Theorem signstfv 35017

Description: Value of the zero-skipping sign word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstfv	⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝑇(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝐹(𝑗, 𝑎, 𝑏)   𝑉(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem signstfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
2	1	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (0..^(♯‘𝑓)) = (0..^(♯‘𝐹)))
3		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → 𝑓 = 𝐹)
4	3	fveq1d 6887	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (𝑓‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
5	4	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (sgn‘(𝑓‘𝑖)) = (sgn‘(𝐹‘𝑖)))
6	5	mpteq2dva 5206	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))
7	6	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))))
8	2, 7	mpteq12dv 5200	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))
9		signsv.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
10		ovex 7452	. . 3 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V
11	10	mptex 7228	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))) ∈ V
12	8, 9, 11	fvmpt 6993	1 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ifcif 4489  {cpr 4593  {ctp 4595  ⟨cop 4597   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118   − cmin 11458  -cneg 11459  ...cfz 13553  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Word cword 14570  sgncsgn 15149  Σcsu 15763  ndxcnx 17277  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334   Σ_g cgsu 17517

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422

This theorem is used by:  signstfval  35018  signstf  35020  signstlen  35021  signstf0  35022