Theorem tgfiss 22876

Description: If a subbase is included into a topology, so is the generated topology. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgfiss	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ 𝐽)

Proof of Theorem tgfiss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiss 9314	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐽))
2		fitop 22785	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (fi‘𝐽) = 𝐽)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (fi‘𝐽) = 𝐽)
4	1, 3	sseqtrd 3972	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝐽)
5		tgss 22853	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (fi‘𝐴) ⊆ 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ (topGen‘𝐽))
6	4, 5	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ (topGen‘𝐽))
7		tgtop 22858	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
8	7	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
9	6, 8	sseqtrd 3972	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6482  ficfi 9300  topGenctg 17341  Topctop 22778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-om 7800  df-1o 8388  df-2o 8389  df-en 8873  df-fin 8876  df-fi 9301  df-topgen 17347  df-top 22779

This theorem is referenced by:  ordtrest  23087  ordtrest2  23089  lecldbas  23104  xkoptsub  23539  xkopt  23540  ordtrestNEW  33894  ordtrest2NEW  33896  topjoin  36349