Theorem isarchi2 31158

Description: Alternative way to express the predicate "𝑊 is Archimedean ", for Tosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
isarchi2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
isarchi2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
isarchi2.x	⊢ · = (.g‘𝑊)
isarchi2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
isarchi2.t	⊢ < = (lt‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
isarchi2	⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑛,𝑊,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   < (𝑥,𝑦,𝑛)   · (𝑥,𝑦,𝑛)   ≤ (𝑥,𝑦,𝑛)   0 (𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem isarchi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isarchi2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		isarchi2.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (⋘‘𝑊) = (⋘‘𝑊)
4	1, 2, 3	isarchi 31155	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Toset → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
5	4	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
6		simpl1l 1226	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Toset)
7		simpl1r 1227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Mnd)
8		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
9	8	nnnn0d 12150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
10		simpl2 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11		isarchi2.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.g‘𝑊)
12	1, 11	mulgnn0cl 18508	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
13	7, 9, 10, 12	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
14		simpl3 1195	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15		isarchi2.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
16		isarchi2.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ < = (lt‘𝑊)
17	1, 15, 16	tltnle 17928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑛 · 𝑥) < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)))
18	17	con2bid 358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥) ↔ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
19	6, 13, 14, 18	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥) ↔ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
20	19	rexbidva 3215	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
21	20	imbi2d 344	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
22	1, 2, 11, 16	isinftm 31154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
23	22	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
24		rexnal 3160	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)
25	24	imbi2i 339	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ( 0 < 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
26		imnan 403	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 < 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
27	25, 26	bitr2i 279	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
28	23, 27	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
29	28	3adant1r 1179	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
30	21, 29	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
31	30	3expb 1122	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
32	31	2ralbidva 3119	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
33	5, 32	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℕcn 11830  ℕ₀cn0 12090  Basecbs 16760  lecple 16809  0_gc0g 16944  ltcplt 17815  Tosetctos 17922  Mndcmnd 18173  ._gcmg 18488  ⋘cinftm 31149  Archicarchi 31150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-seq 13575  df-0g 16946  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-toset 17923  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mulg 18489  df-inftm 31151  df-archi 31152

This theorem is referenced by:  submarchi  31159  isarchi3  31160  archirng  31161