Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subspopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subspopn 35100
Description: An open set is open in the subspace topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
subspopn (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴))

Proof of Theorem subspopn
StepHypRef Expression
1 elrestr 16698 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉𝐵𝐽) → (𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
2 df-ss 3936 . . . . 5 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴) = 𝐵)
3 eleq1 2903 . . . . 5 ((𝐵𝐴) = 𝐵 → ((𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
42, 3sylbi 220 . . . 4 (𝐵𝐴 → ((𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
51, 4syl5ibcom 248 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉𝐵𝐽) → (𝐵𝐴𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
653expa 1115 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝐵𝐽) → (𝐵𝐴𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
76impr 458 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cin 3918  wss 3919  (class class class)co 7145  t crest 16690  Topctop 21494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pr 5317  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-rest 16692
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator