Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfvn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstfvn 31163
Description: Zero-skipping sign in a word compared to a shorter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstfvn ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘(♯‘𝐹)) = (((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) (sgn‘𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfvn
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . . . 5 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2 signsv.w . . . . 5 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
31, 2signswbase 31148 . . . 4 {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
41, 2signswmnd 31151 . . . . 5 𝑊 ∈ Mnd
54a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝑊 ∈ Mnd)
6 eldifi 3931 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
7 lencl 13552 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
9 eldifsn 4507 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
10 hasheq0 13403 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
1110necon3bid 3016 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((♯‘𝐹) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ ∅))
1211biimpar 470 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 0)
139, 12sylbi 209 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (♯‘𝐹) ≠ 0)
14 elnnne0 11595 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0))
158, 13, 14sylanbrc 579 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
1615adantr 473 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
17 nnm1nn0 11622 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
1816, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
19 nn0uz 11965 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
2018, 19syl6eleq 2889 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (ℤ‘0))
21 s1cl 13621 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
22 ccatcl 13593 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ)
236, 21, 22syl2an 590 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ)
2423adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ)
25 wrdf 13538 . . . . . . . 8 ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)))⟶ℝ)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)))⟶ℝ)
278adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 11769 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
29 fzoval 12725 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0...((♯‘𝐹) − 1)))
31 fzossfz 12742 . . . . . . . . . 10 (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0...(♯‘𝐹))
3230, 31syl6eqssr 3853 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...(♯‘𝐹)))
33 ccatlen 13594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐾”⟩)))
346, 21, 33syl2an 590 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐾”⟩)))
35 s1len 13625 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘⟨“𝐾”⟩) = 1
3635oveq2i 6890 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐾”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1)
3734, 36syl6eq 2850 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
3837oveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
3928peano2zd 11774 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℤ)
40 fzoval 12725 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐹) + 1) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐹) + 1)) = (0...(((♯‘𝐹) + 1) − 1)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0..^((♯‘𝐹) + 1)) = (0...(((♯‘𝐹) + 1) − 1)))
4227nn0cnd 11641 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
43 1cnd 10324 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
4442, 43pncand 10686 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (((♯‘𝐹) + 1) − 1) = (♯‘𝐹))
4544oveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0...(((♯‘𝐹) + 1) − 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
4638, 41, 453eqtrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))) = (0...(♯‘𝐹)))
4732, 46sseqtr4d 3839 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))))
4847sselda 3799 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))))
4926, 48ffvelrnd 6587 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) ∈ ℝ)
5049rexrd 10379 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) ∈ ℝ*)
51 sgncl 31116 . . . . 5 (((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) ∈ ℝ* → (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
5250, 51syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
531, 2signswplusg 31149 . . . 4 = (+g𝑊)
54 simpr 478 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝐾 ∈ ℝ)
5554rexrd 10379 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝐾 ∈ ℝ*)
56 sgncl 31116 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐾) ∈ {-1, 0, 1})
5755, 56syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (sgn‘𝐾) ∈ {-1, 0, 1})
58 simpr 478 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1))
5942, 43npcand 10689 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
6059adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
6158, 60eqtrd 2834 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → 𝑖 = (♯‘𝐹))
6261fveq2d 6416 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(♯‘𝐹)))
636adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
6454, 21syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
65 c0ex 10323 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
6665snid 4401 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ {0}
67 fzo01 12804 . . . . . . . . . . . 12 (0..^1) = {0}
6866, 67eleqtrri 2878 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0..^1)
6935oveq2i 6890 . . . . . . . . . . 11 (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)) = (0..^1)
7068, 69eleqtrri 2878 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))
7170a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩)))
72 ccatval3 13598 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐾”⟩))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(0 + (♯‘𝐹))) = (⟨“𝐾”⟩‘0))
7363, 64, 71, 72syl3anc 1491 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(0 + (♯‘𝐹))) = (⟨“𝐾”⟩‘0))
7442addid2d 10528 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 + (♯‘𝐹)) = (♯‘𝐹))
7574fveq2d 6416 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(0 + (♯‘𝐹))) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(♯‘𝐹)))
76 s1fv 13629 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) = 𝐾)
7754, 76syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (⟨“𝐾”⟩‘0) = 𝐾)
7873, 75, 773eqtr3d 2842 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(♯‘𝐹)) = 𝐾)
7978adantr 473 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘(♯‘𝐹)) = 𝐾)
8062, 79eqtrd 2834 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = 𝐾)
8180fveq2d 6416 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 = (((♯‘𝐹) − 1) + 1)) → (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)) = (sgn‘𝐾))
823, 5, 20, 52, 53, 57, 81gsumnunsn 31131 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) = ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) (sgn‘𝐾)))
8359oveq2d 6895 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
8483mpteq1d 4932 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑖 ∈ (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖))))
8584oveq2d 6895 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))))
8663adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
8764adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
8830eleq2d 2865 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))))
8988biimpar 470 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
90 ccatval1 13596 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = (𝐹𝑖))
9186, 87, 89, 90syl3anc 1491 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖) = (𝐹𝑖))
9291fveq2d 6416 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1))) → (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)) = (sgn‘(𝐹𝑖)))
9392mpteq2dva 4938 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖))))
9493oveq2d 6895 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
9594oveq1d 6894 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) (sgn‘𝐾)) = ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))) (sgn‘𝐾)))
9682, 85, 953eqtr3d 2842 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))) = ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))) (sgn‘𝐾)))
97 eqidd 2801 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹))
9897olcd 901 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∨ (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹)))
9927, 19syl6eleq 2889 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘0))
100 fzosplitsni 12833 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘0) → ((♯‘𝐹) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)) ↔ ((♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∨ (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹))))
10199, 100syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)) ↔ ((♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∨ (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹))))
10298, 101mpbird 249 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
103102, 38eleqtrrd 2882 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))))
104 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
105 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
1061, 2, 104, 105signstfval 31158 . . 3 (((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩) ∈ Word ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)))) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘(♯‘𝐹)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))))
10723, 103, 106syl2anc 580 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘(♯‘𝐹)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↦ (sgn‘((𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩)‘𝑖)))))
108 fzo0end 12814 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
10915, 108syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
1101, 2, 104, 105signstfval 31158 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
1116, 109, 110syl2anc 580 . . . 4 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → ((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
112111adantr 473 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
113112oveq1d 6894 . 2 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) (sgn‘𝐾)) = ((𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))) (sgn‘𝐾)))
11496, 107, 1133eqtr4d 2844 1 ((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑇‘(𝐹 ++ ⟨“𝐾”⟩))‘(♯‘𝐹)) = (((𝑇𝐹)‘((♯‘𝐹) − 1)) (sgn‘𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  wo 874   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2972  cdif 3767  c0 4116  ifcif 4278  {csn 4369  {cpr 4371  {ctp 4373  cop 4375  cmpt 4923  wf 6098  cfv 6102  (class class class)co 6879  cmpt2 6881  cr 10224  0cc0 10225  1c1 10226   + caddc 10228  *cxr 10363  cmin 10557  -cneg 10558  cn 11313  0cn0 11579  cz 11665  cuz 11929  ...cfz 12579  ..^cfzo 12719  chash 13369  Word cword 13533   ++ cconcat 13589  ⟨“cs1 13614  sgncsgn 14166  Σcsu 14756  ndxcnx 16180  Basecbs 16183  +gcplusg 16266   Σg cgsu 16415  Mndcmnd 17608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-card 9052  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-2 11375  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-seq 13055  df-hash 13370  df-word 13534  df-concat 13590  df-s1 13615  df-sgn 14167  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-plusg 16279  df-0g 16416  df-gsum 16417  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609
This theorem is referenced by:  signsvtn0  31164  signsvtn0OLD  31165  signstfvneq0  31167  signstfveq0  31172  signstfveq0OLD  31173  signsvfn  31178
  Copyright terms: Public domain W3C validator