Theorem oppgplusfval 18090

Description: Value of the addition operation of an opposite group. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgval.2	⊢ + = (+g‘𝑅)
oppgval.3	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppgplusfval.4	⊢ ✚ = (+g‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oppgplusfval	⊢ ✚ = tpos +

Proof of Theorem oppgplusfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgplusfval.4	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝑂)
2		oppgval.2	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑅)
3	2	fvexi 6425	. . . . . 6 ⊢ + ∈ V
4	3	tposex 7624	. . . . 5 ⊢ tpos + ∈ V
5		plusgid 16298	. . . . . 6 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
6	5	setsid 16239	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ tpos + ∈ V) → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
7	4, 6	mpan2 683	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → tpos + = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)))
8		oppgval.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
9	2, 8	oppgval 18089	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩)
10	9	fveq2i 6414	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩))
11	7, 10	syl6reqr 2852	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (+g‘𝑂) = tpos + )
12		tpos0 7620	. . . . 5 ⊢ tpos ∅ = ∅
13	5	str0 16236	. . . . 5 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
14	12, 13	eqtr2i 2822	. . . 4 ⊢ (+g‘∅) = tpos ∅
15		reldmsets 16212	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom sSet
16	15	ovprc1 6916	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos + ⟩) = ∅)
17	9, 16	syl5eq 2845	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
18	17	fveq2d 6415	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑂) = (+g‘∅))
19		fvprc 6404	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑅) = ∅)
20	2, 19	syl5eq 2845	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → + = ∅)
21	20	tposeqd 7593	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → tpos + = tpos ∅)
22	14, 18, 21	3eqtr4a 2859	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑂) = tpos + )
23	11, 22	pm2.61i 177	. 2 ⊢ (+g‘𝑂) = tpos +
24	1, 23	eqtri 2821	1 ⊢ ✚ = tpos +

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3385  ∅c0 4115  ⟨cop 4374  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  tpos ctpos 7589  ndxcnx 16181   sSet csts 16182  +_gcplusg 16267  opp_gcoppg 18087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-1cn 10282  ax-addcl 10284

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-nn 11313  df-2 11376  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-sets 16191  df-plusg 16280  df-oppg 18088

This theorem is referenced by:  oppgplus  18091