Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tosglblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tosglblem 31883
Description: Lemma for tosglb 31884 and xrsclat 31920. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.) (Revised by NM, 15-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
tosglb.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tosglb.l < = (ltβ€˜πΎ)
tosglb.1 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Toset)
tosglb.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
tosglb.e ≀ = (leβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
tosglblem ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘ ∈ 𝐴 π‘Ž ≀ 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 β†’ 𝑐 ≀ π‘Ž)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ π‘Žβ—‘ < 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝑏◑ < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏◑ < 𝑑))))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑, <   𝐴,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝐾,π‘Ž,𝑏,𝑐   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐾(𝑑)   ≀ (π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem tosglblem
StepHypRef Expression
1 tosglb.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Toset)
21ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Toset)
3 tosglb.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
43adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
54sselda 3945 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
6 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
7 tosglb.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 tosglb.e . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 tosglb.l . . . . . . 7 < = (ltβ€˜πΎ)
107, 8, 9tltnle 18316 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 < π‘Ž ↔ Β¬ π‘Ž ≀ 𝑏))
112, 5, 6, 10syl3anc 1372 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (𝑏 < π‘Ž ↔ Β¬ π‘Ž ≀ 𝑏))
1211con2bid 355 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 < π‘Ž))
1312ralbidva 3169 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 π‘Ž ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑏 < π‘Ž))
143ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
15 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
1614, 15sseldd 3946 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
177, 8, 9tltnle 18316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 < 𝑐 ↔ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑏))
181, 17syl3an1 1164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 < 𝑐 ↔ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑏))
19183com23 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 < 𝑐 ↔ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑏))
20193expa 1119 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 < 𝑐 ↔ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑏))
2120con2bid 355 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑐 ≀ 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 < 𝑐))
2216, 21syldan 592 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ≀ 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 < 𝑐))
2322ralbidva 3169 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑏 < 𝑐))
24 breq1 5109 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑑 β†’ (𝑏 < 𝑐 ↔ 𝑑 < 𝑐))
2524notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 β†’ (Β¬ 𝑏 < 𝑐 ↔ Β¬ 𝑑 < 𝑐))
2625cbvralvw 3224 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑏 < 𝑐 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑑 < 𝑐)
27 ralnex 3072 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑑 < 𝑐 ↔ Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐)
2826, 27bitri 275 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑏 < 𝑐 ↔ Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐)
2923, 28bitrdi 287 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 ↔ Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐))
3029adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 ↔ Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐))
311ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Toset)
32 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
33 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ 𝑐 ∈ 𝐡)
347, 8, 9tltnle 18316 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Toset ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž < 𝑐 ↔ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Ž))
3531, 32, 33, 34syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž < 𝑐 ↔ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Ž))
3635con2bid 355 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (𝑐 ≀ π‘Ž ↔ Β¬ π‘Ž < 𝑐))
3730, 36imbi12d 345 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 β†’ 𝑐 ≀ π‘Ž) ↔ (Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐 β†’ Β¬ π‘Ž < 𝑐)))
38 con34b 316 . . . . . 6 ((π‘Ž < 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐) ↔ (Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐 β†’ Β¬ π‘Ž < 𝑐))
3937, 38bitr4di 289 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 β†’ 𝑐 ≀ π‘Ž) ↔ (π‘Ž < 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐)))
4039ralbidva 3169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 β†’ 𝑐 ≀ π‘Ž) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž < 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐)))
41 breq2 5110 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 β†’ (π‘Ž < 𝑏 ↔ π‘Ž < 𝑐))
42 breq2 5110 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑐 β†’ (𝑑 < 𝑏 ↔ 𝑑 < 𝑐))
4342rexbidv 3172 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑏 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐))
4441, 43imbi12d 345 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 β†’ ((π‘Ž < 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑏) ↔ (π‘Ž < 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐)))
4544cbvralvw 3224 . . . 4 (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž < 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑏) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž < 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐))
4640, 45bitr4di 289 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 β†’ 𝑐 ≀ π‘Ž) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž < 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑏)))
4713, 46anbi12d 632 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘ ∈ 𝐴 π‘Ž ≀ 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 β†’ 𝑐 ≀ π‘Ž)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑏 < π‘Ž ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž < 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑏))))
48 vex 3448 . . . . . 6 π‘Ž ∈ V
49 vex 3448 . . . . . 6 𝑏 ∈ V
5048, 49brcnv 5839 . . . . 5 (π‘Žβ—‘ < 𝑏 ↔ 𝑏 < π‘Ž)
5150notbii 320 . . . 4 (Β¬ π‘Žβ—‘ < 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 < π‘Ž)
5251ralbii 3093 . . 3 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ π‘Žβ—‘ < 𝑏 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑏 < π‘Ž)
5349, 48brcnv 5839 . . . . 5 (𝑏◑ < π‘Ž ↔ π‘Ž < 𝑏)
54 vex 3448 . . . . . . 7 𝑑 ∈ V
5549, 54brcnv 5839 . . . . . 6 (𝑏◑ < 𝑑 ↔ 𝑑 < 𝑏)
5655rexbii 3094 . . . . 5 (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏◑ < 𝑑 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑏)
5753, 56imbi12i 351 . . . 4 ((𝑏◑ < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏◑ < 𝑑) ↔ (π‘Ž < 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑏))
5857ralbii 3093 . . 3 (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝑏◑ < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏◑ < 𝑑) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž < 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑏))
5952, 58anbi12i 628 . 2 ((βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ π‘Žβ—‘ < 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝑏◑ < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏◑ < 𝑑)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑏 < π‘Ž ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž < 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑏)))
6047, 59bitr4di 289 1 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘ ∈ 𝐴 π‘Ž ≀ 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 β†’ 𝑐 ≀ π‘Ž)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ π‘Žβ—‘ < 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝑏◑ < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏◑ < 𝑑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  β—‘ccnv 5633  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  lecple 17145  ltcplt 18202  Tosetctos 18310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-toset 18311
This theorem is referenced by:  tosglb  31884  xrsclat  31920
  Copyright terms: Public domain W3C validator