MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppchomfvalOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppchomfvalOLD 17602
Description: Obsolete proof of oppchomfval 17601 as of 14-Oct-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
oppchom.h 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
oppchom.o 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
oppchomfvalOLD tpos 𝐻 = (Hom β€˜π‘‚)

Proof of Theorem oppchomfvalOLD
Dummy variables 𝑧 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 homid 17300 . . . 4 Hom = Slot (Hom β€˜ndx)
2 1nn0 12436 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•0
3 4nn 12243 . . . . . . . 8 4 ∈ β„•
42, 3decnncl 12645 . . . . . . 7 14 ∈ β„•
54nnrei 12169 . . . . . 6 14 ∈ ℝ
6 4nn0 12439 . . . . . . 7 4 ∈ β„•0
7 5nn 12246 . . . . . . 7 5 ∈ β„•
8 4lt5 12337 . . . . . . 7 4 < 5
92, 6, 7, 8declt 12653 . . . . . 6 14 < 15
105, 9ltneii 11275 . . . . 5 14 β‰  15
11 homndx 17299 . . . . . 6 (Hom β€˜ndx) = 14
12 ccondx 17301 . . . . . 6 (compβ€˜ndx) = 15
1311, 12neeq12i 3011 . . . . 5 ((Hom β€˜ndx) β‰  (compβ€˜ndx) ↔ 14 β‰  15)
1410, 13mpbir 230 . . . 4 (Hom β€˜ndx) β‰  (compβ€˜ndx)
151, 14setsnid 17088 . . 3 (Hom β€˜(𝐢 sSet ⟨(Hom β€˜ndx), tpos 𝐻⟩)) = (Hom β€˜((𝐢 sSet ⟨(Hom β€˜ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(compβ€˜ndx), (𝑒 ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)), 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ tpos (βŸ¨π‘§, (2nd β€˜π‘’)⟩(compβ€˜πΆ)(1st β€˜π‘’)))⟩))
16 oppchom.h . . . . . 6 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
1716fvexi 6861 . . . . 5 𝐻 ∈ V
1817tposex 8196 . . . 4 tpos 𝐻 ∈ V
191setsid 17087 . . . 4 ((𝐢 ∈ V ∧ tpos 𝐻 ∈ V) β†’ tpos 𝐻 = (Hom β€˜(𝐢 sSet ⟨(Hom β€˜ndx), tpos 𝐻⟩)))
2018, 19mpan2 690 . . 3 (𝐢 ∈ V β†’ tpos 𝐻 = (Hom β€˜(𝐢 sSet ⟨(Hom β€˜ndx), tpos 𝐻⟩)))
21 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
22 eqid 2737 . . . . 5 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
23 oppchom.o . . . . 5 𝑂 = (oppCatβ€˜πΆ)
2421, 16, 22, 23oppcval 17600 . . . 4 (𝐢 ∈ V β†’ 𝑂 = ((𝐢 sSet ⟨(Hom β€˜ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(compβ€˜ndx), (𝑒 ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)), 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ tpos (βŸ¨π‘§, (2nd β€˜π‘’)⟩(compβ€˜πΆ)(1st β€˜π‘’)))⟩))
2524fveq2d 6851 . . 3 (𝐢 ∈ V β†’ (Hom β€˜π‘‚) = (Hom β€˜((𝐢 sSet ⟨(Hom β€˜ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(compβ€˜ndx), (𝑒 ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)), 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ tpos (βŸ¨π‘§, (2nd β€˜π‘’)⟩(compβ€˜πΆ)(1st β€˜π‘’)))⟩)))
2615, 20, 253eqtr4a 2803 . 2 (𝐢 ∈ V β†’ tpos 𝐻 = (Hom β€˜π‘‚))
27 tpos0 8192 . . 3 tpos βˆ… = βˆ…
28 fvprc 6839 . . . . 5 (Β¬ 𝐢 ∈ V β†’ (Hom β€˜πΆ) = βˆ…)
2916, 28eqtrid 2789 . . . 4 (Β¬ 𝐢 ∈ V β†’ 𝐻 = βˆ…)
3029tposeqd 8165 . . 3 (Β¬ 𝐢 ∈ V β†’ tpos 𝐻 = tpos βˆ…)
31 fvprc 6839 . . . . . 6 (Β¬ 𝐢 ∈ V β†’ (oppCatβ€˜πΆ) = βˆ…)
3223, 31eqtrid 2789 . . . . 5 (Β¬ 𝐢 ∈ V β†’ 𝑂 = βˆ…)
3332fveq2d 6851 . . . 4 (Β¬ 𝐢 ∈ V β†’ (Hom β€˜π‘‚) = (Hom β€˜βˆ…))
34 df-hom 17164 . . . . 5 Hom = Slot 14
3534str0 17068 . . . 4 βˆ… = (Hom β€˜βˆ…)
3633, 35eqtr4di 2795 . . 3 (Β¬ 𝐢 ∈ V β†’ (Hom β€˜π‘‚) = βˆ…)
3727, 30, 363eqtr4a 2803 . 2 (Β¬ 𝐢 ∈ V β†’ tpos 𝐻 = (Hom β€˜π‘‚))
3826, 37pm2.61i 182 1 tpos 𝐻 = (Hom β€˜π‘‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3448  βˆ…c0 4287  βŸ¨cop 4597   Γ— cxp 5636  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  tpos ctpos 8161  1c1 11059  4c4 12217  5c5 12218  cdc 12625   sSet csts 17042  ndxcnx 17072  Basecbs 17090  Hom chom 17151  compcco 17152  oppCatcoppc 17598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-dec 12626  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-hom 17164  df-cco 17165  df-oppc 17599
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator