Theorem oppgplusfval 19567

Description: Value of the addition operation of an opposite group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgval.2	⊢ + = (+g‘𝑅)
oppgval.3	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppgplusfval.4	⊢ + = (+g‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oppgplusfval	⊢ + = tpos +

Proof of Theorem oppgplusfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgplusfval.4	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑂)
2		oppgval.2	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		oppgval.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
4	2, 3	oppgval 19566	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)
5	4	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩))
6	2	fvexi 6899	. . . . . 6 ⊢ + ∈ V
7	6	tposex 8280	. . . . 5 ⊢ tpos + ∈ V
8		plusgid 17460	. . . . . 6 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
9	8	setsid 17390	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ tpos + ∈ V) → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
10	7, 9	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
11	5, 10	eqtr4id 2814	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (+g‘𝑂) = tpos + )
12		tpos0 8276	. . . . 5 ⊢ tpos ∅ = ∅
13	8	str0 17372	. . . . 5 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
14	12, 13	eqtr2i 2784	. . . 4 ⊢ (+g‘∅) = tpos ∅
15		reldmsets 17348	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom sSet
16	15	ovprc1 7459	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩) = ∅)
17	4, 16	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
18	17	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑂) = (+g‘∅))
19		fvprc 6877	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑅) = ∅)
20	2, 19	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → + = ∅)
21	20	tposeqd 8249	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → tpos + = tpos ∅)
22	14, 18, 21	3eqtr4a 2821	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑂) = tpos + )
23	11, 22	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (+g‘𝑂) = tpos +
24	1, 23	eqtri 2783	1 ⊢ + = tpos +

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ⟨cop 4834  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  tpos ctpos 8245   sSet csts 17346  ndxcnx 17376  +_gcplusg 17433  opp_gcoppg 19564

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-1cn 11261  ax-addcl 11263

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-tpos 8246  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-nn 12339  df-2 12408  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-plusg 17446  df-oppg 19565

This theorem is used by:  oppgplus  19568  oppgoppcco  50822