Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subspopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subspopn 37258
Description: An open set is open in the subspace topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
subspopn (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴))

Proof of Theorem subspopn
StepHypRef Expression
1 elrestr 17417 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉𝐵𝐽) → (𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
2 df-ss 3966 . . . . 5 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴) = 𝐵)
3 eleq1 2817 . . . . 5 ((𝐵𝐴) = 𝐵 → ((𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
42, 3sylbi 216 . . . 4 (𝐵𝐴 → ((𝐵𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
51, 4syl5ibcom 244 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉𝐵𝐽) → (𝐵𝐴𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
653expa 1115 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝐵𝐽) → (𝐵𝐴𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
76impr 453 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3948  wss 3949  (class class class)co 7426  t crest 17409  Topctop 22815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-rest 17411
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator