Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archirng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archirng 30189
Description: Property of Archimedean ordered groups, framing positive 𝑌 between multiples of 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archirng.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archirng.0 0 = (0g𝑊)
archirng.i < = (lt‘𝑊)
archirng.l = (le‘𝑊)
archirng.x · = (.g𝑊)
archirng.1 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archirng.2 (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archirng.3 (𝜑𝑋𝐵)
archirng.4 (𝜑𝑌𝐵)
archirng.5 (𝜑0 < 𝑋)
archirng.6 (𝜑0 < 𝑌)
Assertion
Ref Expression
archirng (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌𝑌 ((𝑛 + 1) · 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   𝜑,𝑛   0 ,𝑛   ,𝑛   < ,𝑛   · ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem archirng
Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6849 . . . 4 (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
21breq2d 4821 . . 3 (𝑚 = 0 → (𝑌 (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 (0 · 𝑋)))
3 oveq1 6849 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
43breq2d 4821 . . 3 (𝑚 = 𝑛 → (𝑌 (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 (𝑛 · 𝑋)))
5 oveq1 6849 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · 𝑋))
65breq2d 4821 . . 3 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑌 (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ((𝑛 + 1) · 𝑋)))
7 archirng.6 . . . . 5 (𝜑0 < 𝑌)
8 archirng.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
9 isogrp 30149 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
109simprbi 490 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
11 omndtos 30152 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
128, 10, 113syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Toset)
13 ogrpgrp 30150 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
148, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
15 archirng.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑊)
16 archirng.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑊)
1715, 16grpidcl 17717 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Grp → 0𝐵)
1814, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑0𝐵)
19 archirng.4 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐵)
20 archirng.l . . . . . . 7 = (le‘𝑊)
21 archirng.i . . . . . . 7 < = (lt‘𝑊)
2215, 20, 21tltnle 30109 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 0𝐵𝑌𝐵) → ( 0 < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 0 ))
2312, 18, 19, 22syl3anc 1490 . . . . 5 (𝜑 → ( 0 < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 0 ))
247, 23mpbid 223 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑌 0 )
25 archirng.3 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
26 archirng.x . . . . . . 7 · = (.g𝑊)
2715, 16, 26mulg0 17813 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )
2825, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 · 𝑋) = 0 )
2928breq2d 4821 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 (0 · 𝑋) ↔ 𝑌 0 ))
3024, 29mtbird 316 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑌 (0 · 𝑋))
3125, 19jca 507 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
32 omndmnd 30151 . . . . . 6 (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Mnd)
338, 10, 323syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
34 archirng.2 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Archi)
3515, 16, 26, 20, 21isarchi2 30186 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑥))))
3635biimpa 468 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑊 ∈ Archi) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑥)))
3712, 33, 34, 36syl21anc 866 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑥)))
38 archirng.5 . . . 4 (𝜑0 < 𝑋)
39 breq2 4813 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ( 0 < 𝑥0 < 𝑋))
40 oveq2 6850 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 𝑋))
4140breq2d 4821 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 (𝑚 · 𝑥) ↔ 𝑦 (𝑚 · 𝑋)))
4241rexbidv 3199 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑋)))
4339, 42imbi12d 335 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑋))))
44 breq1 4812 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 (𝑚 · 𝑋)))
4544rexbidv 3199 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑋) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 (𝑚 · 𝑋)))
4645imbi2d 331 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑋)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 (𝑚 · 𝑋))))
4743, 46rspc2v 3474 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑥)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 (𝑚 · 𝑋))))
4831, 37, 38, 47syl3c 66 . . 3 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 (𝑚 · 𝑋))
492, 4, 6, 30, 48nn0min 30016 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑌 (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ((𝑛 + 1) · 𝑋)))
5012adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Toset)
5114adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Grp)
52 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
5352nn0zd 11727 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
5425adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
5515, 26mulgcl 17825 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
5651, 53, 54, 55syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
5719adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑌𝐵)
5815, 20, 21tltnle 30109 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 (𝑛 · 𝑋)))
5950, 56, 57, 58syl3anc 1490 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 (𝑛 · 𝑋)))
6059anbi1d 623 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 · 𝑋) < 𝑌𝑌 ((𝑛 + 1) · 𝑋)) ↔ (¬ 𝑌 (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ((𝑛 + 1) · 𝑋))))
6160rexbidva 3196 . 2 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌𝑌 ((𝑛 + 1) · 𝑋)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑌 (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ((𝑛 + 1) · 𝑋))))
6249, 61mpbird 248 1 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌𝑌 ((𝑛 + 1) · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  Basecbs 16130  lecple 16221  0gc0g 16366  ltcplt 17207  Tosetctos 17299  Mndcmnd 17560  Grpcgrp 17689  .gcmg 17807  oMndcomnd 30144  oGrpcogrp 30145  Archicarchi 30178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-seq 13009  df-0g 16368  df-proset 17194  df-poset 17212  df-plt 17224  df-toset 17300  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-mulg 17808  df-omnd 30146  df-ogrp 30147  df-inftm 30179  df-archi 30180
This theorem is referenced by:  archirngz  30190  archiabllem1a  30192
  Copyright terms: Public domain W3C validator