Theorem isarchi2 33192

Description: Alternative way to express the predicate "𝑊 is Archimedean ", for Tosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
isarchi2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
isarchi2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
isarchi2.x	⊢ · = (.g‘𝑊)
isarchi2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
isarchi2.t	⊢ < = (lt‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
isarchi2	⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑛,𝑊,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   < (𝑥,𝑦,𝑛)   · (𝑥,𝑦,𝑛)   ≤ (𝑥,𝑦,𝑛)   0 (𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem isarchi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isarchi2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		isarchi2.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (⋘‘𝑊) = (⋘‘𝑊)
4	1, 2, 3	isarchi 33189	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Toset → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
6		simpl1l 1225	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Toset)
7		isarchi2.x	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.g‘𝑊)
8		simpl1r 1226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Mnd)
9		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
11		simpl2 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12	1, 7, 8, 10, 11	mulgnn0cld 19113	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵)
13		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14		isarchi2.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
15		isarchi2.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ < = (lt‘𝑊)
16	1, 14, 15	tltnle 18467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑛 · 𝑥) < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)))
17	16	con2bid 354	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥) ↔ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
18	6, 12, 13, 17	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥) ↔ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
19	18	rexbidva 3177	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
20	19	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
21	1, 2, 7, 15	isinftm 33188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
22	21	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
23		rexnal 3100	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)
24	23	imbi2i 336	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ( 0 < 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
25		imnan 399	. . . . . . . 8 ⊢ (( 0 < 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
26	24, 25	bitr2i 276	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ( 0 < 𝑥 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦) ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦))
27	22, 26	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
28	27	3adant1r 1178	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦 ↔ ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ (𝑛 · 𝑥) < 𝑦)))
29	20, 28	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
30	29	3expb 1121	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
31	30	2ralbidva 3219	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥(⋘‘𝑊)𝑦))
32	5, 31	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑛 · 𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℕcn 12266  Basecbs 17247  lecple 17304  0_gc0g 17484  ltcplt 18354  Tosetctos 18461  Mndcmnd 18747  ._gcmg 19085  ⋘cinftm 33183  Archicarchi 33184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-0g 17486  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-toset 18462  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mulg 19086  df-inftm 33185  df-archi 33186

This theorem is referenced by:  submarchi  33193  isarchi3  33194  archirng  33195