Theorem oppgplusfval 19314

Description: Value of the addition operation of an opposite group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgval.2	⊢ + = (+g‘𝑅)
oppgval.3	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppgplusfval.4	⊢ ✚ = (+g‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oppgplusfval	⊢ ✚ = tpos +

Proof of Theorem oppgplusfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgplusfval.4	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝑂)
2		oppgval.2	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		oppgval.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
4	2, 3	oppgval 19313	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)
5	4	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩))
6	2	fvexi 6848	. . . . . 6 ⊢ + ∈ V
7	6	tposex 8203	. . . . 5 ⊢ tpos + ∈ V
8		plusgid 17238	. . . . . 6 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
9	8	setsid 17168	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ tpos + ∈ V) → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
10	7, 9	mpan2 692	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
11	5, 10	eqtr4id 2791	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (+g‘𝑂) = tpos + )
12		tpos0 8199	. . . . 5 ⊢ tpos ∅ = ∅
13	8	str0 17150	. . . . 5 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
14	12, 13	eqtr2i 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘∅) = tpos ∅
15		reldmsets 17126	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom sSet
16	15	ovprc1 7399	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩) = ∅)
17	4, 16	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
18	17	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑂) = (+g‘∅))
19		fvprc 6826	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑅) = ∅)
20	2, 19	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → + = ∅)
21	20	tposeqd 8172	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → tpos + = tpos ∅)
22	14, 18, 21	3eqtr4a 2798	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑂) = tpos + )
23	11, 22	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (+g‘𝑂) = tpos +
24	1, 23	eqtri 2760	1 ⊢ ✚ = tpos +

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274  ⟨cop 4574  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  tpos ctpos 8168   sSet csts 17124  ndxcnx 17154  +_gcplusg 17211  opp_gcoppg 19311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-1cn 11087  ax-addcl 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-plusg 17224  df-oppg 19312

This theorem is referenced by:  oppgplus  19315  oppgoppcco  50078