Theorem signstcl 32116

Description: Closure of the zero skipping sign word. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstcl	⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ {-1, 0, 1})

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑖,𝑁,𝑛   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsv.p	. . 3 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2		signsv.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
3		signsv.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
4		signsv.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
5	1, 2, 3, 4	signstfval 32115	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))))
6	1, 2	signswbase 32105	. . 3 ⊢ {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
7	1, 2	signswmnd 32108	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ Mnd
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑊 ∈ Mnd)
9		fzo0ssnn0 13211	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ ℕ0
10		nn0uz 12364	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
11	9, 10	sseqtri 3913	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (ℤ≥‘0)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (ℤ≥‘0))
13	12	sselda 3877	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
14		wrdf 13962	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
16		fzssfzo 32090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (0...𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
17	16	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0...𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
18	17	sselda 3877	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
19	15, 18	ffvelrnd 6864	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
20	19	rexrd 10771	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ*)
21		sgncl 32077	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ* → (sgn‘(𝐹‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (sgn‘(𝐹‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
23	6, 8, 13, 22	gsumncl 32091	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))) ∈ {-1, 0, 1})
24	5, 23	eqeltrd 2833	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ {-1, 0, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934   ⊆ wss 3843  ifcif 4414  {cpr 4518  {ctp 4520  ⟨cop 4522   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7172   ∈ cmpo 7174  ℝcr 10616  0cc0 10617  1c1 10618  ℝ^*cxr 10754   − cmin 10950  -cneg 10951  ℕ₀cn0 11978  ℤ_≥cuz 12326  ...cfz 12983  ..^cfzo 13126  ♯chash 13784  Word cword 13957  sgncsgn 14537  Σcsu 15137  ndxcnx 16585  Basecbs 16588  +_gcplusg 16670   Σ_g cgsu 16819  Mndcmnd 18029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-seq 13463  df-hash 13785  df-word 13958  df-sgn 14538  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-plusg 16683  df-0g 16820  df-gsum 16821  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030

This theorem is referenced by:  signsvtn0  32121  signstfvneq0  32123  signstfvcl  32124  signstfveq0  32128