Theorem oppchomfval 16582

Description: Hom-sets of the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppchom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
oppchom.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppchomfval	⊢ tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)

Proof of Theorem oppchomfval

Dummy variables 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		homid 16284	. . . 4 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
2		1nn0 11511	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		4nn 11390	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 11721	. . . . . . 7 ⊢ ;14 ∈ ℕ
5	4	nnrei 11232	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℝ
6		4nn0 11514	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
7		5nn 11391	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
8		4lt5 11403	. . . . . . 7 ⊢ 4 < 5
9	2, 6, 7, 8	declt 11733	. . . . . 6 ⊢ ;14 < ;15
10	5, 9	ltneii 10353	. . . . 5 ⊢ ;14 ≠ ;15
11		homndx 16283	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
12		ccondx 16285	. . . . . 6 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
13	11, 12	neeq12i 3009	. . . . 5 ⊢ ((Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;14 ≠ ;15)
14	10, 13	mpbir 221	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
15	1, 14	setsnid 16123	. . 3 ⊢ (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
16		oppchom.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
17		fvex 6343	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘𝐶) ∈ V
18	16, 17	eqeltri 2846	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ V
19	18	tposex 7539	. . . 4 ⊢ tpos 𝐻 ∈ V
20	1	setsid 16122	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ tpos 𝐻 ∈ V) → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
21	19, 20	mpan2 665	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
22		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
23		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
24		oppchom.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
25	22, 16, 23, 24	oppcval 16581	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝑂 = ((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
26	25	fveq2d 6337	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩)))
27	15, 21, 26	3eqtr4a 2831	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
28		tpos0 7535	. . 3 ⊢ tpos ∅ = ∅
29		fvprc 6327	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝐶) = ∅)
30	16, 29	syl5eq 2817	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝐻 = ∅)
31	30	tposeqd 7508	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = tpos ∅)
32		fvprc 6327	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (oppCat‘𝐶) = ∅)
33	24, 32	syl5eq 2817	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝑂 = ∅)
34	33	fveq2d 6337	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘∅))
35		df-hom 16175	. . . . 5 ⊢ Hom = Slot ;14
36	35	str0 16119	. . . 4 ⊢ ∅ = (Hom ‘∅)
37	34, 36	syl6eqr 2823	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = ∅)
38	28, 31, 37	3eqtr4a 2831	. 2 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
39	27, 38	pm2.61i 176	1 ⊢ tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  Vcvv 3351  ∅c0 4064  ⟨cop 4323   × cxp 5248  ‘cfv 6032  (class class class)co 6794   ↦ cmpt2 6796  1^st c1st 7314  2^nd c2nd 7315  tpos ctpos 7504  1c1 10140  4c4 11275  5c5 11276  ;cdc 11696  ndxcnx 16062   sSet csts 16063  Basecbs 16065  Hom chom 16161  compcco 16162  oppCatcoppc 16579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-tpos 7505  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-dec 11697  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-sets 16072  df-hom 16175  df-cco 16176  df-oppc 16580

This theorem is referenced by:  oppchom  16583