Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfvn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstfvn 34563
Description: Zero-skipping sign in a word compared to a shorter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstfvn ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘(♯‘𝐹)) = (((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) (sgn‘𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfvn
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . . . 5 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2 signsv.w . . . . 5 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
31, 2signswbase 34548 . . . 4 {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
41, 2signswmnd 34551 . . . . 5 𝑊 ∈ Mnd
54a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝑊 ∈ Mnd)
6 eldifi 4141 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
7 lencl 14568 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
9 eldifsn 4791 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
10 hasheq0 14399 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
1110necon3bid 2983 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((♯‘𝐹) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ ∅))
1211biimpar 477 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 0)
139, 12sylbi 217 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (♯‘𝐹) ≠ 0)
14 elnnne0 12538 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0))
158, 13, 14sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
17 nnm1nn0 12565 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
1816, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
19 nn0uz 12918 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
2018, 19eleqtrdi 2849 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ‘0))
21 ccatws1cl 14651 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ)
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ)
23 wrdf 14554 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)))⟶ℝ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)))⟶ℝ)
257nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
26 fzoval 13697 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
2827adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
29 fzossfz 13715 . . . . . . . . . . 11 (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
3028, 29eqsstrrdi 4051 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...(♯‘𝐹)))
31 s1cl 14637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
32 ccatlen 14610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐾”⟩)))
3331, 32sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐾”⟩)))
34 s1len 14641 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘⟨“𝐾”⟩) = 1
3534oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐾”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1)
3633, 35eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
3736oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
3825adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
3938peano2zd 12723 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℤ)
40 fzoval 13697 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐹) + 1)) = (0...(((♯‘𝐹) + 1) − 1)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0..^((♯‘𝐹) + 1)) = (0...(((♯‘𝐹) + 1) − 1)))
427nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
43 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Word ℝ → 1 ∈ ℂ)
4442, 43pncand 11619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ Word ℝ → (((♯‘𝐹) + 1) − 1) = (♯‘𝐹))
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (((♯‘𝐹) + 1) − 1) = (♯‘𝐹))
4645oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0...(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
4737, 41, 463eqtrd 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))) = (0...(♯‘𝐹)))
4830, 47sseqtrrd 4037 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))))
4948sselda 3995 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))))
5024, 49ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) ∈ ℝ)
516, 50sylanl1 680 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) ∈ ℝ)
5251rexrd 11309 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) ∈ ℝ*)
53 sgncl 34520 . . . . 5 (((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) ∈ ℝ* → (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
5452, 53syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
551, 2signswplusg 34549 . . . 4 = (+g𝑊)
56 rexr 11305 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℝ → 𝐾 ∈ ℝ*)
57 sgncl 34520 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐾) ∈ {-1, 0, 1})
5856, 57syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘𝐾) ∈ {-1, 0, 1})
5958adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (sgn‘𝐾) ∈ {-1, 0, 1})
60 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1) → 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1))
6142, 43npcand 11622 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word ℝ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
6261adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
6360, 62sylan9eqr 2797 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → 𝑖 = (♯‘𝐹))
6463fveq2d 6911 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(♯‘𝐹)))
65 ccatws1ls 14668 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(♯‘𝐹)) = 𝐾)
6665adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(♯‘𝐹)) = 𝐾)
6764, 66eqtrd 2775 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = 𝐾)
686, 67sylanl1 680 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = 𝐾)
6968fveq2d 6911 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)) = (sgn‘𝐾))
703, 5, 20, 54, 55, 59, 69gsumnunsn 34535 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) = ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) (sgn‘𝐾)))
716, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
7271adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
7372oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
7473mpteq1d 5243 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑖 ∈ (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖))))
7574oveq2d 7447 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))))
76 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
7731ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
7828eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))))
7978biimpar 477 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
80 ccatval1 14612 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = (𝐹𝑖))
8176, 77, 79, 80syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = (𝐹𝑖))
8281fveq2d 6911 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)) = (sgn‘(𝐹𝑖)))
8382mpteq2dva 5248 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖))))
846, 83sylan 580 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖))))
8584oveq2d 7447 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
8685oveq1d 7446 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) (sgn‘𝐾)) = ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))) (sgn‘𝐾)))
8770, 75, 863eqtr3d 2783 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) = ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))) (sgn‘𝐾)))
88 eqid 2735 . . . . . . . 8 (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹)
8988olci 866 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∨ (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹))
907, 19eleqtrdi 2849 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘0))
91 fzosplitsni 13814 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘0) → ((♯‘𝐹) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)) ↔ ((♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∨ (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹))))
9290, 91syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((♯‘𝐹) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)) ↔ ((♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∨ (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹))))
9389, 92mpbiri 258 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
9493adantr 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
9594, 37eleqtrrd 2842 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))))
96 signsv.t . . . . 5 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
97 signsv.v . . . . 5 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
981, 2, 96, 97signstfval 34558 . . . 4 (((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘(♯‘𝐹)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))))
9921, 95, 98syl2anc 584 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘(♯‘𝐹)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))))
1006, 99sylan 580 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘(♯‘𝐹)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))))
101 fzo0end 13794 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
10215, 101syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
1031, 2, 96, 97signstfval 34558 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
1046, 102, 103syl2anc 584 . . . 4 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → ((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
105104adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
106105oveq1d 7446 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) (sgn‘𝐾)) = ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))) (sgn‘𝐾)))
10787, 100, 1063eqtr4d 2785 1 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘(♯‘𝐹)) = (((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) (sgn‘𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  c0 4339  ifcif 4531  {csn 4631  {cpr 4633  {ctp 4635  cop 4637  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  *cxr 11292  cmin 11490  -cneg 11491  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630  sgncsgn 15122  Σcsu 15719  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +gcplusg 17298   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-sgn 15123  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761
This theorem is referenced by:  signsvtn0  34564  signstfvneq0  34566  signstfveq0  34571  signsvfn  34576
  Copyright terms: Public domain W3C validator