MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprmulfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprmulfval 20059
Description: Value of the multiplication operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opprval.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
opprval.2 Β· = (.rβ€˜π‘…)
opprval.3 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
opprmulfval.4 βˆ™ = (.rβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
opprmulfval βˆ™ = tpos Β·

Proof of Theorem opprmulfval
StepHypRef Expression
1 opprmulfval.4 . 2 βˆ™ = (.rβ€˜π‘‚)
2 opprval.1 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
3 opprval.2 . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
4 opprval.3 . . . . . 6 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
52, 3, 4opprval 20058 . . . . 5 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos Β· ⟩)
65fveq2i 6849 . . . 4 (.rβ€˜π‘‚) = (.rβ€˜(𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos Β· ⟩))
73fvexi 6860 . . . . . 6 Β· ∈ V
87tposex 8195 . . . . 5 tpos Β· ∈ V
9 mulrid 17183 . . . . . 6 .r = Slot (.rβ€˜ndx)
109setsid 17088 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ tpos Β· ∈ V) β†’ tpos Β· = (.rβ€˜(𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos Β· ⟩)))
118, 10mpan2 690 . . . 4 (𝑅 ∈ V β†’ tpos Β· = (.rβ€˜(𝑅 sSet ⟨(.rβ€˜ndx), tpos Β· ⟩)))
126, 11eqtr4id 2792 . . 3 (𝑅 ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘‚) = tpos Β· )
13 tpos0 8191 . . . . 5 tpos βˆ… = βˆ…
149str0 17069 . . . . 5 βˆ… = (.rβ€˜βˆ…)
1513, 14eqtr2i 2762 . . . 4 (.rβ€˜βˆ…) = tpos βˆ…
16 fvprc 6838 . . . . . 6 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (opprβ€˜π‘…) = βˆ…)
174, 16eqtrid 2785 . . . . 5 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ 𝑂 = βˆ…)
1817fveq2d 6850 . . . 4 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘‚) = (.rβ€˜βˆ…))
19 fvprc 6838 . . . . . 6 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘…) = βˆ…)
203, 19eqtrid 2785 . . . . 5 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ Β· = βˆ…)
2120tposeqd 8164 . . . 4 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ tpos Β· = tpos βˆ…)
2215, 18, 213eqtr4a 2799 . . 3 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘‚) = tpos Β· )
2312, 22pm2.61i 182 . 2 (.rβ€˜π‘‚) = tpos Β·
241, 23eqtri 2761 1 βˆ™ = tpos Β·
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  βˆ…c0 4286  βŸ¨cop 4596  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  tpos ctpos 8160   sSet csts 17043  ndxcnx 17073  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  opprcoppr 20056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-1cn 11117  ax-addcl 11119
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-mulr 17155  df-oppr 20057
This theorem is referenced by:  opprmul  20060
  Copyright terms: Public domain W3C validator