Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfvp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstfvp 32132
Description: Zero-skipping sign in a word compared to a shorter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstfvp ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfvp
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
2 s1cl 14057 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
323ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
43adantr 484 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
5 fzssfzo 32100 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (0...𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
653ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0...𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
76sselda 3887 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
8 ccatval1 14031 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = (𝐹𝑖))
91, 4, 7, 8syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = (𝐹𝑖))
109fveq2d 6690 . . . 4 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)) = (sgn‘(𝐹𝑖)))
1110mpteq2dva 5135 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖))))
1211oveq2d 7198 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
13 ccatws1cl 14071 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ)
14133adant3 1133 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ)
15 lencl 13986 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
1615nn0zd 12178 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
1716uzidd 12352 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘(♯‘𝐹)))
18 peano2uz 12395 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ (ℤ‘(♯‘𝐹)))
19 fzoss2 13168 . . . . . . 7 (((♯‘𝐹) + 1) ∈ (ℤ‘(♯‘𝐹)) → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
2017, 18, 193syl 18 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
2120sselda 3887 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
22213adant2 1132 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
23 ccatlen 14028 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐾”⟩)))
242, 23sylan2 596 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐾”⟩)))
25243adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐾”⟩)))
26 s1len 14061 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝐾”⟩) = 1
2726oveq2i 7193 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐾”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1)
2825, 27eqtrdi 2790 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
2928oveq2d 7198 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
3022, 29eleqtrrd 2837 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))))
31 signsv.p . . . 4 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
32 signsv.w . . . 4 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
33 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
34 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
3531, 32, 33, 34signstfval 32125 . . 3 (((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘𝑁) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))))
3614, 30, 35syl2anc 587 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘𝑁) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))))
3731, 32, 33, 34signstfval 32125 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇𝐹)‘𝑁) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
38373adant2 1132 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇𝐹)‘𝑁) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
3912, 36, 383eqtr4d 2784 1 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘𝑁) = ((𝑇𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wss 3853  ifcif 4424  {cpr 4528  {ctp 4530  cop 4532  cmpt 5120  cfv 6349  (class class class)co 7182  cmpo 7184  cr 10626  0cc0 10627  1c1 10628   + caddc 10630  cmin 10960  -cneg 10961  cuz 12336  ...cfz 12993  ..^cfzo 13136  chash 13794  Word cword 13967   ++ cconcat 14023  ⟨“cs1 14050  sgncsgn 14547  Σcsu 15147  ndxcnx 16595  Basecbs 16598  +gcplusg 16680   Σg cgsu 16829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-card 9453  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-hash 13795  df-word 13968  df-concat 14024  df-s1 14051
This theorem is referenced by:  signstfvneq0  32133  signstfvc  32135  signstfveq0  32138  signsvfn  32143
  Copyright terms: Public domain W3C validator