Theorem oppchomfvalOLD 17659

Description: Obsolete proof of oppchomfval 17658 as of 14-Oct-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppchom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
oppchom.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppchomfvalOLD	⊢ tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)

Proof of Theorem oppchomfvalOLD

Dummy variables 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		homid 17357	. . . 4 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
2		1nn0 12488	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		4nn 12295	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 12697	. . . . . . 7 ⊢ ;14 ∈ ℕ
5	4	nnrei 12221	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℝ
6		4nn0 12491	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
7		5nn 12298	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
8		4lt5 12389	. . . . . . 7 ⊢ 4 < 5
9	2, 6, 7, 8	declt 12705	. . . . . 6 ⊢ ;14 < ;15
10	5, 9	ltneii 11327	. . . . 5 ⊢ ;14 ≠ ;15
11		homndx 17356	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
12		ccondx 17358	. . . . . 6 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
13	11, 12	neeq12i 3008	. . . . 5 ⊢ ((Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;14 ≠ ;15)
14	10, 13	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
15	1, 14	setsnid 17142	. . 3 ⊢ (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
16		oppchom.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
17	16	fvexi 6906	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ V
18	17	tposex 8245	. . . 4 ⊢ tpos 𝐻 ∈ V
19	1	setsid 17141	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ tpos 𝐻 ∈ V) → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
20	18, 19	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
21		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
22		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
23		oppchom.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
24	21, 16, 22, 23	oppcval 17657	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝑂 = ((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
25	24	fveq2d 6896	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩)))
26	15, 20, 25	3eqtr4a 2799	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
27		tpos0 8241	. . 3 ⊢ tpos ∅ = ∅
28		fvprc 6884	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝐶) = ∅)
29	16, 28	eqtrid 2785	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝐻 = ∅)
30	29	tposeqd 8214	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = tpos ∅)
31		fvprc 6884	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (oppCat‘𝐶) = ∅)
32	23, 31	eqtrid 2785	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝑂 = ∅)
33	32	fveq2d 6896	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘∅))
34		df-hom 17221	. . . . 5 ⊢ Hom = Slot ;14
35	34	str0 17122	. . . 4 ⊢ ∅ = (Hom ‘∅)
36	33, 35	eqtr4di 2791	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = ∅)
37	27, 30, 36	3eqtr4a 2799	. 2 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
38	26, 37	pm2.61i 182	1 ⊢ tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  Vcvv 3475  ∅c0 4323  ⟨cop 4635   × cxp 5675  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  1^st c1st 7973  2^nd c2nd 7974  tpos ctpos 8210  1c1 11111  4c4 12269  5c5 12270  ;cdc 12677   sSet csts 17096  ndxcnx 17126  Basecbs 17144  Hom chom 17208  compcco 17209  oppCatcoppc 17655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-dec 12678  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-hom 17221  df-cco 17222  df-oppc 17656

This theorem is referenced by: (None)