Theorem isarchi2 33183

Description: Alternative way to express the predicate "𝑊 is Archimedean ", for Tosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
isarchi2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
isarchi2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
isarchi2.x	⊢ · = (.g‘𝑊)
isarchi2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
isarchi2.t	⊢ < = (lt‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
isarchi2	⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑛,𝑊,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   < (𝑥,𝑦,𝑛)   · (𝑥,𝑦,𝑛)   ≤ (𝑥,𝑦,𝑛)   0 (𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem isarchi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isarchi2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		isarchi2.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (⋘‘𝑊) = (⋘‘𝑊)
4	1, 2, 3	isarchi 33180	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Toset → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
6		simpl1l 1225	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Toset)
7		isarchi2.x	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.g‘𝑊)
8		simpl1r 1226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Mnd)
9		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
11		simpl2 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12	1, 7, 8, 10, 11	mulgnn0cld 19078	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
13		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14		isarchi2.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
15		isarchi2.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ < = (lt‘𝑊)
16	1, 14, 15	tltnle 18432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑛 · 𝑥) < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)))
17	16	con2bid 354	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥) ↔ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
18	6, 12, 13, 17	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥) ↔ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
19	18	rexbidva 3162	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
20	19	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
21	1, 2, 7, 15	isinftm 33179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
22	21	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
23		rexnal 3089	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)
24	23	imbi2i 336	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ( 0 < 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
25		imnan 399	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 < 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
26	24, 25	bitr2i 276	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
27	22, 26	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
28	27	3adant1r 1178	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
29	20, 28	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
30	29	3expb 1120	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
31	30	2ralbidva 3203	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
32	5, 31	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℕcn 12240  Basecbs 17228  lecple 17278  0_gc0g 17453  ltcplt 18320  Tosetctos 18426  Mndcmnd 18712  ._gcmg 19050  ⋘cinftm 33174  Archicarchi 33175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-seq 14020  df-0g 17455  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-toset 18427  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mulg 19051  df-inftm 33176  df-archi 33177

This theorem is referenced by:  submarchi  33184  isarchi3  33185  archirng  33186