Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfnub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nninfnub 37738
Description: An infinite set of positive integers is unbounded above. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
nninfnub ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nninfnub
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eq0 4356 . . . . . 6 ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥})
2 breq2 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 < 𝑥𝐵 < 𝑦))
32elrab 3695 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ↔ (𝑦𝐴𝐵 < 𝑦))
43notbii 320 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ↔ ¬ (𝑦𝐴𝐵 < 𝑦))
5 imnan 399 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝐵 < 𝑦))
64, 5sylbb2 238 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} → (𝑦𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
76alimi 1808 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} → ∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
8 df-ral 3060 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
97, 8sylibr 234 . . . . . . 7 (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦)
10 ssel2 3990 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ)
1110nnred 12279 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
1211adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
13 nnre 12271 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
1413ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 lenlt 11337 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
1615biimprd 248 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝑦𝑦𝐵))
1712, 14, 16syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝐵 < 𝑦𝑦𝐵))
1817ralimdva 3165 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵))
19 fzfi 14010 . . . . . . . . . 10 (0...𝐵) ∈ Fin
2010nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
2120adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℕ0)
23 nnnn0 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
2423ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)
25 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
2622, 24, 253jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝑦𝐵))
2726ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝐵 → (𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝑦𝐵)))
28 elfz2nn0 13655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (0...𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝑦𝐵))
2927, 28imbitrrdi 252 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (0...𝐵)))
3029ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝐵 → ∀𝑦𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵)))
3130imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵) → ∀𝑦𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵))
32 dfss3 3984 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ (0...𝐵) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵))
3331, 32sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ⊆ (0...𝐵))
34 ssfi 9212 . . . . . . . . . 10 (((0...𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (0...𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
3519, 33, 34sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
3635ex 412 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝐵𝐴 ∈ Fin))
3718, 36syld 47 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦𝐴 ∈ Fin))
389, 37syl5 34 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} → 𝐴 ∈ Fin))
391, 38biimtrid 242 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} = ∅ → 𝐴 ∈ Fin))
4039necon3bd 2952 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅))
4140imp 406 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
4241an32s 652 . 2 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
43423impa 1109 1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  {crab 3433  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cr 11152  0cc0 11153   < clt 11293  cle 11294  cn 12264  0cn0 12524  ...cfz 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator