Theorem elrestr 17348

Description: Sufficient condition for being an open set in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrestr	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆))

Proof of Theorem elrestr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆)
2		ineq1 4165	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆))
3	2	rspceeqv 3599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆))
4	1, 3	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆))
5		elrest 17347	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆)))
6	4, 5	imbitrrid 246	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆)))
7	6	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   ∩ cin 3900  (class class class)co 7358   ↾_t crest 17340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-rest 17342

This theorem is referenced by:  firest  17352  restbas  23102  tgrest  23103  resttopon  23105  restcld  23116  restfpw  23123  neitr  23124  restntr  23126  ordtrest  23146  cnrest  23229  lmss  23242  connsubclo  23368  restnlly  23426  islly2  23428  cldllycmp  23439  lly1stc  23440  kgenss  23487  xkococnlem  23603  xkoinjcn  23631  qtoprest  23661  trfbas2  23787  trfil1  23830  trfil2  23831  fgtr  23834  trfg  23835  uzrest  23841  trufil  23854  flimrest  23927  cnextcn  24011  trust  24173  restutop  24181  trcfilu  24237  cfiluweak  24238  xrsmopn  24757  zdis  24761  xrge0tsms  24779  cnheibor  24910  cfilres  25252  lhop2  25976  psercn  26392  xrlimcnp  26934  xrge0tsmsd  33155  ordtrestNEW  34078  pnfneige0  34108  lmxrge0  34109  rrhre  34178  cvmscld  35467  cvmopnlem  35472  cvmliftmolem1  35475  poimirlem30  37851  subspopn  37953  iocopn  45766  icoopn  45771  limcresiooub  45886  limcresioolb  45887  fourierdlem32  46383  fourierdlem33  46384  fourierdlem48  46398  fourierdlem49  46399  i0oii  49165  io1ii  49166  iscnrm3llem2  49195