Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfnub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nninfnub 36210
Description: An infinite set of positive integers is unbounded above. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
nninfnub ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nninfnub
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eq0 4303 . . . . . 6 ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥})
2 breq2 5109 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 < 𝑥𝐵 < 𝑦))
32elrab 3645 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ↔ (𝑦𝐴𝐵 < 𝑦))
43notbii 319 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ↔ ¬ (𝑦𝐴𝐵 < 𝑦))
5 imnan 400 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝐵 < 𝑦))
64, 5sylbb2 237 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} → (𝑦𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
76alimi 1813 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} → ∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
8 df-ral 3065 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
97, 8sylibr 233 . . . . . . 7 (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦)
10 ssel2 3939 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ)
1110nnred 12168 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
1211adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
13 nnre 12160 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
1413ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 lenlt 11233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
1615biimprd 247 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝑦𝑦𝐵))
1712, 14, 16syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝐵 < 𝑦𝑦𝐵))
1817ralimdva 3164 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵))
19 fzfi 13877 . . . . . . . . . 10 (0...𝐵) ∈ Fin
2010nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
2120adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℕ0)
23 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
2423ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
2622, 24, 253jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝑦𝐵))
2726ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝐵 → (𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝑦𝐵)))
28 elfz2nn0 13532 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (0...𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0𝑦𝐵))
2927, 28syl6ibr 251 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (0...𝐵)))
3029ralimdva 3164 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝐵 → ∀𝑦𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵)))
3130imp 407 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵) → ∀𝑦𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵))
32 dfss3 3932 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ (0...𝐵) ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵))
3331, 32sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ⊆ (0...𝐵))
34 ssfi 9117 . . . . . . . . . 10 (((0...𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (0...𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
3519, 33, 34sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
3635ex 413 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝐵𝐴 ∈ Fin))
3718, 36syld 47 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦𝐴 ∈ Fin))
389, 37syl5 34 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} → 𝐴 ∈ Fin))
391, 38biimtrid 241 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} = ∅ → 𝐴 ∈ Fin))
4039necon3bd 2957 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅))
4140imp 407 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
4241an32s 650 . 2 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
43423impa 1110 1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3407  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cr 11050  0cc0 11051   < clt 11189  cle 11190  cn 12153  0cn0 12413  ...cfz 13424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator