MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppchomfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppchomfval 16582
Description: Hom-sets of the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppchom.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
oppchom.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
oppchomfval tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)

Proof of Theorem oppchomfval
Dummy variables 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 homid 16284 . . . 4 Hom = Slot (Hom ‘ndx)
2 1nn0 11511 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
3 4nn 11390 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
42, 3decnncl 11721 . . . . . . 7 14 ∈ ℕ
54nnrei 11232 . . . . . 6 14 ∈ ℝ
6 4nn0 11514 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
7 5nn 11391 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ
8 4lt5 11403 . . . . . . 7 4 < 5
92, 6, 7, 8declt 11733 . . . . . 6 14 < 15
105, 9ltneii 10353 . . . . 5 14 ≠ 15
11 homndx 16283 . . . . . 6 (Hom ‘ndx) = 14
12 ccondx 16285 . . . . . 6 (comp‘ndx) = 15
1311, 12neeq12i 3009 . . . . 5 ((Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ 14 ≠ 15)
1410, 13mpbir 221 . . . 4 (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
151, 14setsnid 16123 . . 3 (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩))
16 oppchom.h . . . . . 6 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
17 fvex 6343 . . . . . 6 (Hom ‘𝐶) ∈ V
1816, 17eqeltri 2846 . . . . 5 𝐻 ∈ V
1918tposex 7539 . . . 4 tpos 𝐻 ∈ V
201setsid 16122 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ tpos 𝐻 ∈ V) → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
2119, 20mpan2 665 . . 3 (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
22 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
23 eqid 2771 . . . . 5 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
24 oppchom.o . . . . 5 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2522, 16, 23, 24oppcval 16581 . . . 4 (𝐶 ∈ V → 𝑂 = ((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩))
2625fveq2d 6337 . . 3 (𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩)))
2715, 21, 263eqtr4a 2831 . 2 (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
28 tpos0 7535 . . 3 tpos ∅ = ∅
29 fvprc 6327 . . . . 5 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝐶) = ∅)
3016, 29syl5eq 2817 . . . 4 𝐶 ∈ V → 𝐻 = ∅)
3130tposeqd 7508 . . 3 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = tpos ∅)
32 fvprc 6327 . . . . . 6 𝐶 ∈ V → (oppCat‘𝐶) = ∅)
3324, 32syl5eq 2817 . . . . 5 𝐶 ∈ V → 𝑂 = ∅)
3433fveq2d 6337 . . . 4 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘∅))
35 df-hom 16175 . . . . 5 Hom = Slot 14
3635str0 16119 . . . 4 ∅ = (Hom ‘∅)
3734, 36syl6eqr 2823 . . 3 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = ∅)
3828, 31, 373eqtr4a 2831 . 2 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
3927, 38pm2.61i 176 1 tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  c0 4064  cop 4323   × cxp 5248  cfv 6032  (class class class)co 6794  cmpt2 6796  1st c1st 7314  2nd c2nd 7315  tpos ctpos 7504  1c1 10140  4c4 11275  5c5 11276  cdc 11696  ndxcnx 16062   sSet csts 16063  Basecbs 16065  Hom chom 16161  compcco 16162  oppCatcoppc 16579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-tpos 7505  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-dec 11697  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-sets 16072  df-hom 16175  df-cco 16176  df-oppc 16580
This theorem is referenced by:  oppchom  16583
  Copyright terms: Public domain W3C validator