Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tosglblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tosglblem 32408
Description: Lemma for tosglb 32409 and xrsclat 32445. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.) (Revised by NM, 15-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
tosglb.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tosglb.l < = (ltβ€˜πΎ)
tosglb.1 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Toset)
tosglb.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
tosglb.e ≀ = (leβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
tosglblem ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘ ∈ 𝐴 π‘Ž ≀ 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 β†’ 𝑐 ≀ π‘Ž)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ π‘Žβ—‘ < 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝑏◑ < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏◑ < 𝑑))))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑, <   𝐴,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝐾,π‘Ž,𝑏,𝑐   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐾(𝑑)   ≀ (π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem tosglblem
StepHypRef Expression
1 tosglb.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Toset)
21ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Toset)
3 tosglb.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
43adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
54sselda 3983 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
6 simplr 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
7 tosglb.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 tosglb.e . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 tosglb.l . . . . . . 7 < = (ltβ€˜πΎ)
107, 8, 9tltnle 18380 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 < π‘Ž ↔ Β¬ π‘Ž ≀ 𝑏))
112, 5, 6, 10syl3anc 1370 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (𝑏 < π‘Ž ↔ Β¬ π‘Ž ≀ 𝑏))
1211con2bid 353 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 < π‘Ž))
1312ralbidva 3174 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 π‘Ž ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑏 < π‘Ž))
143ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
15 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
1614, 15sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
177, 8, 9tltnle 18380 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 < 𝑐 ↔ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑏))
181, 17syl3an1 1162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 < 𝑐 ↔ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑏))
19183com23 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 < 𝑐 ↔ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑏))
20193expa 1117 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 < 𝑐 ↔ Β¬ 𝑐 ≀ 𝑏))
2120con2bid 353 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑐 ≀ 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 < 𝑐))
2216, 21syldan 590 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ≀ 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 < 𝑐))
2322ralbidva 3174 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑏 < 𝑐))
24 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑑 β†’ (𝑏 < 𝑐 ↔ 𝑑 < 𝑐))
2524notbid 317 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 β†’ (Β¬ 𝑏 < 𝑐 ↔ Β¬ 𝑑 < 𝑐))
2625cbvralvw 3233 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑏 < 𝑐 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑑 < 𝑐)
27 ralnex 3071 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑑 < 𝑐 ↔ Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐)
2826, 27bitri 274 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑏 < 𝑐 ↔ Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐)
2923, 28bitrdi 286 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 ↔ Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐))
3029adantlr 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 ↔ Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐))
311ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Toset)
32 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
33 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ 𝑐 ∈ 𝐡)
347, 8, 9tltnle 18380 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Toset ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž < 𝑐 ↔ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Ž))
3531, 32, 33, 34syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž < 𝑐 ↔ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Ž))
3635con2bid 353 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (𝑐 ≀ π‘Ž ↔ Β¬ π‘Ž < 𝑐))
3730, 36imbi12d 343 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 β†’ 𝑐 ≀ π‘Ž) ↔ (Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐 β†’ Β¬ π‘Ž < 𝑐)))
38 con34b 315 . . . . . 6 ((π‘Ž < 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐) ↔ (Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐 β†’ Β¬ π‘Ž < 𝑐))
3937, 38bitr4di 288 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 β†’ 𝑐 ≀ π‘Ž) ↔ (π‘Ž < 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐)))
4039ralbidva 3174 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 β†’ 𝑐 ≀ π‘Ž) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž < 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐)))
41 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 β†’ (π‘Ž < 𝑏 ↔ π‘Ž < 𝑐))
42 breq2 5153 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑐 β†’ (𝑑 < 𝑏 ↔ 𝑑 < 𝑐))
4342rexbidv 3177 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑏 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐))
4441, 43imbi12d 343 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 β†’ ((π‘Ž < 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑏) ↔ (π‘Ž < 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐)))
4544cbvralvw 3233 . . . 4 (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž < 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑏) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž < 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑐))
4640, 45bitr4di 288 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 β†’ 𝑐 ≀ π‘Ž) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž < 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑏)))
4713, 46anbi12d 630 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘ ∈ 𝐴 π‘Ž ≀ 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 β†’ 𝑐 ≀ π‘Ž)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑏 < π‘Ž ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž < 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑏))))
48 vex 3477 . . . . . 6 π‘Ž ∈ V
49 vex 3477 . . . . . 6 𝑏 ∈ V
5048, 49brcnv 5883 . . . . 5 (π‘Žβ—‘ < 𝑏 ↔ 𝑏 < π‘Ž)
5150notbii 319 . . . 4 (Β¬ π‘Žβ—‘ < 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 < π‘Ž)
5251ralbii 3092 . . 3 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ π‘Žβ—‘ < 𝑏 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑏 < π‘Ž)
5349, 48brcnv 5883 . . . . 5 (𝑏◑ < π‘Ž ↔ π‘Ž < 𝑏)
54 vex 3477 . . . . . . 7 𝑑 ∈ V
5549, 54brcnv 5883 . . . . . 6 (𝑏◑ < 𝑑 ↔ 𝑑 < 𝑏)
5655rexbii 3093 . . . . 5 (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏◑ < 𝑑 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑏)
5753, 56imbi12i 349 . . . 4 ((𝑏◑ < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏◑ < 𝑑) ↔ (π‘Ž < 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑏))
5857ralbii 3092 . . 3 (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝑏◑ < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏◑ < 𝑑) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž < 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑏))
5952, 58anbi12i 626 . 2 ((βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ π‘Žβ—‘ < 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝑏◑ < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏◑ < 𝑑)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑏 < π‘Ž ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž < 𝑏 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑑 < 𝑏)))
6047, 59bitr4di 288 1 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘ ∈ 𝐴 π‘Ž ≀ 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑐 ≀ 𝑏 β†’ 𝑐 ≀ π‘Ž)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ π‘Žβ—‘ < 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝑏◑ < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏◑ < 𝑑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676  β€˜cfv 6544  Basecbs 17149  lecple 17209  ltcplt 18266  Tosetctos 18374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-toset 18375
This theorem is referenced by:  tosglb  32409  xrsclat  32445
  Copyright terms: Public domain W3C validator