Theorem subspopn 37258

Description: An open set is open in the subspace topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subspopn	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem subspopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrestr 17417	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		df-ss 3966	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐵)
3		eleq1 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐵 → ((𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
4	2, 3	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
5	1, 4	syl5ibcom 244	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
6	5	3expa 1115	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
7	6	impr 453	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  (class class class)co 7426   ↾_t crest 17409  Topctop 22815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-rest 17411

This theorem is referenced by: (None)