Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgfiss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgfiss 21534
 Description: If a subbase is included into a topology, so is the generated topology. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgfiss ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ 𝐽)

Proof of Theorem tgfiss
StepHypRef Expression
1 fiss 8882 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐽))
2 fitop 21443 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → (fi‘𝐽) = 𝐽)
32adantr 481 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (fi‘𝐽) = 𝐽)
41, 3sseqtrd 4011 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝐽)
5 tgss 21511 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (fi‘𝐴) ⊆ 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ (topGen‘𝐽))
64, 5syldan 591 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ (topGen‘𝐽))
7 tgtop 21516 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
87adantr 481 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
96, 8sseqtrd 4011 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (topGen‘(fi‘𝐴)) ⊆ 𝐽)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3940  ‘cfv 6354  ficfi 8868  topGenctg 16706  Topctop 21436 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-en 8504  df-fin 8507  df-fi 8869  df-topgen 16712  df-top 21437 This theorem is referenced by:  ordtrest  21745  ordtrest2  21747  lecldbas  21762  xkoptsub  22197  xkopt  22198  ordtrestNEW  31069  ordtrest2NEW  31071  topjoin  33616
 Copyright terms: Public domain W3C validator