Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfvp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstfvp 33651
Description: Zero-skipping sign in a word compared to a shorter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsv.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstfvp ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛   𝑓,π‘Š,𝑖,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   𝐹(𝑗,π‘Ž,𝑏)   𝐾(𝑗,π‘Ž,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑗,π‘Ž,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(𝑗,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem signstfvp
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐹 ∈ Word ℝ)
2 s1cl 14554 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ β†’ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ© ∈ Word ℝ)
323ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ© ∈ Word ℝ)
43adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) β†’ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ© ∈ Word ℝ)
5 fzssfzo 33619 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (0...𝑁) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)))
653ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (0...𝑁) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)))
76sselda 3982 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
8 ccatval1 14529 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ© ∈ Word ℝ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)β€˜π‘–) = (πΉβ€˜π‘–))
91, 4, 7, 8syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)β€˜π‘–) = (πΉβ€˜π‘–))
109fveq2d 6895 . . . 4 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) β†’ (sgnβ€˜((𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)β€˜π‘–)) = (sgnβ€˜(πΉβ€˜π‘–)))
1110mpteq2dva 5248 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgnβ€˜((𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)β€˜π‘–))) = (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgnβ€˜(πΉβ€˜π‘–))))
1211oveq2d 7427 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgnβ€˜((𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)β€˜π‘–)))) = (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgnβ€˜(πΉβ€˜π‘–)))))
13 ccatws1cl 14568 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) ∈ Word ℝ)
14133adant3 1132 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) ∈ Word ℝ)
15 lencl 14485 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
1615nn0zd 12586 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
1716uzidd 12840 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜πΉ)))
18 peano2uz 12887 . . . . . . 7 ((β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜πΉ)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜πΉ)))
19 fzoss2 13662 . . . . . . 7 (((β™―β€˜πΉ) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜πΉ)) β†’ (0..^(β™―β€˜πΉ)) βŠ† (0..^((β™―β€˜πΉ) + 1)))
2017, 18, 193syl 18 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (0..^(β™―β€˜πΉ)) βŠ† (0..^((β™―β€˜πΉ) + 1)))
2120sselda 3982 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑁 ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) + 1)))
22213adant2 1131 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑁 ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) + 1)))
23 ccatlen 14527 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ© ∈ Word ℝ) β†’ (β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)))
242, 23sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)))
25243adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)))
26 s1len 14558 . . . . . . 7 (β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) = 1
2726oveq2i 7422 . . . . . 6 ((β™―β€˜πΉ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + 1)
2825, 27eqtrdi 2788 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))
2928oveq2d 7427 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (0..^(β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))) = (0..^((β™―β€˜πΉ) + 1)))
3022, 29eleqtrrd 2836 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))))
31 signsv.p . . . 4 ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
32 signsv.w . . . 4 π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
33 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
34 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
3531, 32, 33, 34signstfval 33644 . . 3 (((𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘) = (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgnβ€˜((𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)β€˜π‘–)))))
3614, 30, 35syl2anc 584 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘) = (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgnβ€˜((𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)β€˜π‘–)))))
3731, 32, 33, 34signstfval 33644 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘) = (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgnβ€˜(πΉβ€˜π‘–)))))
38373adant2 1131 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘) = (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgnβ€˜(πΉβ€˜π‘–)))))
3912, 36, 383eqtr4d 2782 1 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {cpr 4630  {ctp 4632  βŸ¨cop 4634   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447  β„€β‰₯cuz 12824  ...cfz 13486  ..^cfzo 13629  β™―chash 14292  Word cword 14466   ++ cconcat 14522  βŸ¨β€œcs1 14547  sgncsgn 15035  Ξ£csu 15634  ndxcnx 17128  Basecbs 17146  +gcplusg 17199   Ξ£g cgsu 17388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548
This theorem is referenced by:  signstfvneq0  33652  signstfvc  33654  signstfveq0  33657  signsvfn  33662
  Copyright terms: Public domain W3C validator