MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgfiss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgfiss 22357
Description: If a subbase is included into a topology, so is the generated topology. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgfiss ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐽) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΄)) βŠ† 𝐽)

Proof of Theorem tgfiss
StepHypRef Expression
1 fiss 9365 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐽) β†’ (fiβ€˜π΄) βŠ† (fiβ€˜π½))
2 fitop 22265 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ (fiβ€˜π½) = 𝐽)
32adantr 482 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐽) β†’ (fiβ€˜π½) = 𝐽)
41, 3sseqtrd 3985 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐽) β†’ (fiβ€˜π΄) βŠ† 𝐽)
5 tgss 22334 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (fiβ€˜π΄) βŠ† 𝐽) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΄)) βŠ† (topGenβ€˜π½))
64, 5syldan 592 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐽) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΄)) βŠ† (topGenβ€˜π½))
7 tgtop 22339 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ (topGenβ€˜π½) = 𝐽)
87adantr 482 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐽) β†’ (topGenβ€˜π½) = 𝐽)
96, 8sseqtrd 3985 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐽) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜π΄)) βŠ† 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911  β€˜cfv 6497  ficfi 9351  topGenctg 17324  Topctop 22258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-fin 8890  df-fi 9352  df-topgen 17330  df-top 22259
This theorem is referenced by:  ordtrest  22569  ordtrest2  22571  lecldbas  22586  xkoptsub  23021  xkopt  23022  ordtrestNEW  32559  ordtrest2NEW  32561  topjoin  34883
  Copyright terms: Public domain W3C validator