MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprmulfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprmulfval 19378
Description: Value of the multiplication operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opprval.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprval.2 · = (.r𝑅)
opprval.3 𝑂 = (oppr𝑅)
opprmulfval.4 = (.r𝑂)
Assertion
Ref Expression
opprmulfval = tpos ·

Proof of Theorem opprmulfval
StepHypRef Expression
1 opprmulfval.4 . 2 = (.r𝑂)
2 opprval.2 . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
32fvexi 6675 . . . . . 6 · ∈ V
43tposex 7922 . . . . 5 tpos · ∈ V
5 mulrid 16616 . . . . . 6 .r = Slot (.r‘ndx)
65setsid 16538 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ tpos · ∈ V) → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
74, 6mpan2 690 . . . 4 (𝑅 ∈ V → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
8 opprval.1 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 opprval.3 . . . . . 6 𝑂 = (oppr𝑅)
108, 2, 9opprval 19377 . . . . 5 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)
1110fveq2i 6664 . . . 4 (.r𝑂) = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))
127, 11syl6reqr 2878 . . 3 (𝑅 ∈ V → (.r𝑂) = tpos · )
13 tpos0 7918 . . . . 5 tpos ∅ = ∅
145str0 16535 . . . . 5 ∅ = (.r‘∅)
1513, 14eqtr2i 2848 . . . 4 (.r‘∅) = tpos ∅
16 fvprc 6654 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (oppr𝑅) = ∅)
179, 16syl5eq 2871 . . . . 5 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
1817fveq2d 6665 . . . 4 𝑅 ∈ V → (.r𝑂) = (.r‘∅))
19 fvprc 6654 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (.r𝑅) = ∅)
202, 19syl5eq 2871 . . . . 5 𝑅 ∈ V → · = ∅)
2120tposeqd 7891 . . . 4 𝑅 ∈ V → tpos · = tpos ∅)
2215, 18, 213eqtr4a 2885 . . 3 𝑅 ∈ V → (.r𝑂) = tpos · )
2312, 22pm2.61i 185 . 2 (.r𝑂) = tpos ·
241, 23eqtri 2847 1 = tpos ·
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  c0 4276  cop 4556  cfv 6343  (class class class)co 7149  tpos ctpos 7887  ndxcnx 16480   sSet csts 16481  Basecbs 16483  .rcmulr 16566  opprcoppr 19375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-1cn 10593  ax-addcl 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-sets 16490  df-mulr 16579  df-oppr 19376
This theorem is referenced by:  opprmul  19379
  Copyright terms: Public domain W3C validator