Theorem archirng 30867

Description: Property of Archimedean ordered groups, framing positive 𝑌 between multiples of 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archirng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archirng.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archirng.i	⊢ < = (lt‘𝑊)
archirng.l	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archirng.x	⊢ · = (.g‘𝑊)
archirng.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archirng.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archirng.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archirng.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
archirng.5	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
archirng.6	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
archirng	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   𝜑,𝑛   0 ,𝑛   ≤ ,𝑛   < ,𝑛   · ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem archirng

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7142	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2	1	breq2d 5042	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ (0 · 𝑋)))
3		oveq1 7142	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
4	3	breq2d 5042	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋)))
5		oveq1 7142	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · 𝑋))
6	5	breq2d 5042	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))
7		archirng.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)
8		archirng.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
9		isogrp 30753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
10	9	simprbi 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
11		omndtos 30756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
12	8, 10, 11	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Toset)
13		ogrpgrp 30754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
14	8, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
15		archirng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
16		archirng.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
17	15, 16	grpidcl 18123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
18	14, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
19		archirng.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
20		archirng.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
21		archirng.i	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝑊)
22	15, 20, 21	tltnle 30675	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ 0 ))
23	12, 18, 19, 22	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ 0 ))
24	7, 23	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ≤ 0 )
25		archirng.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
26		archirng.x	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑊)
27	15, 16, 26	mulg0 18223	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )
28	25, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑋) = 0 )
29	28	breq2d 5042	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ≤ (0 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ 0 ))
30	24, 29	mtbird 328	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ≤ (0 · 𝑋))
31	25, 19	jca 515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
32		omndmnd 30755	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Mnd)
33	8, 10, 32	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
34		archirng.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
35	15, 16, 26, 20, 21	isarchi2 30864	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥))))
36	35	biimpa 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑊 ∈ Archi) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)))
37	12, 33, 34, 36	syl21anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)))
38		archirng.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
39		breq2 5034	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ( 0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑋))
40		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 𝑋))
41	40	breq2d 5042	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥) ↔ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
42	41	rexbidv 3256	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
43	39, 42	imbi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋))))
44		breq1 5033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
45	44	rexbidv 3256	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
46	45	imbi2d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋))))
47	43, 46	rspc2v 3581	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋))))
48	31, 37, 38, 47	syl3c 66	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋))
49	2, 4, 6, 30, 48	nn0min 30562	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))
50	12	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Toset)
51	14	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Grp)
52		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
53	52	nn0zd 12073	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
54	25	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
55	15, 26	mulgcl 18237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
56	51, 53, 54, 55	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
57	19	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
58	15, 20, 21	tltnle 30675	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋)))
59	50, 56, 57, 58	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋)))
60	59	anbi1d 632	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)) ↔ (¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋))))
61	60	rexbidva 3255	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋))))
62	49, 61	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  Basecbs 16475  lecple 16564  0_gc0g 16705  ltcplt 17543  Tosetctos 17635  Mndcmnd 17903  Grpcgrp 18095  ._gcmg 18216  oMndcomnd 30748  oGrpcogrp 30749  Archicarchi 30856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-toset 17636  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-omnd 30750  df-ogrp 30751  df-inftm 30857  df-archi 30858

This theorem is referenced by:  archirngz  30868  archiabllem1a  30870