	10	mptex 7201	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))) ∈ V
12	8, 9, 11	fvmpt 6969	1 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ifcif 4479  {cpr 4583  {ctp 4585  ⟨cop 4587   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   − cmin 11409  -cneg 11410  ...cfz 13507  ..^cfzo 13654  ♯chash 14338  Word cword 14521  sgncsgn 15094  Σcsu 15694  ndxcnx 17210  Basecbs 17226  +_gcplusg 17267   Σ_g cgsu 17450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393

This theorem is referenced by:  signstfval  34820  signstf  34822  signstlen  34823  signstf0  34824