Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subspopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subspopn 36261
Description: An open set is open in the subspace topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
subspopn (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴))

Proof of Theorem subspopn
StepHypRef Expression
1 elrestr 17318 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉𝐵𝐽) → (𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
2 df-ss 3931 . . . . 5 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴) = 𝐵)
3 eleq1 2822 . . . . 5 ((𝐵𝐴) = 𝐵 → ((𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
42, 3sylbi 216 . . . 4 (𝐵𝐴 → ((𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
51, 4syl5ibcom 244 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉𝐵𝐽) → (𝐵𝐴𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
653expa 1119 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝐵𝐽) → (𝐵𝐴𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
76impr 456 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cin 3913  wss 3914  (class class class)co 7361  t crest 17310  Topctop 22265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-rest 17312
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator