Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfnub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nninfnub 35909
Description: An infinite set of positive integers is unbounded above. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
nninfnub ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nninfnub
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eq0 4277 . . . . . 6 ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥})
2 breq2 5078 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 < 𝑥𝐵 < 𝑦))
32elrab 3624 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ↔ (𝑦𝐴𝐵 < 𝑦))
43notbii 320 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ↔ ¬ (𝑦𝐴𝐵 < 𝑦))
5 imnan 400 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝐵 < 𝑦))
64, 5sylbb2 237 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} → (𝑦𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
76alimi 1814 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} → ∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
8 df-ral 3069 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
97, 8sylibr 233 . . . . . . 7 (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦)
10 ssel2 3916 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ)
1110nnred 11988 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
1211adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
13 nnre 11980 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
1413ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 lenlt 11053 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
1615biimprd 247 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝑦𝑦𝐵))
1712, 14, 16syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝐵 < 𝑦𝑦𝐵))
1817ralimdva 3108 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵))
19 fzfi 13692 . . . . . . . . . 10 (0...𝐵) ∈ Fin
2010nnnn0d 12293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
2120adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℕ0)
23 nnnn0 12240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
2423ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
2622, 24, 253jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝑦𝐵))
2726ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝐵 → (𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝑦𝐵)))
28 elfz2nn0 13347 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (0...𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝑦𝐵))
2927, 28syl6ibr 251 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (0...𝐵)))
3029ralimdva 3108 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝐵 → ∀𝑦𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵)))
3130imp 407 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵) → ∀𝑦𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵))
32 dfss3 3909 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ (0...𝐵) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵))
3331, 32sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ⊆ (0...𝐵))
34 ssfi 8956 . . . . . . . . . 10 (((0...𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (0...𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
3519, 33, 34sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
3635ex 413 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝐵𝐴 ∈ Fin))
3718, 36syld 47 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦𝐴 ∈ Fin))
389, 37syl5 34 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} → 𝐴 ∈ Fin))
391, 38syl5bi 241 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} = ∅ → 𝐴 ∈ Fin))
4039necon3bd 2957 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅))
4140imp 407 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
4241an32s 649 . 2 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
43423impa 1109 1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1086  wal 1537   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3068  wss 3887  c0 4256   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  cr 10870  0cc0 10871   < clt 11009  cle 11010  cn 11973  0cn0 12233  ...cfz 13239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator