MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgplusfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgplusfval 19344
Description: Value of the addition operation of an opposite group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgval.2 + = (+g𝑅)
oppgval.3 𝑂 = (oppg𝑅)
oppgplusfval.4 = (+g𝑂)
Assertion
Ref Expression
oppgplusfval = tpos +

Proof of Theorem oppgplusfval
StepHypRef Expression
1 oppgplusfval.4 . 2 = (+g𝑂)
2 oppgval.2 . . . . . 6 + = (+g𝑅)
3 oppgval.3 . . . . . 6 𝑂 = (oppg𝑅)
42, 3oppgval 19343 . . . . 5 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)
54fveq2i 6906 . . . 4 (+g𝑂) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩))
62fvexi 6917 . . . . . 6 + ∈ V
76tposex 8277 . . . . 5 tpos + ∈ V
8 plusgid 17295 . . . . . 6 +g = Slot (+g‘ndx)
98setsid 17212 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ tpos + ∈ V) → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
107, 9mpan2 689 . . . 4 (𝑅 ∈ V → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
115, 10eqtr4id 2785 . . 3 (𝑅 ∈ V → (+g𝑂) = tpos + )
12 tpos0 8273 . . . . 5 tpos ∅ = ∅
138str0 17193 . . . . 5 ∅ = (+g‘∅)
1412, 13eqtr2i 2755 . . . 4 (+g‘∅) = tpos ∅
15 reldmsets 17169 . . . . . . 7 Rel dom sSet
1615ovprc1 7465 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩) = ∅)
174, 16eqtrid 2778 . . . . 5 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
1817fveq2d 6907 . . . 4 𝑅 ∈ V → (+g𝑂) = (+g‘∅))
19 fvprc 6895 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (+g𝑅) = ∅)
202, 19eqtrid 2778 . . . . 5 𝑅 ∈ V → + = ∅)
2120tposeqd 8246 . . . 4 𝑅 ∈ V → tpos + = tpos ∅)
2214, 18, 213eqtr4a 2792 . . 3 𝑅 ∈ V → (+g𝑂) = tpos + )
2311, 22pm2.61i 182 . 2 (+g𝑂) = tpos +
241, 23eqtri 2754 1 = tpos +
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  c0 4325  cop 4639  cfv 6556  (class class class)co 7426  tpos ctpos 8242   sSet csts 17167  ndxcnx 17197  +gcplusg 17268  oppgcoppg 19341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-1cn 11218  ax-addcl 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8006  df-tpos 8243  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-plusg 17281  df-oppg 19342
This theorem is referenced by:  oppgplus  19345
  Copyright terms: Public domain W3C validator