Theorem isarchi2 33633

Description: Alternative way to express the predicate "𝑊 is Archimedean ", for Tosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
isarchi2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
isarchi2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
isarchi2.x	⊢ · = (.g‘𝑊)
isarchi2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
isarchi2.t	⊢ < = (lt‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
isarchi2	⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑛,𝑊,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   < (𝑥, 𝑦, 𝑛)   · (𝑥, 𝑦, 𝑛)   ≤ (𝑥, 𝑦, 𝑛)   0 (𝑥, 𝑦, 𝑛)

Proof of Theorem isarchi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isarchi2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		isarchi2.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (⋘‘𝑊) = (⋘‘𝑊)
4	1, 2, 3	isarchi 33630	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Toset → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
6		simpl1l 1243	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Toset)
7		isarchi2.x	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.g‘𝑊)
8		simpl1r 1244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Mnd)
9		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
11		simpl2 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12	1, 7, 8, 10, 11	mulgnn0cld 19224	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
13		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14		isarchi2.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
15		isarchi2.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ < = (lt‘𝑊)
16	1, 14, 15	tltnle 18514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑛 · 𝑥) < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)))
17	16	con2bid 357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥) ↔ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
18	6, 12, 13, 17	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥) ↔ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
19	18	rexbidva 3186	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
20	19	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
21	1, 2, 7, 15	isinftm 33629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
22	21	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
23		rexnal 3116	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)
24	23	imbi2i 339	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ( 0 < 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
25		imnan 405	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 < 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
26	24, 25	bitr2i 279	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
27	22, 26	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
28	27	3adant1r 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
29	20, 28	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
30	29	3expb 1138	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
31	30	2ralbidva 3226	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
32	5, 31	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℕcn 12261  Basecbs 17307  lecple 17355  0_gc0g 17530  ltcplt 18402  Tosetctos 18508  Mndcmnd 18842  ._gcmg 19196  ⋘cinftm 33624  Archicarchi 33625

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-seq 14070  df-0g 17532  df-proset 18388  df-poset 18407  df-plt 18422  df-toset 18509  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mulg 19197  df-inftm 33626  df-archi 33627

This theorem is used by:  submarchi  33634  isarchi3  33635  archirng  33636