Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgplusfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgplusfval 18454
 Description: Value of the addition operation of an opposite group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgval.2 + = (+g𝑅)
oppgval.3 𝑂 = (oppg𝑅)
oppgplusfval.4 = (+g𝑂)
Assertion
Ref Expression
oppgplusfval = tpos +

Proof of Theorem oppgplusfval
StepHypRef Expression
1 oppgplusfval.4 . 2 = (+g𝑂)
2 oppgval.2 . . . . . . 7 + = (+g𝑅)
32fvexi 6657 . . . . . 6 + ∈ V
43tposex 7901 . . . . 5 tpos + ∈ V
5 plusgid 16574 . . . . . 6 +g = Slot (+g‘ndx)
65setsid 16516 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ tpos + ∈ V) → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
74, 6mpan2 690 . . . 4 (𝑅 ∈ V → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
8 oppgval.3 . . . . . 6 𝑂 = (oppg𝑅)
92, 8oppgval 18453 . . . . 5 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)
109fveq2i 6646 . . . 4 (+g𝑂) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩))
117, 10syl6reqr 2875 . . 3 (𝑅 ∈ V → (+g𝑂) = tpos + )
12 tpos0 7897 . . . . 5 tpos ∅ = ∅
135str0 16513 . . . . 5 ∅ = (+g‘∅)
1412, 13eqtr2i 2845 . . . 4 (+g‘∅) = tpos ∅
15 reldmsets 16489 . . . . . . 7 Rel dom sSet
1615ovprc1 7169 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩) = ∅)
179, 16syl5eq 2868 . . . . 5 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
1817fveq2d 6647 . . . 4 𝑅 ∈ V → (+g𝑂) = (+g‘∅))
19 fvprc 6636 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (+g𝑅) = ∅)
202, 19syl5eq 2868 . . . . 5 𝑅 ∈ V → + = ∅)
2120tposeqd 7870 . . . 4 𝑅 ∈ V → tpos + = tpos ∅)
2214, 18, 213eqtr4a 2882 . . 3 𝑅 ∈ V → (+g𝑂) = tpos + )
2311, 22pm2.61i 185 . 2 (+g𝑂) = tpos +
241, 23eqtri 2844 1 = tpos +
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3471  ∅c0 4266  ⟨cop 4546  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  tpos ctpos 7866  ndxcnx 16458   sSet csts 16459  +gcplusg 16543  oppgcoppg 18451 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-1cn 10572  ax-addcl 10574 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-tpos 7867  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-nn 11616  df-2 11678  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-sets 16468  df-plusg 16556  df-oppg 18452 This theorem is referenced by:  oppgplus  18455
 Copyright terms: Public domain W3C validator