Theorem neificl 36669

Description: Neighborhoods are closed under finite intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
neificl	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem neificl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → 𝑁 ∈ Fin)
2		innei 22629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
3	2	3expib 1123	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
4	3	ralrimivv 3199	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
5		fiint 9324	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)∀𝑦 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
6	4, 5	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∀𝑥((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
7		sseq1 4008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
8		neeq1 3004	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝑁 ≠ ∅))
9		eleq1 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑁 ∈ Fin))
10	7, 8, 9	3anbi123d 1437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin)))
11		3ancomb 1100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))
12		3anass 1096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
13	11, 12	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)))
14	10, 13	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅))))
15		inteq 4954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ∩ 𝑥 = ∩ 𝑁)
16	15	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
17	14, 16	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) ↔ ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
18	17	spcgv 3587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (∀𝑥((𝑥 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
19	6, 18	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
20	19	com3l 89	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → (𝑁 ∈ Fin → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))))
21	1, 20	mpdi 45	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
22	21	impl 457	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ⊆ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅)) → ∩ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  ∩ cint 4951  ‘cfv 6544  Fincfn 8939  Topctop 22395  neicnei 22601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-fin 8943  df-top 22396  df-nei 22602

This theorem is referenced by: (None)