Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tosglblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tosglblem 30670
Description: Lemma for tosglb 30671 and xrsclat 30702. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.) (Revised by NM, 15-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
tosglb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tosglb.l < = (lt‘𝐾)
tosglb.1 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
tosglb.2 (𝜑𝐴𝐵)
tosglb.e = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
tosglblem ((𝜑𝑎𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑎 𝑏 ∧ ∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑, <   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐾(𝑑)   (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem tosglblem
StepHypRef Expression
1 tosglb.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
21ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐾 ∈ Toset)
3 tosglb.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
43adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐴𝐵)
54sselda 3954 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐵)
6 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑎𝐵)
7 tosglb.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 tosglb.e . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
9 tosglb.l . . . . . . 7 < = (lt‘𝐾)
107, 8, 9tltnle 30663 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑏𝐵𝑎𝐵) → (𝑏 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 𝑏))
112, 5, 6, 10syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 𝑏))
1211con2bid 358 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑎 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 < 𝑎))
1312ralbidva 3191 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑎 𝑏 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑎))
143ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐴𝐵)
15 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐴)
1614, 15sseldd 3955 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐵)
177, 8, 9tltnle 30663 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑏 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 𝑏))
181, 17syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑏 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 𝑏))
19183com23 1123 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐𝐵𝑏𝐵) → (𝑏 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 𝑏))
20193expa 1115 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑏 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 𝑏))
2120con2bid 358 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑐 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 < 𝑐))
2216, 21syldan 594 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑐 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 < 𝑐))
2322ralbidva 3191 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑐))
24 breq1 5056 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 < 𝑐𝑑 < 𝑐))
2524notbid 321 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 → (¬ 𝑏 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑑 < 𝑐))
2625cbvralvw 3435 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑐 ↔ ∀𝑑𝐴 ¬ 𝑑 < 𝑐)
27 ralnex 3231 . . . . . . . . . 10 (∀𝑑𝐴 ¬ 𝑑 < 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐)
2826, 27bitri 278 . . . . . . . . 9 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐)
2923, 28syl6bb 290 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐))
3029adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐))
311ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝐾 ∈ Toset)
32 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑎𝐵)
33 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑐𝐵)
347, 8, 9tltnle 30663 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑎𝐵𝑐𝐵) → (𝑎 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 𝑎))
3531, 32, 33, 34syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑎 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 𝑎))
3635con2bid 358 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑐 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 𝑐))
3730, 36imbi12d 348 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎) ↔ (¬ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐 → ¬ 𝑎 < 𝑐)))
38 con34b 319 . . . . . 6 ((𝑎 < 𝑐 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐) ↔ (¬ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐 → ¬ 𝑎 < 𝑐))
3937, 38syl6bbr 292 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎) ↔ (𝑎 < 𝑐 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐)))
4039ralbidva 3191 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎) ↔ ∀𝑐𝐵 (𝑎 < 𝑐 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐)))
41 breq2 5057 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (𝑎 < 𝑏𝑎 < 𝑐))
42 breq2 5057 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑐 → (𝑑 < 𝑏𝑑 < 𝑐))
4342rexbidv 3290 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏 ↔ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐))
4441, 43imbi12d 348 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏) ↔ (𝑎 < 𝑐 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐)))
4544cbvralvw 3435 . . . 4 (∀𝑏𝐵 (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏) ↔ ∀𝑐𝐵 (𝑎 < 𝑐 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐))
4640, 45syl6bbr 292 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎) ↔ ∀𝑏𝐵 (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏)))
4713, 46anbi12d 633 . 2 ((𝜑𝑎𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑎 𝑏 ∧ ∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑎 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏))))
48 vex 3484 . . . . . 6 𝑎 ∈ V
49 vex 3484 . . . . . 6 𝑏 ∈ V
5048, 49brcnv 5741 . . . . 5 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑎)
5150notbii 323 . . . 4 𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 < 𝑎)
5251ralbii 3160 . . 3 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑎)
5349, 48brcnv 5741 . . . . 5 (𝑏 < 𝑎𝑎 < 𝑏)
54 vex 3484 . . . . . . 7 𝑑 ∈ V
5549, 54brcnv 5741 . . . . . 6 (𝑏 < 𝑑𝑑 < 𝑏)
5655rexbii 3242 . . . . 5 (∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑 ↔ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏)
5753, 56imbi12i 354 . . . 4 ((𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏))
5857ralbii 3160 . . 3 (∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ ∀𝑏𝐵 (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏))
5952, 58anbi12i 629 . 2 ((∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑎 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏)))
6047, 59syl6bbr 292 1 ((𝜑𝑎𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑎 𝑏 ∧ ∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  wrex 3134  wss 3920   class class class wbr 5053  ccnv 5542  cfv 6344  Basecbs 16486  lecple 16575  ltcplt 17554  Tosetctos 17646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pr 5318
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fv 6352  df-proset 17541  df-poset 17559  df-plt 17571  df-toset 17647
This theorem is referenced by:  tosglb  30671  xrsclat  30702
  Copyright terms: Public domain W3C validator