Theorem nninfnub 35909

Description: An infinite set of positive integers is unbounded above. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nninfnub	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nninfnub

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 4277	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥})
2		breq2 5078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 < 𝑥 ↔ 𝐵 < 𝑦))
3	2	elrab 3624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑦))
4	3	notbii 320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑦))
5		imnan 400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑦))
6	4, 5	sylbb2 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
7	6	alimi 1814	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
8		df-ral 3069	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
9	7, 8	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦)
10		ssel2 3916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ)
11	10	nnred 11988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	11	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
13		nnre 11980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
15		lenlt 11053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
16	15	biimprd 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝑦 → 𝑦 ≤ 𝐵))
17	12, 14, 16	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐵 < 𝑦 → 𝑦 ≤ 𝐵))
18	17	ralimdva 3108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵))
19		fzfi 13692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...𝐵) ∈ Fin
20	10	nnnn0d 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
21	20	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℕ0)
23		nnnn0 12240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
24	23	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)
25		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑦 ≤ 𝐵)
26	22, 24, 25	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
27	26	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝐵 → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
28		elfz2nn0 13347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
29	27, 28	syl6ibr 251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝐵 → 𝑦 ∈ (0...𝐵)))
30	29	ralimdva 3108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵)))
31	30	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵))
32		dfss3 3909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ (0...𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵))
33	31, 32	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝐴 ⊆ (0...𝐵))
34		ssfi 8956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0...𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (0...𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
35	19, 33, 34	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
36	35	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵 → 𝐴 ∈ Fin))
37	18, 36	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 → 𝐴 ∈ Fin))
38	9, 37	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → 𝐴 ∈ Fin))
39	1, 38	syl5bi 241	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} = ∅ → 𝐴 ∈ Fin))
40	39	necon3bd 2957	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅))
41	40	imp 407	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
42	41	an32s 649	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
43	42	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  {crab 3068   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℝcr 10870  0cc0 10871   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240

This theorem is referenced by: (None)