MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgplusfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgplusfval 19134
Description: Value of the addition operation of an opposite group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgval.2 + = (+gβ€˜π‘…)
oppgval.3 𝑂 = (oppgβ€˜π‘…)
oppgplusfval.4 ✚ = (+gβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
oppgplusfval ✚ = tpos +

Proof of Theorem oppgplusfval
StepHypRef Expression
1 oppgplusfval.4 . 2 ✚ = (+gβ€˜π‘‚)
2 oppgval.2 . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘…)
3 oppgval.3 . . . . . 6 𝑂 = (oppgβ€˜π‘…)
42, 3oppgval 19133 . . . . 5 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), tpos + ⟩)
54fveq2i 6849 . . . 4 (+gβ€˜π‘‚) = (+gβ€˜(𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), tpos + ⟩))
62fvexi 6860 . . . . . 6 + ∈ V
76tposex 8195 . . . . 5 tpos + ∈ V
8 plusgid 17168 . . . . . 6 +g = Slot (+gβ€˜ndx)
98setsid 17088 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ tpos + ∈ V) β†’ tpos + = (+gβ€˜(𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), tpos + ⟩)))
107, 9mpan2 690 . . . 4 (𝑅 ∈ V β†’ tpos + = (+gβ€˜(𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), tpos + ⟩)))
115, 10eqtr4id 2792 . . 3 (𝑅 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘‚) = tpos + )
12 tpos0 8191 . . . . 5 tpos βˆ… = βˆ…
138str0 17069 . . . . 5 βˆ… = (+gβ€˜βˆ…)
1412, 13eqtr2i 2762 . . . 4 (+gβ€˜βˆ…) = tpos βˆ…
15 reldmsets 17045 . . . . . . 7 Rel dom sSet
1615ovprc1 7400 . . . . . 6 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), tpos + ⟩) = βˆ…)
174, 16eqtrid 2785 . . . . 5 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ 𝑂 = βˆ…)
1817fveq2d 6850 . . . 4 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘‚) = (+gβ€˜βˆ…))
19 fvprc 6838 . . . . . 6 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘…) = βˆ…)
202, 19eqtrid 2785 . . . . 5 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ + = βˆ…)
2120tposeqd 8164 . . . 4 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ tpos + = tpos βˆ…)
2214, 18, 213eqtr4a 2799 . . 3 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘‚) = tpos + )
2311, 22pm2.61i 182 . 2 (+gβ€˜π‘‚) = tpos +
241, 23eqtri 2761 1 ✚ = tpos +
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  βˆ…c0 4286  βŸ¨cop 4596  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  tpos ctpos 8160   sSet csts 17043  ndxcnx 17073  +gcplusg 17141  oppgcoppg 19131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-1cn 11117  ax-addcl 11119
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-plusg 17154  df-oppg 19132
This theorem is referenced by:  oppgplus  19135
  Copyright terms: Public domain W3C validator