Theorem oppchomfvalOLD 17686

Description: Obsolete proof of oppchomfval 17685 as of 14-Oct-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppchom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
oppchom.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppchomfvalOLD	⊢ tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)

Proof of Theorem oppchomfvalOLD

Dummy variables 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		homid 17384	. . . 4 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
2		1nn0 12510	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		4nn 12317	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 12719	. . . . . . 7 ⊢ ;14 ∈ ℕ
5	4	nnrei 12243	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℝ
6		4nn0 12513	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
7		5nn 12320	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
8		4lt5 12411	. . . . . . 7 ⊢ 4 < 5
9	2, 6, 7, 8	declt 12727	. . . . . 6 ⊢ ;14 < ;15
10	5, 9	ltneii 11349	. . . . 5 ⊢ ;14 ≠ ;15
11		homndx 17383	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
12		ccondx 17385	. . . . . 6 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
13	11, 12	neeq12i 3002	. . . . 5 ⊢ ((Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;14 ≠ ;15)
14	10, 13	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
15	1, 14	setsnid 17169	. . 3 ⊢ (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
16		oppchom.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
17	16	fvexi 6905	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ V
18	17	tposex 8259	. . . 4 ⊢ tpos 𝐻 ∈ V
19	1	setsid 17168	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ tpos 𝐻 ∈ V) → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
20	18, 19	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
21		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
22		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
23		oppchom.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
24	21, 16, 22, 23	oppcval 17684	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝑂 = ((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
25	24	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩)))
26	15, 20, 25	3eqtr4a 2793	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
27		tpos0 8255	. . 3 ⊢ tpos ∅ = ∅
28		fvprc 6883	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝐶) = ∅)
29	16, 28	eqtrid 2779	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝐻 = ∅)
30	29	tposeqd 8228	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = tpos ∅)
31		fvprc 6883	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (oppCat‘𝐶) = ∅)
32	23, 31	eqtrid 2779	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝑂 = ∅)
33	32	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘∅))
34		df-hom 17248	. . . . 5 ⊢ Hom = Slot ;14
35	34	str0 17149	. . . 4 ⊢ ∅ = (Hom ‘∅)
36	33, 35	eqtr4di 2785	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = ∅)
37	27, 30, 36	3eqtr4a 2793	. 2 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
38	26, 37	pm2.61i 182	1 ⊢ tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  Vcvv 3469  ∅c0 4318  ⟨cop 4630   × cxp 5670  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  1^st c1st 7985  2^nd c2nd 7986  tpos ctpos 8224  1c1 11131  4c4 12291  5c5 12292  ;cdc 12699   sSet csts 17123  ndxcnx 17153  Basecbs 17171  Hom chom 17235  compcco 17236  oppCatcoppc 17682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-dec 12700  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-hom 17248  df-cco 17249  df-oppc 17683

This theorem is referenced by: (None)