Theorem signstcl 34893

Description: Closure of the zero skipping sign word. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstcl	⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ {-1, 0, 1})

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑖,𝑁,𝑛   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsv.p	. . 3 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2		signsv.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
3		signsv.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
4		signsv.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
5	1, 2, 3, 4	signstfval 34892	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))))
6	1, 2	signswbase 34882	. . 3 ⊢ {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
7	1, 2	signswmnd 34885	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ Mnd
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑊 ∈ Mnd)
9		fzo0ssnn0 13771	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ ℕ0
10		nn0uz 12896	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
11	9, 10	sseqtri 3993	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (ℤ≥‘0)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (ℤ≥‘0))
13	12	sselda 3945	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
14		wrdf 14551	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
15	14	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
16		fzssfzo 34870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (0...𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
17	16	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0...𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
18	17	sselda 3945	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
19	15, 18	ffvelcdmd 7078	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
20	19	rexrd 11255	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ*)
21		sgncl 15130	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ* → (sgn‘(𝐹‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
22	20, 21	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (sgn‘(𝐹‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
23	6, 8, 13, 22	gsumncl 34871	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))) ∈ {-1, 0, 1})
24	5, 23	eqeltrd 2869	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ {-1, 0, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ⊆ wss 3913  ifcif 4489  {cpr 4593  {ctp 4595  ⟨cop 4597   ↦ cmpt 5193  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097  ℝ^*cxr 11238   − cmin 11437  -cneg 11438  ℕ₀cn0 12500  ℤ_≥cuz 12858  ...cfz 13531  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362  Word cword 14546  sgncsgn 15119  Σcsu 15733  ndxcnx 17249  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306   Σ_g cgsu 17489  Mndcmnd 18788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-word 14547  df-sgn 15120  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789

This theorem is referenced by:  signsvtn0  34898  signstfvneq0  34900  signstfvcl  34901  signstfveq0  34905