Theorem opprmulfval 20353

Description: Value of the multiplication operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
opprval.3	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprmulfval.4	⊢ ∙ = (.r‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
opprmulfval	⊢ ∙ = tpos ·

Proof of Theorem opprmulfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprmulfval.4	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑂)
2		opprval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		opprval.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		opprval.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
5	2, 3, 4	opprval 20352	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)
6	5	fveq2i 6910	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))
7	3	fvexi 6921	. . . . . 6 ⊢ · ∈ V
8	7	tposex 8284	. . . . 5 ⊢ tpos · ∈ V
9		mulridx 17340	. . . . . 6 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
10	9	setsid 17242	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ tpos · ∈ V) → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
11	8, 10	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
12	6, 11	eqtr4id 2794	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = tpos · )
13		tpos0 8280	. . . . 5 ⊢ tpos ∅ = ∅
14	9	str0 17223	. . . . 5 ⊢ ∅ = (.r‘∅)
15	13, 14	eqtr2i 2764	. . . 4 ⊢ (.r‘∅) = tpos ∅
16		fvprc 6899	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (oppr‘𝑅) = ∅)
17	4, 16	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
18	17	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = (.r‘∅))
19		fvprc 6899	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
20	3, 19	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
21	20	tposeqd 8253	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → tpos · = tpos ∅)
22	15, 18, 21	3eqtr4a 2801	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = tpos · )
23	12, 22	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (.r‘𝑂) = tpos ·
24	1, 23	eqtri 2763	1 ⊢ ∙ = tpos ·

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ∅c0 4339  ⟨cop 4637  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  tpos ctpos 8249   sSet csts 17197  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  opp_rcoppr 20350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-mulr 17312  df-oppr 20351

This theorem is referenced by:  opprmul  20354  opprabs  33490