Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isarchi2 30741
Description: Alternative way to express the predicate "𝑊 is Archimedean ", for Tosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi2.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
isarchi2.0 0 = (0g𝑊)
isarchi2.x · = (.g𝑊)
isarchi2.l = (le‘𝑊)
isarchi2.t < = (lt‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
isarchi2 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑛,𝑊,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   < (𝑥,𝑦,𝑛)   · (𝑥,𝑦,𝑛)   (𝑥,𝑦,𝑛)   0 (𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem isarchi2
StepHypRef Expression
1 isarchi2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 isarchi2.0 . . . 4 0 = (0g𝑊)
3 eqid 2818 . . . 4 (⋘‘𝑊) = (⋘‘𝑊)
41, 2, 3isarchi 30738 . . 3 (𝑊 ∈ Toset → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
54adantr 481 . 2 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
6 simpl1l 1216 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Toset)
7 simpl1r 1217 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Mnd)
8 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
98nnnn0d 11943 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
10 simpl2 1184 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥𝐵)
11 isarchi2.x . . . . . . . . . 10 · = (.g𝑊)
121, 11mulgnn0cl 18182 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐵) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
137, 9, 10, 12syl3anc 1363 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
14 simpl3 1185 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑦𝐵)
15 isarchi2.l . . . . . . . . . 10 = (le‘𝑊)
16 isarchi2.t . . . . . . . . . 10 < = (lt‘𝑊)
171, 15, 16tltnle 30576 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → ((𝑛 · 𝑥) < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 (𝑛 · 𝑥)))
1817con2bid 356 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → (𝑦 (𝑛 · 𝑥) ↔ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
196, 13, 14, 18syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 (𝑛 · 𝑥) ↔ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
2019rexbidva 3293 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
2120imbi2d 342 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
221, 2, 11, 16isinftm 30737 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
2322notbid 319 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
24 rexnal 3235 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)
2524imbi2i 337 . . . . . . . 8 (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ( 0 < 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
26 imnan 400 . . . . . . . 8 (( 0 < 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
2725, 26bitr2i 277 . . . . . . 7 (¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
2823, 27syl6bb 288 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
29283adant1r 1169 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
3021, 29bitr4d 283 . . . 4 (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥)) ↔ ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
31303expb 1112 . . 3 (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥)) ↔ ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
32312ralbidva 3195 . 2 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
335, 32bitr4d 283 1 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cn 11626  0cn0 11885  Basecbs 16471  lecple 16560  0gc0g 16701  ltcplt 17539  Tosetctos 17631  Mndcmnd 17899  .gcmg 18162  cinftm 30732  Archicarchi 30733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-seq 13358  df-0g 16703  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-toset 17632  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mulg 18163  df-inftm 30734  df-archi 30735
This theorem is referenced by:  submarchi  30742  isarchi3  30743  archirng  30744
  Copyright terms: Public domain W3C validator