Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archirng Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem archirng 32592
Description: Property of Archimedean ordered groups, framing positive π‘Œ between multiples of 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archirng.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
archirng.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
archirng.i < = (ltβ€˜π‘Š)
archirng.l ≀ = (leβ€˜π‘Š)
archirng.x Β· = (.gβ€˜π‘Š)
archirng.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ oGrp)
archirng.2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Archi)
archirng.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
archirng.4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
archirng.5 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑋)
archirng.6 (πœ‘ β†’ 0 < π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
archirng (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ((𝑛 Β· 𝑋) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑋   𝑛,π‘Œ   πœ‘,𝑛   0 ,𝑛   ≀ ,𝑛   < ,𝑛   Β· ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑛)   π‘Š(𝑛)
Proof of Theorem archirng
Dummy variables π‘₯ π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7418 . . . 4 (π‘š = 0 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (0 Β· 𝑋))
21breq2d 5160 . . 3 (π‘š = 0 β†’ (π‘Œ ≀ (π‘š Β· 𝑋) ↔ π‘Œ ≀ (0 Β· 𝑋)))
3 oveq1 7418 . . . 4 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š Β· 𝑋) = (𝑛 Β· 𝑋))
43breq2d 5160 . . 3 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘Œ ≀ (π‘š Β· 𝑋) ↔ π‘Œ ≀ (𝑛 Β· 𝑋)))
5 oveq1 7418 . . . 4 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘š Β· 𝑋) = ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))
65breq2d 5160 . . 3 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘Œ ≀ (π‘š Β· 𝑋) ↔ π‘Œ ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋)))
7 archirng.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < π‘Œ)
8 archirng.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ oGrp)
9 isogrp 32478 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ oGrp ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Š ∈ oMnd))
109simprbi 497 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ oMnd)
11 omndtos 32481 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ oMnd β†’ π‘Š ∈ Toset)
128, 10, 113syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Toset)
13 ogrpgrp 32479 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
148, 13syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
15 archirng.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
16 archirng.0 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘Š)
1715, 16grpidcl 18886 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
1814, 17syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
19 archirng.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
20 archirng.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜π‘Š)
21 archirng.i . . . . . . 7 < = (ltβ€˜π‘Š)
2215, 20, 21tltnle 18379 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Toset ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < π‘Œ ↔ Β¬ π‘Œ ≀ 0 ))
2312, 18, 19, 22syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( 0 < π‘Œ ↔ Β¬ π‘Œ ≀ 0 ))
247, 23mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘Œ ≀ 0 )
25 archirng.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
26 archirng.x . . . . . . 7 Β· = (.gβ€˜π‘Š)
2715, 16, 26mulg0 18993 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· 𝑋) = 0 )
2825, 27syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 Β· 𝑋) = 0 )
2928breq2d 5160 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ≀ (0 Β· 𝑋) ↔ π‘Œ ≀ 0 ))
3024, 29mtbird 324 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘Œ ≀ (0 Β· 𝑋))
3125, 19jca 512 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
32 omndmnd 32480 . . . . . 6 (π‘Š ∈ oMnd β†’ π‘Š ∈ Mnd)
338, 10, 323syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
34 archirng.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Archi)
3515, 16, 26, 20, 21isarchi2 32589 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 ≀ (π‘š Β· π‘₯))))
3635biimpa 477 . . . . 5 (((π‘Š ∈ Toset ∧ π‘Š ∈ Mnd) ∧ π‘Š ∈ Archi) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 ≀ (π‘š Β· π‘₯)))
3712, 33, 34, 36syl21anc 836 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 ≀ (π‘š Β· π‘₯)))
38 archirng.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑋)
39 breq2 5152 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ( 0 < π‘₯ ↔ 0 < 𝑋))
40 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘š Β· π‘₯) = (π‘š Β· 𝑋))
4140breq2d 5160 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑦 ≀ (π‘š Β· π‘₯) ↔ 𝑦 ≀ (π‘š Β· 𝑋)))
4241rexbidv 3178 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 ≀ (π‘š Β· π‘₯) ↔ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 ≀ (π‘š Β· 𝑋)))
4339, 42imbi12d 344 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 ≀ (π‘š Β· π‘₯)) ↔ ( 0 < 𝑋 β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 ≀ (π‘š Β· 𝑋))))
44 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑦 ≀ (π‘š Β· 𝑋) ↔ π‘Œ ≀ (π‘š Β· 𝑋)))
4544rexbidv 3178 . . . . . 6 (𝑦 = π‘Œ β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 ≀ (π‘š Β· 𝑋) ↔ βˆƒπ‘š ∈ β„• π‘Œ ≀ (π‘š Β· 𝑋)))
4645imbi2d 340 . . . . 5 (𝑦 = π‘Œ β†’ (( 0 < 𝑋 β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 ≀ (π‘š Β· 𝑋)) ↔ ( 0 < 𝑋 β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• π‘Œ ≀ (π‘š Β· 𝑋))))
4743, 46rspc2v 3622 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ( 0 < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑦 ≀ (π‘š Β· π‘₯)) β†’ ( 0 < 𝑋 β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• π‘Œ ≀ (π‘š Β· 𝑋))))
4831, 37, 38, 47syl3c 66 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• π‘Œ ≀ (π‘š Β· 𝑋))
492, 4, 6, 30, 48nn0min 32281 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (Β¬ π‘Œ ≀ (𝑛 Β· 𝑋) ∧ π‘Œ ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋)))
5012adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ Toset)
5114adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ π‘Š ∈ Grp)
52 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
5352nn0zd 12588 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
5425adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5515, 26mulgcl 19007 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
5651, 53, 54, 55syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
5719adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5815, 20, 21tltnle 18379 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Toset ∧ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑛 Β· 𝑋) < π‘Œ ↔ Β¬ π‘Œ ≀ (𝑛 Β· 𝑋)))
5950, 56, 57, 58syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 Β· 𝑋) < π‘Œ ↔ Β¬ π‘Œ ≀ (𝑛 Β· 𝑋)))
6059anbi1d 630 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 Β· 𝑋) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋)) ↔ (Β¬ π‘Œ ≀ (𝑛 Β· 𝑋) ∧ π‘Œ ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))))
6160rexbidva 3176 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ((𝑛 Β· 𝑋) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (Β¬ π‘Œ ≀ (𝑛 Β· 𝑋) ∧ π‘Œ ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋))))
6249, 61mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ((𝑛 Β· 𝑋) < π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ ((𝑛 + 1) Β· 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  Basecbs 17148  lecple 17208  0gc0g 17389  ltcplt 18265  Tosetctos 18373  Mndcmnd 18659  Grpcgrp 18855  .gcmg 18986  oMndcomnd 32473  oGrpcogrp 32474  Archicarchi 32581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-seq 13971  df-0g 17391  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-toset 18374  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-omnd 32475  df-ogrp 32476  df-inftm 32582  df-archi 32583
This theorem is referenced by:  archirngz  32593  archiabllem1a  32595
  Copyright terms: Public domain W3C validator