Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstfv 32278
Description: Value of the zero-skipping sign word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstfv (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖))))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfv
StepHypRef Expression
1 fveq2 6736 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
21oveq2d 7248 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (0..^(♯‘𝑓)) = (0..^(♯‘𝐹)))
3 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝐹𝑖 ∈ (0...𝑛)) → 𝑓 = 𝐹)
43fveq1d 6738 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (𝑓𝑖) = (𝐹𝑖))
54fveq2d 6740 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (sgn‘(𝑓𝑖)) = (sgn‘(𝐹𝑖)))
65mpteq2dva 5165 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖))))
76oveq2d 7248 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
82, 7mpteq12dv 5155 . 2 (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖))))))
9 signsv.t . 2 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
10 ovex 7265 . . 3 (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V
1110mptex 7058 . 2 (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖))))) ∈ V
128, 9, 11fvmpt 6837 1 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  wne 2941  ifcif 4454  {cpr 4558  {ctp 4560  cop 4562  cmpt 5150  cfv 6398  (class class class)co 7232  cmpo 7234  cr 10753  0cc0 10754  1c1 10755  cmin 11087  -cneg 11088  ...cfz 13120  ..^cfzo 13263  chash 13921  Word cword 14094  sgncsgn 14674  Σcsu 15274  ndxcnx 16769  Basecbs 16785  +gcplusg 16827   Σg cgsu 16970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5194  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pr 5337
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4253  df-if 4455  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4835  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-id 5470  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-ov 7235
This theorem is referenced by:  signstfval  32279  signstf  32281  signstlen  32282  signstf0  32283
  Copyright terms: Public domain W3C validator