Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archirng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archirng 30750
Description: Property of Archimedean ordered groups, framing positive 𝑌 between multiples of 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archirng.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archirng.0 0 = (0g𝑊)
archirng.i < = (lt‘𝑊)
archirng.l = (le‘𝑊)
archirng.x · = (.g𝑊)
archirng.1 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archirng.2 (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archirng.3 (𝜑𝑋𝐵)
archirng.4 (𝜑𝑌𝐵)
archirng.5 (𝜑0 < 𝑋)
archirng.6 (𝜑0 < 𝑌)
Assertion
Ref Expression
archirng (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌𝑌 ((𝑛 + 1) · 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   𝜑,𝑛   0 ,𝑛   ,𝑛   < ,𝑛   · ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem archirng
Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7157 . . . 4 (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
21breq2d 5075 . . 3 (𝑚 = 0 → (𝑌 (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 (0 · 𝑋)))
3 oveq1 7157 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
43breq2d 5075 . . 3 (𝑚 = 𝑛 → (𝑌 (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 (𝑛 · 𝑋)))
5 oveq1 7157 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · 𝑋))
65breq2d 5075 . . 3 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑌 (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ((𝑛 + 1) · 𝑋)))
7 archirng.6 . . . . 5 (𝜑0 < 𝑌)
8 archirng.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
9 isogrp 30636 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
109simprbi 497 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
11 omndtos 30639 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
128, 10, 113syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Toset)
13 ogrpgrp 30637 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
148, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
15 archirng.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑊)
16 archirng.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑊)
1715, 16grpidcl 18076 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Grp → 0𝐵)
1814, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑0𝐵)
19 archirng.4 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐵)
20 archirng.l . . . . . . 7 = (le‘𝑊)
21 archirng.i . . . . . . 7 < = (lt‘𝑊)
2215, 20, 21tltnle 30582 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 0𝐵𝑌𝐵) → ( 0 < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 0 ))
2312, 18, 19, 22syl3anc 1365 . . . . 5 (𝜑 → ( 0 < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 0 ))
247, 23mpbid 233 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑌 0 )
25 archirng.3 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
26 archirng.x . . . . . . 7 · = (.g𝑊)
2715, 16, 26mulg0 18176 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )
2825, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 · 𝑋) = 0 )
2928breq2d 5075 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 (0 · 𝑋) ↔ 𝑌 0 ))
3024, 29mtbird 326 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑌 (0 · 𝑋))
3125, 19jca 512 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
32 omndmnd 30638 . . . . . 6 (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Mnd)
338, 10, 323syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
34 archirng.2 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Archi)
3515, 16, 26, 20, 21isarchi2 30747 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑥))))
3635biimpa 477 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑊 ∈ Archi) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑥)))
3712, 33, 34, 36syl21anc 835 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑥)))
38 archirng.5 . . . 4 (𝜑0 < 𝑋)
39 breq2 5067 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ( 0 < 𝑥0 < 𝑋))
40 oveq2 7158 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 𝑋))
4140breq2d 5075 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 (𝑚 · 𝑥) ↔ 𝑦 (𝑚 · 𝑋)))
4241rexbidv 3302 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑋)))
4339, 42imbi12d 346 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑋))))
44 breq1 5066 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 (𝑚 · 𝑋)))
4544rexbidv 3302 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑋) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 (𝑚 · 𝑋)))
4645imbi2d 342 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑋)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 (𝑚 · 𝑋))))
4743, 46rspc2v 3637 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 (𝑚 · 𝑥)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 (𝑚 · 𝑋))))
4831, 37, 38, 47syl3c 66 . . 3 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 (𝑚 · 𝑋))
492, 4, 6, 30, 48nn0min 30469 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑌 (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ((𝑛 + 1) · 𝑋)))
5012adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Toset)
5114adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Grp)
52 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
5352nn0zd 12079 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
5425adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
5515, 26mulgcl 18190 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
5651, 53, 54, 55syl3anc 1365 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
5719adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑌𝐵)
5815, 20, 21tltnle 30582 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 (𝑛 · 𝑋)))
5950, 56, 57, 58syl3anc 1365 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 (𝑛 · 𝑋)))
6059anbi1d 629 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 · 𝑋) < 𝑌𝑌 ((𝑛 + 1) · 𝑋)) ↔ (¬ 𝑌 (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ((𝑛 + 1) · 𝑋))))
6160rexbidva 3301 . 2 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌𝑌 ((𝑛 + 1) · 𝑋)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑌 (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ((𝑛 + 1) · 𝑋))))
6249, 61mpbird 258 1 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌𝑌 ((𝑛 + 1) · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534  cn 11632  0cn0 11891  cz 11975  Basecbs 16478  lecple 16567  0gc0g 16708  ltcplt 17546  Tosetctos 17638  Mndcmnd 17906  Grpcgrp 18048  .gcmg 18169  oMndcomnd 30631  oGrpcogrp 30632  Archicarchi 30739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-seq 13365  df-0g 16710  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-toset 17639  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-mulg 18170  df-omnd 30633  df-ogrp 30634  df-inftm 30740  df-archi 30741
This theorem is referenced by:  archirngz  30751  archiabllem1a  30753
  Copyright terms: Public domain W3C validator