Theorem oppchomfval 17727

Description: Hom-sets of the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppchom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
oppchom.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppchomfval	⊢ tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)

Proof of Theorem oppchomfval

Dummy variables 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		homid 17426	. . . 4 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
2		slotsbhcdif 17429	. . . . 5 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
3	2	simp3i 1138	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
4	1, 3	setsnid 17211	. . 3 ⊢ (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
5		oppchom.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6	5	fvexi 6915	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ V
7	6	tposex 8275	. . . 4 ⊢ tpos 𝐻 ∈ V
8	1	setsid 17210	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ tpos 𝐻 ∈ V) → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
9	7, 8	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
10		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
11		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
12		oppchom.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
13	10, 5, 11, 12	oppcval 17726	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝑂 = ((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
14	13	fveq2d 6905	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩)))
15	4, 9, 14	3eqtr4a 2792	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
16		tpos0 8271	. . 3 ⊢ tpos ∅ = ∅
17		fvprc 6893	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝐶) = ∅)
18	5, 17	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝐻 = ∅)
19	18	tposeqd 8244	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = tpos ∅)
20		fvprc 6893	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (oppCat‘𝐶) = ∅)
21	12, 20	eqtrid 2778	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝑂 = ∅)
22	21	fveq2d 6905	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘∅))
23	1	str0 17191	. . . 4 ⊢ ∅ = (Hom ‘∅)
24	22, 23	eqtr4di 2784	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = ∅)
25	16, 19, 24	3eqtr4a 2792	. 2 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
26	15, 25	pm2.61i 182	1 ⊢ tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  Vcvv 3462  ∅c0 4325  ⟨cop 4639   × cxp 5680  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  1^st c1st 8001  2^nd c2nd 8002  tpos ctpos 8240   sSet csts 17165  ndxcnx 17195  Basecbs 17213  Hom chom 17277  compcco 17278  oppCatcoppc 17724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-hom 17290  df-cco 17291  df-oppc 17725

This theorem is referenced by:  oppchom  17729