Theorem oppchomfval 17671

Description: Hom-sets of the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppchom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
oppchom.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
oppchomfval	⊢ tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)

Proof of Theorem oppchomfval

Dummy variables 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		homid 17366	. . . 4 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
2		slotsbhcdif 17369	. . . . 5 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
3	2	simp3i 1147	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
4	1, 3	setsnid 17169	. . 3 ⊢ (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
5		oppchom.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6	5	fvexi 6841	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ V
7	6	tposex 8200	. . . 4 ⊢ tpos 𝐻 ∈ V
8	1	setsid 17168	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ tpos 𝐻 ∈ V) → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
9	7, 8	mpan2 697	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩)))
10		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
11		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
12		oppchom.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
13	10, 5, 11, 12	oppcval 17670	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ V → 𝑂 = ((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩))
14	13	fveq2d 6831	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos 𝐻⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd ‘𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st ‘𝑢)))⟩)))
15	4, 9, 14	3eqtr4a 2800	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
16		tpos0 8196	. . 3 ⊢ tpos ∅ = ∅
17		fvprc 6819	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝐶) = ∅)
18	5, 17	eqtrid 2786	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝐻 = ∅)
19	18	tposeqd 8169	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = tpos ∅)
20		fvprc 6819	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (oppCat‘𝐶) = ∅)
21	12, 20	eqtrid 2786	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → 𝑂 = ∅)
22	21	fveq2d 6831	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘∅))
23	1	str0 17150	. . . 4 ⊢ ∅ = (Hom ‘∅)
24	22, 23	eqtr4di 2792	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (Hom ‘𝑂) = ∅)
25	16, 19, 24	3eqtr4a 2800	. 2 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂))
26	15, 25	pm2.61i 183	1 ⊢ tpos 𝐻 = (Hom ‘𝑂)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  Vcvv 3431  ∅c0 4261  ⟨cop 4561   × cxp 5616  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  1^st c1st 7929  2^nd c2nd 7930  tpos ctpos 8165   sSet csts 17124  ndxcnx 17154  Basecbs 17170  Hom chom 17222  compcco 17223  oppCatcoppc 17668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-oppc 17669

This theorem is referenced by:  oppchom  17672