Theorem isarchi2 32331

Description: Alternative way to express the predicate "𝑊 is Archimedean ", for Tosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
isarchi2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
isarchi2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
isarchi2.x	⊢ · = (.g‘𝑊)
isarchi2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
isarchi2.t	⊢ < = (lt‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
isarchi2	⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑛,𝑊,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   < (𝑥,𝑦,𝑛)   · (𝑥,𝑦,𝑛)   ≤ (𝑥,𝑦,𝑛)   0 (𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem isarchi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isarchi2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		isarchi2.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (⋘‘𝑊) = (⋘‘𝑊)
4	1, 2, 3	isarchi 32328	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Toset → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
5	4	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
6		simpl1l 1225	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Toset)
7		isarchi2.x	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.g‘𝑊)
8		simpl1r 1226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Mnd)
9		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
11		simpl2 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12	1, 7, 8, 10, 11	mulgnn0cld 18975	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
13		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14		isarchi2.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
15		isarchi2.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ < = (lt‘𝑊)
16	1, 14, 15	tltnle 18375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑛 · 𝑥) < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)))
17	16	con2bid 355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥) ↔ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
18	6, 12, 13, 17	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥) ↔ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
19	18	rexbidva 3177	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
20	19	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
21	1, 2, 7, 15	isinftm 32327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
22	21	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
23		rexnal 3101	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)
24	23	imbi2i 336	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ( 0 < 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
25		imnan 401	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 < 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
26	24, 25	bitr2i 276	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
27	22, 26	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
28	27	3adant1r 1178	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
29	20, 28	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
30	29	3expb 1121	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
31	30	2ralbidva 3217	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
32	5, 31	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℕcn 12212  Basecbs 17144  lecple 17204  0_gc0g 17385  ltcplt 18261  Tosetctos 18369  Mndcmnd 18625  ._gcmg 18950  ⋘cinftm 32322  Archicarchi 32323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-0g 17387  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-toset 18370  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mulg 18951  df-inftm 32324  df-archi 32325

This theorem is referenced by:  submarchi  32332  isarchi3  32333  archirng  32334