Theorem nninfnub 35532

Description: An infinite set of positive integers is unbounded above. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nninfnub	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nninfnub

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 4232	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥})
2		breq2 5034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 < 𝑥 ↔ 𝐵 < 𝑦))
3	2	elrab 3588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑦))
4	3	notbii 323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑦))
5		imnan 403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑦))
6	4, 5	sylbb2 241	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
7	6	alimi 1818	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
8		df-ral 3058	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
9	7, 8	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦)
10		ssel2 3872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ)
11	10	nnred 11731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	11	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
13		nnre 11723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
15		lenlt 10797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
16	15	biimprd 251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝑦 → 𝑦 ≤ 𝐵))
17	12, 14, 16	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐵 < 𝑦 → 𝑦 ≤ 𝐵))
18	17	ralimdva 3091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵))
19		fzfi 13431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...𝐵) ∈ Fin
20	10	nnnn0d 12036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
21	20	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
22	21	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℕ0)
23		nnnn0 11983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
24	23	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)
25		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑦 ≤ 𝐵)
26	22, 24, 25	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
27	26	ex 416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝐵 → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
28		elfz2nn0 13089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
29	27, 28	syl6ibr 255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝐵 → 𝑦 ∈ (0...𝐵)))
30	29	ralimdva 3091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵)))
31	30	imp 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵))
32		dfss3 3865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ (0...𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵))
33	31, 32	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝐴 ⊆ (0...𝐵))
34		ssfi 8772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0...𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (0...𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
35	19, 33, 34	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
36	35	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵 → 𝐴 ∈ Fin))
37	18, 36	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 → 𝐴 ∈ Fin))
38	9, 37	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → 𝐴 ∈ Fin))
39	1, 38	syl5bi 245	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} = ∅ → 𝐴 ∈ Fin))
40	39	necon3bd 2948	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅))
41	40	imp 410	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
42	41	an32s 652	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
43	42	3impa 1111	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  {crab 3057   ⊆ wss 3843  ∅c0 4211   class class class wbr 5030  (class class class)co 7170  Fincfn 8555  ℝcr 10614  0cc0 10615   < clt 10753   ≤ cle 10754  ℕcn 11716  ℕ₀cn0 11976  ...cfz 12981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982

This theorem is referenced by: (None)