MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgfiss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgfiss 21529
Description: If a subbase is included into a topology, so is the generated topology. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgfiss ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ 𝐽)

Proof of Theorem tgfiss
StepHypRef Expression
1 fiss 8877 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐽))
2 fitop 21438 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (fi‘𝐽) = 𝐽)
32adantr 481 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (fi‘𝐽) = 𝐽)
41, 3sseqtrd 4006 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝐽)
5 tgss 21506 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (fi‘𝐴) ⊆ 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ (topGen‘𝐽))
64, 5syldan 591 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ (topGen‘𝐽))
7 tgtop 21511 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
87adantr 481 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
96, 8sseqtrd 4006 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3935  cfv 6349  ficfi 8863  topGenctg 16701  Topctop 21431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-fin 8502  df-fi 8864  df-topgen 16707  df-top 21432
This theorem is referenced by:  ordtrest  21740  ordtrest2  21742  lecldbas  21757  xkoptsub  22192  xkopt  22193  ordtrestNEW  31064  ordtrest2NEW  31066  topjoin  33611
  Copyright terms: Public domain W3C validator