Theorem elrestr 17360

Description: Sufficient condition for being an open set in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elrestr	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆))

Proof of Theorem elrestr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆)
2		ineq1 4167	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆))
3	2	rspceeqv 3601	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝐴 ∩ 𝑆)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆))
4	1, 3	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆))
5		elrest 17359	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝐴 ∩ 𝑆) = (𝑥 ∩ 𝑆)))
6	4, 5	imbitrrid 246	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆)))
7	6	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝑆) ∈ (𝐽 ↾t 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ∩ cin 3902  (class class class)co 7368   ↾_t crest 17352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-rest 17354

This theorem is referenced by:  firest  17364  restbas  23114  tgrest  23115  resttopon  23117  restcld  23128  restfpw  23135  neitr  23136  restntr  23138  ordtrest  23158  cnrest  23241  lmss  23254  connsubclo  23380  restnlly  23438  islly2  23440  cldllycmp  23451  lly1stc  23452  kgenss  23499  xkococnlem  23615  xkoinjcn  23643  qtoprest  23673  trfbas2  23799  trfil1  23842  trfil2  23843  fgtr  23846  trfg  23847  uzrest  23853  trufil  23866  flimrest  23939  cnextcn  24023  trust  24185  restutop  24193  trcfilu  24249  cfiluweak  24250  xrsmopn  24769  zdis  24773  xrge0tsms  24791  cnheibor  24922  cfilres  25264  lhop2  25988  psercn  26404  xrlimcnp  26946  xrge0tsmsd  33166  ordtrestNEW  34098  pnfneige0  34128  lmxrge0  34129  rrhre  34198  cvmscld  35486  cvmopnlem  35491  cvmliftmolem1  35494  poimirlem30  37898  subspopn  38000  iocopn  45877  icoopn  45882  limcresiooub  45997  limcresioolb  45998  fourierdlem32  46494  fourierdlem33  46495  fourierdlem48  46509  fourierdlem49  46510  i0oii  49276  io1ii  49277  iscnrm3llem2  49306