| Step | Hyp | Ref
| Expression |
|---|
| 1 | | df-topgen 17385 |
. 2
β’ topGen =
(π¦ β V β¦ {π₯ β£ π₯ β βͺ (π¦ β© π« π₯)}) |
| 2 | | ineq1 4204 |
. . . . 5
β’ (π¦ = π΅ β (π¦ β© π« π₯) = (π΅ β© π« π₯)) |
| 3 | 2 | unieqd 4921 |
. . . 4
β’ (π¦ = π΅ β βͺ (π¦ β© π« π₯) = βͺ
(π΅ β© π« π₯)) |
| 4 | 3 | sseq2d 4013 |
. . 3
β’ (π¦ = π΅ β (π₯ β βͺ (π¦ β© π« π₯) β π₯ β βͺ (π΅ β© π« π₯))) |
| 5 | 4 | abbidv 2801 |
. 2
β’ (π¦ = π΅ β {π₯ β£ π₯ β βͺ (π¦ β© π« π₯)} = {π₯ β£ π₯ β βͺ (π΅ β© π« π₯)}) |
| 6 | | elex 3492 |
. 2
β’ (π΅ β π β π΅ β V) |
| 7 | | uniexg 7726 |
. . 3
β’ (π΅ β π β βͺ π΅ β V) |
| 8 | | abssexg 5379 |
. . 3
β’ (βͺ π΅
β V β {π₯ β£
(π₯ β βͺ π΅
β§ π₯ β βͺ π« π₯)} β V) |
| 9 | | uniin 4934 |
. . . . . . 7
β’ βͺ (π΅
β© π« π₯) β
(βͺ π΅ β© βͺ
π« π₯) |
| 10 | | sstr 3989 |
. . . . . . 7
β’ ((π₯ β βͺ (π΅
β© π« π₯) β§
βͺ (π΅ β© π« π₯) β (βͺ π΅ β© βͺ π« π₯)) β π₯ β (βͺ π΅ β© βͺ π« π₯)) |
| 11 | 9, 10 | mpan2 689 |
. . . . . 6
β’ (π₯ β βͺ (π΅
β© π« π₯) β
π₯ β (βͺ π΅
β© βͺ π« π₯)) |
| 12 | | ssin 4229 |
. . . . . 6
β’ ((π₯ β βͺ π΅
β§ π₯ β βͺ π« π₯) β π₯ β (βͺ π΅ β© βͺ π« π₯)) |
| 13 | 11, 12 | sylibr 233 |
. . . . 5
β’ (π₯ β βͺ (π΅
β© π« π₯) β
(π₯ β βͺ π΅
β§ π₯ β βͺ π« π₯)) |
| 14 | 13 | ss2abi 4062 |
. . . 4
β’ {π₯ β£ π₯ β βͺ (π΅ β© π« π₯)} β {π₯ β£ (π₯ β βͺ π΅ β§ π₯ β βͺ
π« π₯)} |
| 15 | | ssexg 5322 |
. . . 4
β’ (({π₯ β£ π₯ β βͺ (π΅ β© π« π₯)} β {π₯ β£ (π₯ β βͺ π΅ β§ π₯ β βͺ
π« π₯)} β§ {π₯ β£ (π₯ β βͺ π΅ β§ π₯ β βͺ
π« π₯)} β V)
β {π₯ β£ π₯ β βͺ (π΅
β© π« π₯)} β
V) |
| 16 | 14, 15 | mpan 688 |
. . 3
β’ ({π₯ β£ (π₯ β βͺ π΅ β§ π₯ β βͺ
π« π₯)} β V
β {π₯ β£ π₯ β βͺ (π΅
β© π« π₯)} β
V) |
| 17 | 7, 8, 16 | 3syl 18 |
. 2
β’ (π΅ β π β {π₯ β£ π₯ β βͺ (π΅ β© π« π₯)} β V) |
| 18 | 1, 5, 6, 17 | fvmptd3 7018 |
1
β’ (π΅ β π β (topGenβπ΅) = {π₯ β£ π₯ β βͺ (π΅ β© π« π₯)}) |
