Theorem archirng 33115

Description: Property of Archimedean ordered groups, framing positive 𝑌 between multiples of 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archirng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archirng.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archirng.i	⊢ < = (lt‘𝑊)
archirng.l	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archirng.x	⊢ · = (.g‘𝑊)
archirng.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archirng.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archirng.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archirng.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
archirng.5	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
archirng.6	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
archirng	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   𝜑,𝑛   0 ,𝑛   ≤ ,𝑛   < ,𝑛   · ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem archirng

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7376	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2	1	breq2d 5114	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ (0 · 𝑋)))
3		oveq1 7376	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
4	3	breq2d 5114	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋)))
5		oveq1 7376	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · 𝑋))
6	5	breq2d 5114	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))
7		archirng.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)
8		archirng.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
9		isogrp 32989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
10	9	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
11		omndtos 32992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
12	8, 10, 11	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Toset)
13		ogrpgrp 32990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
14	8, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
15		archirng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
16		archirng.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
17	15, 16	grpidcl 18873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
18	14, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
19		archirng.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
20		archirng.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
21		archirng.i	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝑊)
22	15, 20, 21	tltnle 18357	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ 0 ))
23	12, 18, 19, 22	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ 0 ))
24	7, 23	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ≤ 0 )
25		archirng.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
26		archirng.x	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑊)
27	15, 16, 26	mulg0 18982	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )
28	25, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑋) = 0 )
29	28	breq2d 5114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ≤ (0 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ 0 ))
30	24, 29	mtbird 325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ≤ (0 · 𝑋))
31	25, 19	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
32		omndmnd 32991	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Mnd)
33	8, 10, 32	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
34		archirng.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
35	15, 16, 26, 20, 21	isarchi2 33112	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥))))
36	35	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑊 ∈ Archi) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)))
37	12, 33, 34, 36	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)))
38		archirng.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
39		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ( 0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑋))
40		oveq2 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 𝑋))
41	40	breq2d 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥) ↔ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
42	41	rexbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
43	39, 42	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋))))
44		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
45	44	rexbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
46	45	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋))))
47	43, 46	rspc2v 3596	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋))))
48	31, 37, 38, 47	syl3c 66	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋))
49	2, 4, 6, 30, 48	nn0min 32718	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))
50	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Toset)
51	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Grp)
52		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
53	52	nn0zd 12531	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
54	25	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
55	15, 26	mulgcl 18999	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
56	51, 53, 54, 55	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
57	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
58	15, 20, 21	tltnle 18357	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋)))
59	50, 56, 57, 58	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋)))
60	59	anbi1d 631	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)) ↔ (¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋))))
61	60	rexbidva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋))))
62	49, 61	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  Basecbs 17155  lecple 17203  0_gc0g 17378  ltcplt 18245  Tosetctos 18351  Mndcmnd 18637  Grpcgrp 18841  ._gcmg 18975  oMndcomnd 32984  oGrpcogrp 32985  Archicarchi 33104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-seq 13943  df-0g 17380  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-toset 18352  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-mulg 18976  df-omnd 32986  df-ogrp 32987  df-inftm 33105  df-archi 33106

This theorem is referenced by:  archirngz  33116  archiabllem1a  33118