Theorem tgfiss 23058

Description: If a subbase is included into a topology, so is the generated topology. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgfiss	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ 𝐽)

Proof of Theorem tgfiss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiss 9368	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐽))
2		fitop 22967	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (fi‘𝐽) = 𝐽)
3	2	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (fi‘𝐽) = 𝐽)
4	1, 3	sseqtrd 3973	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝐽)
5		tgss 23035	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (fi‘𝐴) ⊆ 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ (topGen‘𝐽))
6	4, 5	syldan 600	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ (topGen‘𝐽))
7		tgtop 23040	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
8	7	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
9	6, 8	sseqtrd 3973	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6521  ficfi 9354  topGenctg 17476  Topctop 22960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-om 7847  df-1o 8437  df-2o 8438  df-en 8928  df-fin 8931  df-fi 9355  df-topgen 17482  df-top 22961

This theorem is referenced by:  ordtrest  23269  ordtrest2  23271  lecldbas  23286  xkoptsub  23721  xkopt  23722  ordtrestNEW  34220  ordtrest2NEW  34222  topjoin  36730