Theorem oppchomfval 17769

Description: Hom-sets of the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppchom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
oppchom.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppchomfval	⊢ tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)

Proof of Theorem oppchomfval

Dummy variables 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		homid 17464	. . . 4 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
2		slotsbhcdif 17467	. . . . 5 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
3	2	simp3i 1157	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
4	1, 3	setsnid 17267	. . 3 ⊢ (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
5		oppchom.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6	5	fvexi 6896	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ V
7	6	tposex 8255	. . . 4 ⊢ tpos 𝐻 ∈ V
8	1	setsid 17266	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ tpos 𝐻 ∈ V) → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
9	7, 8	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
10		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
11		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
12		oppchom.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
13	10, 5, 11, 12	oppcval 17768	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝑂 = ((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
14	13	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩)))
15	4, 9, 14	3eqtr4a 2830	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
16		tpos0 8251	. . 3 ⊢ tpos ∅ = ∅
17		fvprc 6874	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝐶) = ∅)
18	5, 17	eqtrid 2816	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝐻 = ∅)
19	18	tposeqd 8224	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = tpos ∅)
20		fvprc 6874	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (oppCat‘𝐶) = ∅)
21	12, 20	eqtrid 2816	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝑂 = ∅)
22	21	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘∅))
23	1	str0 17248	. . . 4 ⊢ ∅ = (Hom ‘∅)
24	22, 23	eqtr4di 2822	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = ∅)
25	16, 19, 24	3eqtr4a 2830	. 2 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
26	15, 25	pm2.61i 184	1 ⊢ tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463  ∅c0 4294  ⟨cop 4600   × cxp 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1^st c1st 7983  2^nd c2nd 7984  tpos ctpos 8220   sSet csts 17222  ndxcnx 17252  Basecbs 17268  Hom chom 17320  compcco 17321  oppCatcoppc 17766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-hom 17333  df-cco 17334  df-oppc 17767

This theorem is referenced by:  oppchom  17770