Theorem nninfnub 38250

Description: An infinite set of positive integers is unbounded above. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nninfnub	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nninfnub

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 4302	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥})
2		breq2 5104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 < 𝑥 ↔ 𝐵 < 𝑦))
3	2	elrab 3650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑦))
4	3	notbii 322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑦))
5		imnan 403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑦))
6	4, 5	sylbb2 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
7	6	alimi 1831	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
8	7	ralrid 3084	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦)
9		ssel2 3931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ)
10	9	nnred 12225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	adantlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
12		nnre 12217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	ad2antlr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		lenlt 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
15	14	biimprd 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝑦 → 𝑦 ≤ 𝐵))
16	11, 13, 15	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐵 < 𝑦 → 𝑦 ≤ 𝐵))
17	16	ralimdva 3174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵))
18		fzfi 13985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...𝐵) ∈ Fin
19	9	nnnn0d 12542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
20	19	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
21	20	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℕ0)
22		nnnn0 12488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
23	22	ad3antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)
24		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑦 ≤ 𝐵)
25	21, 23, 24	3jca 1141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
26	25	ex 416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝐵 → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
27		elfz2nn0 13623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
28	26, 27	imbitrrdi 254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝐵 → 𝑦 ∈ (0...𝐵)))
29	28	ralimdva 3174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵)))
30	29	imp 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵))
31		dfss3 3925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ (0...𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵))
32	30, 31	sylibr 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝐴 ⊆ (0...𝐵))
33		ssfi 9141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0...𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (0...𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
34	18, 32, 33	sylancr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
35	34	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵 → 𝐴 ∈ Fin))
36	17, 35	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 → 𝐴 ∈ Fin))
37	8, 36	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → 𝐴 ∈ Fin))
38	1, 37	biimtrid 244	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} = ∅ → 𝐴 ∈ Fin))
39	38	necon3bd 2971	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅))
40	39	imp 410	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
41	40	an32s 662	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
42	41	3impa 1122	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098  ∀wal 1558   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  {crab 3414   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  ℝcr 11072  0cc0 11073   < clt 11216   ≤ cle 11217  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ...cfz 13512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513

This theorem is referenced by: (None)