Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isarchi2 30186
Description: Alternative way to express the predicate "𝑊 is Archimedean ", for Tosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi2.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
isarchi2.0 0 = (0g𝑊)
isarchi2.x · = (.g𝑊)
isarchi2.l = (le‘𝑊)
isarchi2.t < = (lt‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
isarchi2 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑛,𝑊,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   < (𝑥,𝑦,𝑛)   · (𝑥,𝑦,𝑛)   (𝑥,𝑦,𝑛)   0 (𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem isarchi2
StepHypRef Expression
1 isarchi2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 isarchi2.0 . . . 4 0 = (0g𝑊)
3 eqid 2765 . . . 4 (⋘‘𝑊) = (⋘‘𝑊)
41, 2, 3isarchi 30183 . . 3 (𝑊 ∈ Toset → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
54adantr 472 . 2 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
6 simpl1l 1293 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Toset)
7 simpl1r 1295 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Mnd)
8 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
98nnnn0d 11598 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
10 simpl2 1244 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥𝐵)
11 isarchi2.x . . . . . . . . . 10 · = (.g𝑊)
121, 11mulgnn0cl 17824 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐵) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
137, 9, 10, 12syl3anc 1490 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
14 simpl3 1246 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑦𝐵)
15 isarchi2.l . . . . . . . . . 10 = (le‘𝑊)
16 isarchi2.t . . . . . . . . . 10 < = (lt‘𝑊)
171, 15, 16tltnle 30109 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → ((𝑛 · 𝑥) < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 (𝑛 · 𝑥)))
1817con2bid 345 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → (𝑦 (𝑛 · 𝑥) ↔ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
196, 13, 14, 18syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 (𝑛 · 𝑥) ↔ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
2019rexbidva 3196 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
2120imbi2d 331 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
221, 2, 11, 16isinftm 30182 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
2322notbid 309 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
24 rexnal 3141 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)
2524imbi2i 327 . . . . . . . 8 (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ( 0 < 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
26 imnan 388 . . . . . . . 8 (( 0 < 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
2725, 26bitr2i 267 . . . . . . 7 (¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
2823, 27syl6bb 278 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
29283adant1r 1223 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
3021, 29bitr4d 273 . . . 4 (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥)) ↔ ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
31303expb 1149 . . 3 (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥)) ↔ ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
32312ralbidva 3135 . 2 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
335, 32bitr4d 273 1 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 (𝑛 · 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cn 11274  0cn0 11538  Basecbs 16130  lecple 16221  0gc0g 16366  ltcplt 17207  Tosetctos 17299  Mndcmnd 17560  .gcmg 17807  cinftm 30177  Archicarchi 30178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-seq 13009  df-0g 16368  df-proset 17194  df-poset 17212  df-plt 17224  df-toset 17300  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mulg 17808  df-inftm 30179  df-archi 30180
This theorem is referenced by:  submarchi  30187  isarchi3  30188  archirng  30189
  Copyright terms: Public domain W3C validator