MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrestr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrestr 17315
Description: Sufficient condition for being an open set in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elrestr ((𝐽𝑉𝑆𝑊𝐴𝐽) → (𝐴𝑆) ∈ (𝐽t 𝑆))

Proof of Theorem elrestr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (𝐴𝑆) = (𝐴𝑆)
2 ineq1 4166 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑆) = (𝐴𝑆))
32rspceeqv 3596 . . . 4 ((𝐴𝐽 ∧ (𝐴𝑆) = (𝐴𝑆)) → ∃𝑥𝐽 (𝐴𝑆) = (𝑥𝑆))
41, 3mpan2 690 . . 3 (𝐴𝐽 → ∃𝑥𝐽 (𝐴𝑆) = (𝑥𝑆))
5 elrest 17314 . . 3 ((𝐽𝑉𝑆𝑊) → ((𝐴𝑆) ∈ (𝐽t 𝑆) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝐴𝑆) = (𝑥𝑆)))
64, 5syl5ibr 246 . 2 ((𝐽𝑉𝑆𝑊) → (𝐴𝐽 → (𝐴𝑆) ∈ (𝐽t 𝑆)))
763impia 1118 1 ((𝐽𝑉𝑆𝑊𝐴𝐽) → (𝐴𝑆) ∈ (𝐽t 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3070  cin 3910  (class class class)co 7358  t crest 17307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-rest 17309
This theorem is referenced by:  firest  17319  restbas  22525  tgrest  22526  resttopon  22528  restcld  22539  restfpw  22546  neitr  22547  restntr  22549  ordtrest  22569  cnrest  22652  lmss  22665  connsubclo  22791  restnlly  22849  islly2  22851  cldllycmp  22862  lly1stc  22863  kgenss  22910  xkococnlem  23026  xkoinjcn  23054  qtoprest  23084  trfbas2  23210  trfil1  23253  trfil2  23254  fgtr  23257  trfg  23258  uzrest  23264  trufil  23277  flimrest  23350  cnextcn  23434  trust  23597  restutop  23605  trcfilu  23662  cfiluweak  23663  xrsmopn  24191  zdis  24195  xrge0tsms  24213  cnheibor  24334  cfilres  24676  lhop2  25395  psercn  25801  xrlimcnp  26334  xrge0tsmsd  31948  ordtrestNEW  32559  pnfneige0  32589  lmxrge0  32590  rrhre  32659  cvmscld  33924  cvmopnlem  33929  cvmliftmolem1  33932  poimirlem30  36154  subspopn  36257  iocopn  43844  icoopn  43849  limcresiooub  43969  limcresioolb  43970  fourierdlem32  44466  fourierdlem33  44467  fourierdlem48  44481  fourierdlem49  44482  i0oii  47038  io1ii  47039  iscnrm3llem2  47069
  Copyright terms: Public domain W3C validator