Theorem oppgplusfval 19409

Description: Value of the addition operation of an opposite group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgval.2	⊢ + = (+g‘𝑅)
oppgval.3	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppgplusfval.4	⊢ ✚ = (+g‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oppgplusfval	⊢ ✚ = tpos +

Proof of Theorem oppgplusfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgplusfval.4	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝑂)
2		oppgval.2	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3		oppgval.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
4	2, 3	oppgval 19408	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)
5	4	fveq2i 6874	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩))
6	2	fvexi 6885	. . . . . 6 ⊢ + ∈ V
7	6	tposex 8244	. . . . 5 ⊢ tpos + ∈ V
8		plusgid 17327	. . . . . 6 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
9	8	setsid 17257	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ tpos + ∈ V) → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
10	7, 9	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
11	5, 10	eqtr4id 2819	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (+g‘𝑂) = tpos + )
12		tpos0 8240	. . . . 5 ⊢ tpos ∅ = ∅
13	8	str0 17239	. . . . 5 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
14	12, 13	eqtr2i 2789	. . . 4 ⊢ (+g‘∅) = tpos ∅
15		reldmsets 17215	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom sSet
16	15	ovprc1 7439	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩) = ∅)
17	4, 16	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
18	17	fveq2d 6875	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑂) = (+g‘∅))
19		fvprc 6863	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑅) = ∅)
20	2, 19	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → + = ∅)
21	20	tposeqd 8213	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → tpos + = tpos ∅)
22	14, 18, 21	3eqtr4a 2826	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑂) = tpos + )
23	11, 22	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (+g‘𝑂) = tpos +
24	1, 23	eqtri 2788	1 ⊢ ✚ = tpos +

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  ∅c0 4288  ⟨cop 4591  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  tpos ctpos 8209   sSet csts 17213  ndxcnx 17243  +_gcplusg 17300  opp_gcoppg 19406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-1cn 11146  ax-addcl 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-nn 12225  df-2 12294  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-plusg 17313  df-oppg 19407

This theorem is referenced by:  oppgplus  19410  oppgoppcco  50220