Theorem smrepsrep 36088

Description: Derive the strong version of the Axiom Scheme of Replacement used in wfaxrep 46179 (see comments there) from 𝑀 ⊨ Ax-Rep*. (Contributed by BTernaryTau, 30-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
smrepsrep	⊢ (𝑀 ⊨ Ax-Rep* → ∀𝑥 ∈ 𝑀 (∀𝑤 ∈ 𝑀 ∃𝑦 ∈ 𝑀 ∀𝑧 ∈ 𝑀 (∀𝑦𝜑 → 𝑧 = 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝑀 ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑀 (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝜑))))

Distinct variable group:   𝑤,𝑀,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)

Proof of Theorem smrepsrep

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1949	. 2 ⊢ Ⅎ𝑓 𝑀 ⊨ Ax-Rep*
2		nfv 1949	. 2 ⊢ Ⅎ𝑤 𝑀 ⊨ Ax-Rep*
3		nfv 1949	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑀 ⊨ Ax-Rep*
4		nfv 1949	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑀 ⊨ Ax-Rep*
5		nfv 1949	. 2 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑀 ⊨ Ax-Rep*
6		df-smrep 36084	. . . 4 ⊢ (𝑀 ⊨ Ax-Rep* ↔ ∀𝑓∀𝑥 ∈ 𝑀 (∀𝑤 ∈ 𝑀 ∃𝑦 ∈ 𝑀 ∀𝑧 ∈ 𝑀 (∀𝑦(Fun 𝑓 ∧ 𝑤 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑤) = 𝑧) → 𝑧 = 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝑀 ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑀 (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(Fun 𝑓 ∧ 𝑤 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑤) = 𝑧)))))
7	6	biimpi 219	. . 3 ⊢ (𝑀 ⊨ Ax-Rep* → ∀𝑓∀𝑥 ∈ 𝑀 (∀𝑤 ∈ 𝑀 ∃𝑦 ∈ 𝑀 ∀𝑧 ∈ 𝑀 (∀𝑦(Fun 𝑓 ∧ 𝑤 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑤) = 𝑧) → 𝑧 = 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝑀 ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑀 (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(Fun 𝑓 ∧ 𝑤 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑤) = 𝑧)))))
8	7	19.21bi 2229	. 2 ⊢ (𝑀 ⊨ Ax-Rep* → ∀𝑥 ∈ 𝑀 (∀𝑤 ∈ 𝑀 ∃𝑦 ∈ 𝑀 ∀𝑧 ∈ 𝑀 (∀𝑦(Fun 𝑓 ∧ 𝑤 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑤) = 𝑧) → 𝑧 = 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝑀 ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑀 (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(Fun 𝑓 ∧ 𝑤 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑤) = 𝑧)))))
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	srepdf 36087	1 ⊢ (𝑀 ⊨ Ax-Rep* → ∀𝑥 ∈ 𝑀 (∀𝑤 ∈ 𝑀 ∃𝑦 ∈ 𝑀 ∀𝑧 ∈ 𝑀 (∀𝑦𝜑 → 𝑧 = 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝑀 ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑀 (𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝜑))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  dom cdm 5655  Fun wfun 6552  ‘cfv 6558   ⊨ wsmrep 36082

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-smrep 36084

This theorem is used by: (None)