Theorem nninfnub 36923

Description: An infinite set of positive integers is unbounded above. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nninfnub	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nninfnub

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 4343	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥})
2		breq2 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 < 𝑥 ↔ 𝐵 < 𝑦))
3	2	elrab 3683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑦))
4	3	notbii 320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑦))
5		imnan 399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦) ↔ ¬ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 < 𝑦))
6	4, 5	sylbb2 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → (𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
7	6	alimi 1812	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
8		df-ral 3061	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 < 𝑦))
9	7, 8	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦)
10		ssel2 3977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ)
11	10	nnred 12232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	11	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
13		nnre 12224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
15		lenlt 11297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑦))
16	15	biimprd 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝑦 → 𝑦 ≤ 𝐵))
17	12, 14, 16	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐵 < 𝑦 → 𝑦 ≤ 𝐵))
18	17	ralimdva 3166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵))
19		fzfi 13942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...𝐵) ∈ Fin
20	10	nnnn0d 12537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
21	20	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℕ0)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℕ0)
23		nnnn0 12484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
24	23	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ0)
25		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝑦 ≤ 𝐵)
26	22, 24, 25	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
27	26	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝐵 → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
28		elfz2nn0 13597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
29	27, 28	imbitrrdi 251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝐵 → 𝑦 ∈ (0...𝐵)))
30	29	ralimdva 3166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵)))
31	30	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵))
32		dfss3 3970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ (0...𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (0...𝐵))
33	31, 32	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝐴 ⊆ (0...𝐵))
34		ssfi 9177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0...𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (0...𝐵)) → 𝐴 ∈ Fin)
35	19, 33, 34	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
36	35	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝐵 → 𝐴 ∈ Fin))
37	18, 36	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑦 → 𝐴 ∈ Fin))
38	9, 37	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} → 𝐴 ∈ Fin))
39	1, 38	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} = ∅ → 𝐴 ∈ Fin))
40	39	necon3bd 2953	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅))
41	40	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
42	41	an32s 649	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)
43	42	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑥} ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  {crab 3431   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  Fincfn 8943  ℝcr 11113  0cc0 11114   < clt 11253   ≤ cle 11254  ℕcn 12217  ℕ₀cn0 12477  ...cfz 13489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490

This theorem is referenced by: (None)