MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrestr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrestr 17374
Description: Sufficient condition for being an open set in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elrestr ((𝐽𝑉𝑆𝑊𝐴𝐽) → (𝐴𝑆) ∈ (𝐽t 𝑆))

Proof of Theorem elrestr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (𝐴𝑆) = (𝐴𝑆)
2 ineq1 4206 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑆) = (𝐴𝑆))
32rspceeqv 3634 . . . 4 ((𝐴𝐽 ∧ (𝐴𝑆) = (𝐴𝑆)) → ∃𝑥𝐽 (𝐴𝑆) = (𝑥𝑆))
41, 3mpan2 690 . . 3 (𝐴𝐽 → ∃𝑥𝐽 (𝐴𝑆) = (𝑥𝑆))
5 elrest 17373 . . 3 ((𝐽𝑉𝑆𝑊) → ((𝐴𝑆) ∈ (𝐽t 𝑆) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝐴𝑆) = (𝑥𝑆)))
64, 5imbitrrid 245 . 2 ((𝐽𝑉𝑆𝑊) → (𝐴𝐽 → (𝐴𝑆) ∈ (𝐽t 𝑆)))
763impia 1118 1 ((𝐽𝑉𝑆𝑊𝐴𝐽) → (𝐴𝑆) ∈ (𝐽t 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071  cin 3948  (class class class)co 7409  t crest 17366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-rest 17368
This theorem is referenced by:  firest  17378  restbas  22662  tgrest  22663  resttopon  22665  restcld  22676  restfpw  22683  neitr  22684  restntr  22686  ordtrest  22706  cnrest  22789  lmss  22802  connsubclo  22928  restnlly  22986  islly2  22988  cldllycmp  22999  lly1stc  23000  kgenss  23047  xkococnlem  23163  xkoinjcn  23191  qtoprest  23221  trfbas2  23347  trfil1  23390  trfil2  23391  fgtr  23394  trfg  23395  uzrest  23401  trufil  23414  flimrest  23487  cnextcn  23571  trust  23734  restutop  23742  trcfilu  23799  cfiluweak  23800  xrsmopn  24328  zdis  24332  xrge0tsms  24350  cnheibor  24471  cfilres  24813  lhop2  25532  psercn  25938  xrlimcnp  26473  xrge0tsmsd  32209  ordtrestNEW  32901  pnfneige0  32931  lmxrge0  32932  rrhre  33001  cvmscld  34264  cvmopnlem  34269  cvmliftmolem1  34272  poimirlem30  36518  subspopn  36620  iocopn  44233  icoopn  44238  limcresiooub  44358  limcresioolb  44359  fourierdlem32  44855  fourierdlem33  44856  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  i0oii  47552  io1ii  47553  iscnrm3llem2  47583
  Copyright terms: Public domain W3C validator