MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgplusfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgplusfval 18090
Description: Value of the addition operation of an opposite group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgval.2 + = (+g𝑅)
oppgval.3 𝑂 = (oppg𝑅)
oppgplusfval.4 = (+g𝑂)
Assertion
Ref Expression
oppgplusfval = tpos +

Proof of Theorem oppgplusfval
StepHypRef Expression
1 oppgplusfval.4 . 2 = (+g𝑂)
2 oppgval.2 . . . . . . 7 + = (+g𝑅)
32fvexi 6425 . . . . . 6 + ∈ V
43tposex 7624 . . . . 5 tpos + ∈ V
5 plusgid 16298 . . . . . 6 +g = Slot (+g‘ndx)
65setsid 16239 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ tpos + ∈ V) → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
74, 6mpan2 683 . . . 4 (𝑅 ∈ V → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
8 oppgval.3 . . . . . 6 𝑂 = (oppg𝑅)
92, 8oppgval 18089 . . . . 5 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)
109fveq2i 6414 . . . 4 (+g𝑂) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩))
117, 10syl6reqr 2852 . . 3 (𝑅 ∈ V → (+g𝑂) = tpos + )
12 tpos0 7620 . . . . 5 tpos ∅ = ∅
135str0 16236 . . . . 5 ∅ = (+g‘∅)
1412, 13eqtr2i 2822 . . . 4 (+g‘∅) = tpos ∅
15 reldmsets 16212 . . . . . . 7 Rel dom sSet
1615ovprc1 6916 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩) = ∅)
179, 16syl5eq 2845 . . . . 5 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
1817fveq2d 6415 . . . 4 𝑅 ∈ V → (+g𝑂) = (+g‘∅))
19 fvprc 6404 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (+g𝑅) = ∅)
202, 19syl5eq 2845 . . . . 5 𝑅 ∈ V → + = ∅)
2120tposeqd 7593 . . . 4 𝑅 ∈ V → tpos + = tpos ∅)
2214, 18, 213eqtr4a 2859 . . 3 𝑅 ∈ V → (+g𝑂) = tpos + )
2311, 22pm2.61i 177 . 2 (+g𝑂) = tpos +
241, 23eqtri 2821 1 = tpos +
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385  c0 4115  cop 4374  cfv 6101  (class class class)co 6878  tpos ctpos 7589  ndxcnx 16181   sSet csts 16182  +gcplusg 16267  oppgcoppg 18087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-1cn 10282  ax-addcl 10284
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-nn 11313  df-2 11376  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-sets 16191  df-plusg 16280  df-oppg 18088
This theorem is referenced by:  oppgplus  18091
  Copyright terms: Public domain W3C validator