Theorem subspopn 37731

Description: An open set is open in the subspace topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subspopn	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem subspopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrestr 17350	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		dfss2 3923	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐵)
3		eleq1 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐵 → ((𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
4	2, 3	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
5	1, 4	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
6	5	3expa 1118	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
7	6	impr 454	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  (class class class)co 7353   ↾_t crest 17342  Topctop 22796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-rest 17344

This theorem is referenced by: (None)