Theorem neificl 35890

Description: Neighborhoods are closed under finite intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
neificl	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem neificl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 767	. . 3 ⊢ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → 𝑁 ∈ Fin)
2		innei 22257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
3	2	3expib 1120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
4	3	ralrimivv 3115	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
5		fiint 9052	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
6	4, 5	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∀𝑥((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
7		sseq1 3950	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
8		neeq1 3007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝑁 ≠ ∅))
9		eleq1 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑁 ∈ Fin))
10	7, 8, 9	3anbi123d 1434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin)))
11		3ancomb 1097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
12		3anass 1093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
13	11, 12	bitri 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
14	10, 13	bitrdi 286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))))
15		inteq 4887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ∩ 𝑥 = ∩ 𝑁)
16	15	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
17	14, 16	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) ↔ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
18	17	spcgv 3533	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (∀𝑥((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
19	6, 18	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
20	19	com3l 89	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → (𝑁 ∈ Fin → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
21	1, 20	mpdi 45	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
22	21	impl 455	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  ∀wral 3065   ∩ cin 3890   ⊆ wss 3891  ∅c0 4261  ∩ cint 4884  ‘cfv 6430  Fincfn 8707  Topctop 22023  neicnei 22229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-om 7701  df-1o 8281  df-er 8472  df-en 8708  df-fin 8711  df-top 22024  df-nei 22230

This theorem is referenced by: (None)