Theorem nninfnub 38422

Description: An infinite set of positive integers is unbounded above. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nninfnub	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nninfnub

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 4304	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥})
2		breq2 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 < 𝑥 ↔ 𝐵 < 𝑦))
3	2	elrab 3650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑦))
4	3	notbii 323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑦))
5		imnan 404	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑦))
6	4, 5	sylbb2 241	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
7	6	alimi 1841	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
8	7	ralrid 3087	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦)
9		ssel2 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ)
10	9	nnred 12243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	adantlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
12		nnre 12235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		lenlt 11283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
15	14	biimprd 251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝑦 → 𝑦 ≤ 𝐵))
16	11, 13, 15	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐵 < 𝑦 → 𝑦 ≤ 𝐵))
17	16	ralimdva 3177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵))
18		fzfi 14004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...𝐵) ∈ Fin
19	9	nnnn0d 12560	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
20	19	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
21	20	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℕ0)
22		nnnn0 12506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
23	22	ad3antlr 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)
24		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑦 ≤ 𝐵)
25	21, 23, 24	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
26	25	ex 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝐵 → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
27		elfz2nn0 13642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
28	26, 27	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝐵 → 𝑦 ∈ (0...𝐵)))
29	28	ralimdva 3177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵)))
30	29	imp 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵))
31		dfss3 3926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ (0...𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵))
32	30, 31	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝐴 ⊆ (0...𝐵))
33		ssfi 9153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0...𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (0...𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
34	18, 32, 33	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
35	34	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵 → 𝐴 ∈ Fin))
36	17, 35	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 → 𝐴 ∈ Fin))
37	8, 36	syl5 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → 𝐴 ∈ Fin))
38	1, 37	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} = ∅ → 𝐴 ∈ Fin))
39	38	necon3bd 2972	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅))
40	39	imp 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
41	40	an32s 664	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
42	41	3impa 1127	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  {crab 3416   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  ℝcr 11094  0cc0 11095   < clt 11238   ≤ cle 11239  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  ...cfz 13530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531

This theorem is referenced by: (None)