MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppchomfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppchomfval 17727
Description: Hom-sets of the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
oppchom.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
oppchom.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
oppchomfval tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)

Proof of Theorem oppchomfval
Dummy variables 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 homid 17426 . . . 4 Hom = Slot (Hom ‘ndx)
2 slotsbhcdif 17429 . . . . 5 ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
32simp3i 1138 . . . 4 (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
41, 3setsnid 17211 . . 3 (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩))
5 oppchom.h . . . . . 6 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
65fvexi 6915 . . . . 5 𝐻 ∈ V
76tposex 8275 . . . 4 tpos 𝐻 ∈ V
81setsid 17210 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ tpos 𝐻 ∈ V) → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
97, 8mpan2 689 . . 3 (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
10 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
11 eqid 2726 . . . . 5 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
12 oppchom.o . . . . 5 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
1310, 5, 11, 12oppcval 17726 . . . 4 (𝐶 ∈ V → 𝑂 = ((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩))
1413fveq2d 6905 . . 3 (𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩)))
154, 9, 143eqtr4a 2792 . 2 (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
16 tpos0 8271 . . 3 tpos ∅ = ∅
17 fvprc 6893 . . . . 5 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝐶) = ∅)
185, 17eqtrid 2778 . . . 4 𝐶 ∈ V → 𝐻 = ∅)
1918tposeqd 8244 . . 3 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = tpos ∅)
20 fvprc 6893 . . . . . 6 𝐶 ∈ V → (oppCat‘𝐶) = ∅)
2112, 20eqtrid 2778 . . . . 5 𝐶 ∈ V → 𝑂 = ∅)
2221fveq2d 6905 . . . 4 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘∅))
231str0 17191 . . . 4 ∅ = (Hom ‘∅)
2422, 23eqtr4di 2784 . . 3 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = ∅)
2516, 19, 243eqtr4a 2792 . 2 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
2615, 25pm2.61i 182 1 tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  Vcvv 3462  c0 4325  cop 4639   × cxp 5680  cfv 6554  (class class class)co 7424  cmpo 7426  1st c1st 8001  2nd c2nd 8002  tpos ctpos 8240   sSet csts 17165  ndxcnx 17195  Basecbs 17213  Hom chom 17277  compcco 17278  oppCatcoppc 17724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-hom 17290  df-cco 17291  df-oppc 17725
This theorem is referenced by:  oppchom  17729
  Copyright terms: Public domain W3C validator