Theorem neificl 38780

Description: Neighborhoods are closed under finite intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
neificl	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem neificl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → 𝑁 ∈ Fin)
2		innei 23448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
3	2	3expib 1140	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
4	3	ralrimivv 3203	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
5		fiint 9321	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
6	4, 5	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∀𝑥((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
7		sseq1 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
8		neeq1 3017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝑁 ≠ ∅))
9		eleq1 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑁 ∈ Fin))
10	7, 8, 9	3anbi123d 1464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin)))
11		3ancomb 1116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
12		3anass 1111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
13	11, 12	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
14	10, 13	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))))
15		inteq 4909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ∩ 𝑥 = ∩ 𝑁)
16	15	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
17	14, 16	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) ↔ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
18	17	spcgv 3550	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (∀𝑥((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
19	6, 18	syl5 35	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
20	19	com3l 90	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → (𝑁 ∈ Fin → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
21	1, 20	mpdi 46	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
22	21	impl 461	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  ∩ cint 4906  ‘cfv 6538  Fincfn 8976  Topctop 23216  neicnei 23420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7878  df-1o 8479  df-2o 8480  df-en 8977  df-fin 8980  df-top 23217  df-nei 23421

This theorem is used by: (None)