Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subspopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subspopn 37132
Description: An open set is open in the subspace topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
subspopn (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴))

Proof of Theorem subspopn
StepHypRef Expression
1 elrestr 17380 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉𝐵𝐽) → (𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
2 df-ss 3960 . . . . 5 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴) = 𝐵)
3 eleq1 2815 . . . . 5 ((𝐵𝐴) = 𝐵 → ((𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
42, 3sylbi 216 . . . 4 (𝐵𝐴 → ((𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
51, 4syl5ibcom 244 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉𝐵𝐽) → (𝐵𝐴𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
653expa 1115 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝐵𝐽) → (𝐵𝐴𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
76impr 454 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3942  wss 3943  (class class class)co 7404  t crest 17372  Topctop 22745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-rest 17374
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator