MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgplusfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgplusfval 19366
Description: Value of the addition operation of an opposite group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgval.2 + = (+g𝑅)
oppgval.3 𝑂 = (oppg𝑅)
oppgplusfval.4 = (+g𝑂)
Assertion
Ref Expression
oppgplusfval = tpos +

Proof of Theorem oppgplusfval
StepHypRef Expression
1 oppgplusfval.4 . 2 = (+g𝑂)
2 oppgval.2 . . . . . 6 + = (+g𝑅)
3 oppgval.3 . . . . . 6 𝑂 = (oppg𝑅)
42, 3oppgval 19365 . . . . 5 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)
54fveq2i 6909 . . . 4 (+g𝑂) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩))
62fvexi 6920 . . . . . 6 + ∈ V
76tposex 8285 . . . . 5 tpos + ∈ V
8 plusgid 17324 . . . . . 6 +g = Slot (+g‘ndx)
98setsid 17244 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ tpos + ∈ V) → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
107, 9mpan2 691 . . . 4 (𝑅 ∈ V → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
115, 10eqtr4id 2796 . . 3 (𝑅 ∈ V → (+g𝑂) = tpos + )
12 tpos0 8281 . . . . 5 tpos ∅ = ∅
138str0 17226 . . . . 5 ∅ = (+g‘∅)
1412, 13eqtr2i 2766 . . . 4 (+g‘∅) = tpos ∅
15 reldmsets 17202 . . . . . . 7 Rel dom sSet
1615ovprc1 7470 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩) = ∅)
174, 16eqtrid 2789 . . . . 5 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
1817fveq2d 6910 . . . 4 𝑅 ∈ V → (+g𝑂) = (+g‘∅))
19 fvprc 6898 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (+g𝑅) = ∅)
202, 19eqtrid 2789 . . . . 5 𝑅 ∈ V → + = ∅)
2120tposeqd 8254 . . . 4 𝑅 ∈ V → tpos + = tpos ∅)
2214, 18, 213eqtr4a 2803 . . 3 𝑅 ∈ V → (+g𝑂) = tpos + )
2311, 22pm2.61i 182 . 2 (+g𝑂) = tpos +
241, 23eqtri 2765 1 = tpos +
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  c0 4333  cop 4632  cfv 6561  (class class class)co 7431  tpos ctpos 8250   sSet csts 17200  ndxcnx 17230  +gcplusg 17297  oppgcoppg 19363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-plusg 17310  df-oppg 19364
This theorem is referenced by:  oppgplus  19367  oppgoppcco  49188
  Copyright terms: Public domain W3C validator