Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfnub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nninfnub 37758
Description: An infinite set of positive integers is unbounded above. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
nninfnub ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nninfnub
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eq0 4350 . . . . . 6 ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥})
2 breq2 5147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 < 𝑥𝐵 < 𝑦))
32elrab 3692 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ↔ (𝑦𝐴𝐵 < 𝑦))
43notbii 320 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ↔ ¬ (𝑦𝐴𝐵 < 𝑦))
5 imnan 399 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝐵 < 𝑦))
64, 5sylbb2 238 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} → (𝑦𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
76alimi 1811 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} → ∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
8 df-ral 3062 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
97, 8sylibr 234 . . . . . . 7 (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦)
10 ssel2 3978 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ)
1110nnred 12281 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
1211adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
13 nnre 12273 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
1413ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 lenlt 11339 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
1615biimprd 248 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝑦𝑦𝐵))
1712, 14, 16syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝐵 < 𝑦𝑦𝐵))
1817ralimdva 3167 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵))
19 fzfi 14013 . . . . . . . . . 10 (0...𝐵) ∈ Fin
2010nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
2120adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℕ0)
23 nnnn0 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
2423ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)
25 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
2622, 24, 253jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝑦𝐵))
2726ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝐵 → (𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝑦𝐵)))
28 elfz2nn0 13658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (0...𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝑦𝐵))
2927, 28imbitrrdi 252 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (0...𝐵)))
3029ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝐵 → ∀𝑦𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵)))
3130imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵) → ∀𝑦𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵))
32 dfss3 3972 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ (0...𝐵) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵))
3331, 32sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ⊆ (0...𝐵))
34 ssfi 9213 . . . . . . . . . 10 (((0...𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (0...𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
3519, 33, 34sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
3635ex 412 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝐵𝐴 ∈ Fin))
3718, 36syld 47 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦𝐴 ∈ Fin))
389, 37syl5 34 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} → 𝐴 ∈ Fin))
391, 38biimtrid 242 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} = ∅ → 𝐴 ∈ Fin))
4039necon3bd 2954 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅))
4140imp 406 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
4241an32s 652 . 2 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
43423impa 1110 1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cr 11154  0cc0 11155   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  0cn0 12526  ...cfz 13547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator