MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgplusfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgplusfval 19378
Description: Value of the addition operation of an opposite group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgval.2 + = (+g𝑅)
oppgval.3 𝑂 = (oppg𝑅)
oppgplusfval.4 = (+g𝑂)
Assertion
Ref Expression
oppgplusfval = tpos +

Proof of Theorem oppgplusfval
StepHypRef Expression
1 oppgplusfval.4 . 2 = (+g𝑂)
2 oppgval.2 . . . . . 6 + = (+g𝑅)
3 oppgval.3 . . . . . 6 𝑂 = (oppg𝑅)
42, 3oppgval 19377 . . . . 5 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)
54fveq2i 6909 . . . 4 (+g𝑂) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩))
62fvexi 6920 . . . . . 6 + ∈ V
76tposex 8283 . . . . 5 tpos + ∈ V
8 plusgid 17324 . . . . . 6 +g = Slot (+g‘ndx)
98setsid 17241 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ tpos + ∈ V) → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
107, 9mpan2 691 . . . 4 (𝑅 ∈ V → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
115, 10eqtr4id 2793 . . 3 (𝑅 ∈ V → (+g𝑂) = tpos + )
12 tpos0 8279 . . . . 5 tpos ∅ = ∅
138str0 17222 . . . . 5 ∅ = (+g‘∅)
1412, 13eqtr2i 2763 . . . 4 (+g‘∅) = tpos ∅
15 reldmsets 17198 . . . . . . 7 Rel dom sSet
1615ovprc1 7469 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩) = ∅)
174, 16eqtrid 2786 . . . . 5 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
1817fveq2d 6910 . . . 4 𝑅 ∈ V → (+g𝑂) = (+g‘∅))
19 fvprc 6898 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (+g𝑅) = ∅)
202, 19eqtrid 2786 . . . . 5 𝑅 ∈ V → + = ∅)
2120tposeqd 8252 . . . 4 𝑅 ∈ V → tpos + = tpos ∅)
2214, 18, 213eqtr4a 2800 . . 3 𝑅 ∈ V → (+g𝑂) = tpos + )
2311, 22pm2.61i 182 . 2 (+g𝑂) = tpos +
241, 23eqtri 2762 1 = tpos +
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  c0 4338  cop 4636  cfv 6562  (class class class)co 7430  tpos ctpos 8248   sSet csts 17196  ndxcnx 17226  +gcplusg 17297  oppgcoppg 19375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-1cn 11210  ax-addcl 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-nn 12264  df-2 12326  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-plusg 17310  df-oppg 19376
This theorem is referenced by:  oppgplus  19379  oppgoppcco  48899
  Copyright terms: Public domain W3C validator