Theorem opprmulfval 19864

Description: Value of the multiplication operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
opprval.3	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprmulfval.4	⊢ ∙ = (.r‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
opprmulfval	⊢ ∙ = tpos ·

Proof of Theorem opprmulfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprmulfval.4	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑂)
2		opprval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		opprval.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		opprval.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
5	2, 3, 4	opprval 19863	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)
6	5	fveq2i 6777	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))
7	3	fvexi 6788	. . . . . 6 ⊢ · ∈ V
8	7	tposex 8076	. . . . 5 ⊢ tpos · ∈ V
9		mulrid 17004	. . . . . 6 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
10	9	setsid 16909	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ tpos · ∈ V) → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
11	8, 10	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
12	6, 11	eqtr4id 2797	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = tpos · )
13		tpos0 8072	. . . . 5 ⊢ tpos ∅ = ∅
14	9	str0 16890	. . . . 5 ⊢ ∅ = (.r‘∅)
15	13, 14	eqtr2i 2767	. . . 4 ⊢ (.r‘∅) = tpos ∅
16		fvprc 6766	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (oppr‘𝑅) = ∅)
17	4, 16	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
18	17	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = (.r‘∅))
19		fvprc 6766	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
20	3, 19	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
21	20	tposeqd 8045	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → tpos · = tpos ∅)
22	15, 18, 21	3eqtr4a 2804	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = tpos · )
23	12, 22	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (.r‘𝑂) = tpos ·
24	1, 23	eqtri 2766	1 ⊢ ∙ = tpos ·

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ∅c0 4256  ⟨cop 4567  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  tpos ctpos 8041   sSet csts 16864  ndxcnx 16894  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  opp_rcoppr 19861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-mulr 16976  df-oppr 19862

This theorem is referenced by:  opprmul  19865