Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isarchi2 32601
Description: Alternative way to express the predicate "π‘Š is Archimedean ", for Tosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchi2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
isarchi2.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
isarchi2.x Β· = (.gβ€˜π‘Š)
isarchi2.l ≀ = (leβ€˜π‘Š)
isarchi2.t < = (ltβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
isarchi2 ((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 ≀ (𝑛 Β· π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,𝐡   𝑛,π‘Š,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   < (π‘₯,𝑦,𝑛)   Β· (π‘₯,𝑦,𝑛)   ≀ (π‘₯,𝑦,𝑛)   0 (π‘₯,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem isarchi2
StepHypRef Expression
1 isarchi2.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 isarchi2.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
3 eqid 2730 . . . 4 (β‹˜β€˜π‘Š) = (β‹˜β€˜π‘Š)
41, 2, 3isarchi 32598 . . 3 (π‘Š ∈ Toset β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 Β¬ π‘₯(β‹˜β€˜π‘Š)𝑦))
54adantr 479 . 2 ((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 Β¬ π‘₯(β‹˜β€˜π‘Š)𝑦))
6 simpl1l 1222 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ Toset)
7 isarchi2.x . . . . . . . . 9 Β· = (.gβ€˜π‘Š)
8 simpl1r 1223 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
9 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
109nnnn0d 12536 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
11 simpl2 1190 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
121, 7, 8, 10, 11mulgnn0cld 19011 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡)
13 simpl3 1191 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
14 isarchi2.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜π‘Š)
15 isarchi2.t . . . . . . . . . 10 < = (ltβ€˜π‘Š)
161, 14, 15tltnle 18379 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Toset ∧ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑛 Β· π‘₯) < 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑛 Β· π‘₯)))
1716con2bid 353 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Toset ∧ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ≀ (𝑛 Β· π‘₯) ↔ Β¬ (𝑛 Β· π‘₯) < 𝑦))
186, 12, 13, 17syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑦 ≀ (𝑛 Β· π‘₯) ↔ Β¬ (𝑛 Β· π‘₯) < 𝑦))
1918rexbidva 3174 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 ≀ (𝑛 Β· π‘₯) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• Β¬ (𝑛 Β· π‘₯) < 𝑦))
2019imbi2d 339 . . . . 5 (((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 ≀ (𝑛 Β· π‘₯)) ↔ ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Β¬ (𝑛 Β· π‘₯) < 𝑦)))
211, 2, 7, 15isinftm 32597 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(β‹˜β€˜π‘Š)𝑦 ↔ ( 0 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 Β· π‘₯) < 𝑦)))
2221notbid 317 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘₯(β‹˜β€˜π‘Š)𝑦 ↔ Β¬ ( 0 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 Β· π‘₯) < 𝑦)))
23 rexnal 3098 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘› ∈ β„• Β¬ (𝑛 Β· π‘₯) < 𝑦 ↔ Β¬ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 Β· π‘₯) < 𝑦)
2423imbi2i 335 . . . . . . . 8 (( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Β¬ (𝑛 Β· π‘₯) < 𝑦) ↔ ( 0 < π‘₯ β†’ Β¬ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 Β· π‘₯) < 𝑦))
25 imnan 398 . . . . . . . 8 (( 0 < π‘₯ β†’ Β¬ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 Β· π‘₯) < 𝑦) ↔ Β¬ ( 0 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 Β· π‘₯) < 𝑦))
2624, 25bitr2i 275 . . . . . . 7 (Β¬ ( 0 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 Β· π‘₯) < 𝑦) ↔ ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Β¬ (𝑛 Β· π‘₯) < 𝑦))
2722, 26bitrdi 286 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘₯(β‹˜β€˜π‘Š)𝑦 ↔ ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Β¬ (𝑛 Β· π‘₯) < 𝑦)))
28273adant1r 1175 . . . . 5 (((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘₯(β‹˜β€˜π‘Š)𝑦 ↔ ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Β¬ (𝑛 Β· π‘₯) < 𝑦)))
2920, 28bitr4d 281 . . . 4 (((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 ≀ (𝑛 Β· π‘₯)) ↔ Β¬ π‘₯(β‹˜β€˜π‘Š)𝑦))
30293expb 1118 . . 3 (((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 ≀ (𝑛 Β· π‘₯)) ↔ Β¬ π‘₯(β‹˜β€˜π‘Š)𝑦))
31302ralbidva 3214 . 2 ((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 ≀ (𝑛 Β· π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 Β¬ π‘₯(β‹˜β€˜π‘Š)𝑦))
325, 31bitr4d 281 1 ((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 ≀ (𝑛 Β· π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„•cn 12216  Basecbs 17148  lecple 17208  0gc0g 17389  ltcplt 18265  Tosetctos 18373  Mndcmnd 18659  .gcmg 18986  β‹˜cinftm 32592  Archicarchi 32593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-seq 13971  df-0g 17391  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-toset 18374  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mulg 18987  df-inftm 32594  df-archi 32595
This theorem is referenced by:  submarchi  32602  isarchi3  32603  archirng  32604
  Copyright terms: Public domain W3C validator