Theorem archirng 33848

Description: Property of Archimedean ordered groups, framing positive 𝑌 between multiples of 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archirng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archirng.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archirng.i	⊢ < = (lt‘𝑊)
archirng.l	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archirng.x	⊢ · = (.g‘𝑊)
archirng.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archirng.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archirng.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archirng.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
archirng.5	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
archirng.6	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
archirng	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   𝜑,𝑛   0 ,𝑛   ≤ ,𝑛   < ,𝑛   · ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem archirng

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7458	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2	1	breq2d 5120	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ (0 · 𝑋)))
3		oveq1 7458	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
4	3	breq2d 5120	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋)))
5		oveq1 7458	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · 𝑋))
6	5	breq2d 5120	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))
7		archirng.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)
8		archirng.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
9		isogrp 20389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
10	9	simprbi 503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
11		omndtos 20392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
12	8, 10, 11	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Toset)
13		ogrpgrp 20390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
14	8, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
15		archirng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
16		archirng.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
17	15, 16	grpidcl 19226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
18	14, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
19		archirng.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
20		archirng.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
21		archirng.i	. . . . . . 7 ⊢ < = (lt‘𝑊)
22	15, 20, 21	tltnle 18644	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ 0 ))
23	12, 18, 19, 22	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ 0 ))
24	7, 23	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ≤ 0 )
25		archirng.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
26		archirng.x	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑊)
27	15, 16, 26	mulg0 19334	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = 0 )
28	25, 27	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑋) = 0 )
29	28	breq2d 5120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ≤ (0 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ 0 ))
30	24, 29	mtbird 328	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ≤ (0 · 𝑋))
31	25, 19	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
32		omndmnd 20391	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Mnd)
33	8, 10, 32	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
34		archirng.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
35	15, 16, 26, 20, 21	isarchi2 33845	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥))))
36	35	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑊 ∈ Mnd) ∧ 𝑊 ∈ Archi) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)))
37	12, 33, 34, 36	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)))
38		archirng.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
39		breq2 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ( 0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑋))
40		oveq2 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 𝑋))
41	40	breq2d 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥) ↔ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
42	41	rexbidv 3190	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
43	39, 42	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋))))
44		breq1 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
45	44	rexbidv 3190	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋)))
46	45	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑋)) ↔ ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋))))
47	43, 46	rspc2v 3590	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 ≤ (𝑚 · 𝑥)) → ( 0 < 𝑋 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋))))
48	31, 37, 38, 47	syl3c 67	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑌 ≤ (𝑚 · 𝑋))
49	2, 4, 6, 30, 48	nn0min 33508	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))
50	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Toset)
51	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Grp)
52		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
53	52	nn0zd 12758	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
54	25	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
55	15, 26	mulgcl 19351	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
56	51, 53, 54, 55	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
57	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
58	15, 20, 21	tltnle 18644	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋)))
59	50, 56, 57, 58	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ↔ ¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋)))
60	59	anbi1d 643	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)) ↔ (¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋))))
61	60	rexbidva 3188	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (¬ 𝑌 ≤ (𝑛 · 𝑋) ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋))))
62	49, 61	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑛 · 𝑋) < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ ((𝑛 + 1) · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  Basecbs 17431  lecple 17479  0_gc0g 17660  ltcplt 18532  Tosetctos 18638  Mndcmnd 18973  Grpcgrp 19194  ._gcmg 19327  oMndcomnd 20384  oGrpcogrp 20385  Archicarchi 33837

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-seq 14185  df-0g 17662  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-toset 18639  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-mulg 19328  df-omnd 20386  df-ogrp 20387  df-inftm 33838  df-archi 33839

This theorem is used by:  archirngz  33849  archiabllem1a  33851