Theorem tgfiss 22899

Description: If a subbase is included into a topology, so is the generated topology. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgfiss	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ 𝐽)

Proof of Theorem tgfiss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiss 9303	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐽))
2		fitop 22808	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (fi‘𝐽) = 𝐽)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (fi‘𝐽) = 𝐽)
4	1, 3	sseqtrd 3969	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝐽)
5		tgss 22876	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (fi‘𝐴) ⊆ 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ (topGen‘𝐽))
6	4, 5	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ (topGen‘𝐽))
7		tgtop 22881	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
8	7	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
9	6, 8	sseqtrd 3969	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6477  ficfi 9289  topGenctg 17333  Topctop 22801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-om 7792  df-1o 8380  df-2o 8381  df-en 8865  df-fin 8868  df-fi 9290  df-topgen 17339  df-top 22802

This theorem is referenced by:  ordtrest  23110  ordtrest2  23112  lecldbas  23127  xkoptsub  23562  xkopt  23563  ordtrestNEW  33924  ordtrest2NEW  33926  topjoin  36378