Theorem signstcl 33889

Description: Closure of the zero skipping sign word. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstcl	⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ {-1, 0, 1})

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑖,𝑁,𝑛   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsv.p	. . 3 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2		signsv.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
3		signsv.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
4		signsv.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
5	1, 2, 3, 4	signstfval 33888	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))))
6	1, 2	signswbase 33878	. . 3 ⊢ {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
7	1, 2	signswmnd 33881	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ Mnd
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑊 ∈ Mnd)
9		fzo0ssnn0 13720	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ ℕ0
10		nn0uz 12871	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
11	9, 10	sseqtri 4018	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (ℤ≥‘0)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘𝐹)) ⊆ (ℤ≥‘0))
13	12	sselda 3982	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
14		wrdf 14476	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
15	14	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶ℝ)
16		fzssfzo 33863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (0...𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
17	16	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0...𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
18	17	sselda 3982	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
19	15, 18	ffvelcdmd 7087	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
20	19	rexrd 11271	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ*)
21		sgncl 33850	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ* → (sgn‘(𝐹‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (sgn‘(𝐹‘𝑖)) ∈ {-1, 0, 1})
23	6, 8, 13, 22	gsumncl 33864	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))) ∈ {-1, 0, 1})
24	5, 23	eqeltrd 2832	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) ∈ {-1, 0, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   ⊆ wss 3948  ifcif 4528  {cpr 4630  {ctp 4632  ⟨cop 4634   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℝcr 11115  0cc0 11116  1c1 11117  ℝ^*cxr 11254   − cmin 11451  -cneg 11452  ℕ₀cn0 12479  ℤ_≥cuz 12829  ...cfz 13491  ..^cfzo 13634  ♯chash 14297  Word cword 14471  sgncsgn 15040  Σcsu 15639  ndxcnx 17133  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204   Σ_g cgsu 17393  Mndcmnd 18662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-word 14472  df-sgn 15041  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663

This theorem is referenced by:  signsvtn0  33894  signstfvneq0  33896  signstfvcl  33897  signstfveq0  33901