Theorem subspopn 37718

Description: An open set is open in the subspace topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subspopn	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem subspopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrestr 17444	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		dfss2 3949	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐵)
3		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐵 → ((𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
4	2, 3	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝐵 ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
5	1, 4	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
6	5	3expa 1118	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))
7	6	impr 454	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  (class class class)co 7413   ↾_t crest 17436  Topctop 22847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-rest 17438

This theorem is referenced by: (None)