Theorem elrestr 16798

Description: Sufficient condition for being an open set in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrestr	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆))

Proof of Theorem elrestr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆)
2		ineq1 4094	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆))
3	2	rspceeqv 3539	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆))
4	1, 3	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆))
5		elrest 16797	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆)))
6	4, 5	syl5ibr 249	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆)))
7	6	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3054   ∩ cin 3840  (class class class)co 7164   ↾_t crest 16790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pr 5293  ax-un 7473

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-rest 16792

This theorem is referenced by:  firest  16802  restbas  21902  tgrest  21903  resttopon  21905  restcld  21916  restfpw  21923  neitr  21924  restntr  21926  ordtrest  21946  cnrest  22029  lmss  22042  connsubclo  22168  restnlly  22226  islly2  22228  cldllycmp  22239  lly1stc  22240  kgenss  22287  xkococnlem  22403  xkoinjcn  22431  qtoprest  22461  trfbas2  22587  trfil1  22630  trfil2  22631  fgtr  22634  trfg  22635  uzrest  22641  trufil  22654  flimrest  22727  cnextcn  22811  trust  22974  restutop  22982  trcfilu  23039  cfiluweak  23040  xrsmopn  23557  zdis  23561  xrge0tsms  23579  cnheibor  23700  cfilres  24041  lhop2  24759  psercn  25165  xrlimcnp  25698  xrge0tsmsd  30886  ordtrestNEW  31435  pnfneige0  31465  lmxrge0  31466  rrhre  31533  cvmscld  32798  cvmopnlem  32803  cvmliftmolem1  32806  poimirlem30  35419  subspopn  35522  iocopn  42582  icoopn  42587  limcresiooub  42709  limcresioolb  42710  fourierdlem32  43206  fourierdlem33  43207  fourierdlem48  43221  fourierdlem49  43222  i0oii  45719  io1ii  45720  iscnrm3llem2  45750