Theorem archirng 33149

Description: Property of Archimedean ordered groups, framing positive 𝑌 between multiples of 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archirng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archirng.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archirng.i	⊢ < = (lt‘𝑊)
archirng.l	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archirng.x	⊢ · = (.g‘𝑊)
archirng.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archirng.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archirng.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archirng.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
archirng.5	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
archirng.6	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
archirng	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   𝜑,𝑛   0 ,𝑛   ≤ ,𝑛   < ,𝑛   · ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem archirng

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7360	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2	1	breq2d 5107	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ (0 · 𝑋)))
3		oveq1 7360	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
4	3	breq2d 5107	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋)))
5		oveq1 7360	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · 𝑋))
6	5	breq2d 5107	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))
7		archirng.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)
8		archirng.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
9		isogrp 20022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
10	9	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
11		omndtos 20025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
12	8, 10, 11	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Toset)
13		ogrpgrp 20023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
14	8, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
15		archirng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
16		archirng.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
17	15, 16	grpidcl 18863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
18	14, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
19		archirng.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
20		archirng.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
21		archirng.i	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝑊)
22	15, 20, 21	tltnle 18345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ 0 ))
23	12, 18, 19, 22	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ 0 ))
24	7, 23	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ≤ 0 )
25		archirng.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
26		archirng.x	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑊)
27	15, 16, 26	mulg0 18972	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )
28	25, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑋) = 0 )
29	28	breq2d 5107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ≤ (0 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ 0 ))
30	24, 29	mtbird 325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ≤ (0 · 𝑋))
31	25, 19	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
32		omndmnd 20024	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Mnd)
33	8, 10, 32	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
34		archirng.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
35	15, 16, 26, 20, 21	isarchi2 33146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥))))
36	35	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑊 ∈ Archi) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)))
37	12, 33, 34, 36	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)))
38		archirng.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
39		breq2 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ( 0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑋))
40		oveq2 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 𝑋))
41	40	breq2d 5107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥) ↔ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
42	41	rexbidv 3153	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
43	39, 42	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋))))
44		breq1 5098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
45	44	rexbidv 3153	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
46	45	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋))))
47	43, 46	rspc2v 3590	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋))))
48	31, 37, 38, 47	syl3c 66	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋))
49	2, 4, 6, 30, 48	nn0min 32784	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))
50	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Toset)
51	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Grp)
52		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
53	52	nn0zd 12516	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
54	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
55	15, 26	mulgcl 18989	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
56	51, 53, 54, 55	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
57	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
58	15, 20, 21	tltnle 18345	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋)))
59	50, 56, 57, 58	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋)))
60	59	anbi1d 631	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)) ↔ (¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋))))
61	60	rexbidva 3151	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋))))
62	49, 61	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  Basecbs 17139  lecple 17187  0_gc0g 17362  ltcplt 18233  Tosetctos 18339  Mndcmnd 18627  Grpcgrp 18831  ._gcmg 18965  oMndcomnd 20017  oGrpcogrp 20018  Archicarchi 33138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430  df-seq 13928  df-0g 17364  df-proset 18219  df-poset 18238  df-plt 18253  df-toset 18340  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-mulg 18966  df-omnd 20019  df-ogrp 20020  df-inftm 33139  df-archi 33140

This theorem is referenced by:  archirngz  33150  archiabllem1a  33152