Theorem neificl 37754

Description: Neighborhoods are closed under finite intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
neificl	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem neificl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → 𝑁 ∈ Fin)
2		innei 23019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
3	2	3expib 1122	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
4	3	ralrimivv 3179	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
5		fiint 9284	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
6	4, 5	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∀𝑥((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
7		sseq1 3975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
8		neeq1 2988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝑁 ≠ ∅))
9		eleq1 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑁 ∈ Fin))
10	7, 8, 9	3anbi123d 1438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin)))
11		3ancomb 1098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
12		3anass 1094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
13	11, 12	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
14	10, 13	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))))
15		inteq 4916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ∩ 𝑥 = ∩ 𝑁)
16	15	eleq1d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
17	14, 16	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) ↔ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
18	17	spcgv 3565	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (∀𝑥((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
19	6, 18	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
20	19	com3l 89	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → (𝑁 ∈ Fin → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
21	1, 20	mpdi 45	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
22	21	impl 455	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ∩ cint 4913  ‘cfv 6514  Fincfn 8921  Topctop 22787  neicnei 22991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-om 7846  df-1o 8437  df-2o 8438  df-en 8922  df-fin 8925  df-top 22788  df-nei 22992

This theorem is referenced by: (None)