Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstcl 33889
Description: Closure of the zero skipping sign word. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstcl ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇𝐹)‘𝑁) ∈ {-1, 0, 1})
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑖,𝑁,𝑛   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstcl
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . 3 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2 signsv.w . . 3 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
3 signsv.t . . 3 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
4 signsv.v . . 3 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
51, 2, 3, 4signstfval 33888 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇𝐹)‘𝑁) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))))
61, 2signswbase 33878 . . 3 {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
71, 2signswmnd 33881 . . . 4 𝑊 ∈ Mnd
87a1i 11 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑊 ∈ Mnd)
9 fzo0ssnn0 13720 . . . . . 6 (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ ℕ0
10 nn0uz 12871 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
119, 10sseqtri 4018 . . . . 5 (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (ℤ‘0)
1211a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (ℤ‘0))
1312sselda 3982 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
14 wrdf 14476 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
1514ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
16 fzssfzo 33863 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (0...𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
1716adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0...𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
1817sselda 3982 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
1915, 18ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
2019rexrd 11271 . . . 4 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ*)
21 sgncl 33850 . . . 4 ((𝐹𝑖) ∈ ℝ* → (sgn‘(𝐹𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
2220, 21syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (sgn‘(𝐹𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
236, 8, 13, 22gsumncl 33864 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹𝑖)))) ∈ {-1, 0, 1})
245, 23eqeltrd 2832 1 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇𝐹)‘𝑁) ∈ {-1, 0, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wss 3948  ifcif 4528  {cpr 4630  {ctp 4632  cop 4634  cmpt 5231  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  cmpo 7414  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117  *cxr 11254  cmin 11451  -cneg 11452  0cn0 12479  cuz 12829  ...cfz 13491  ..^cfzo 13634  chash 14297  Word cword 14471  sgncsgn 15040  Σcsu 15639  ndxcnx 17133  Basecbs 17151  +gcplusg 17204   Σg cgsu 17393  Mndcmnd 18662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-word 14472  df-sgn 15041  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663
This theorem is referenced by:  signsvtn0  33894  signstfvneq0  33896  signstfvcl  33897  signstfveq0  33901
  Copyright terms: Public domain W3C validator