Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprmulfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprmulfval 19378
 Description: Value of the multiplication operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opprval.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprval.2 · = (.r𝑅)
opprval.3 𝑂 = (oppr𝑅)
opprmulfval.4 = (.r𝑂)
Assertion
Ref Expression
opprmulfval = tpos ·

Proof of Theorem opprmulfval
StepHypRef Expression
1 opprmulfval.4 . 2 = (.r𝑂)
2 opprval.2 . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
32fvexi 6675 . . . . . 6 · ∈ V
43tposex 7922 . . . . 5 tpos · ∈ V
5 mulrid 16616 . . . . . 6 .r = Slot (.r‘ndx)
65setsid 16538 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ tpos · ∈ V) → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
74, 6mpan2 690 . . . 4 (𝑅 ∈ V → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
8 opprval.1 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 opprval.3 . . . . . 6 𝑂 = (oppr𝑅)
108, 2, 9opprval 19377 . . . . 5 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)
1110fveq2i 6664 . . . 4 (.r𝑂) = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))
127, 11syl6reqr 2878 . . 3 (𝑅 ∈ V → (.r𝑂) = tpos · )
13 tpos0 7918 . . . . 5 tpos ∅ = ∅
145str0 16535 . . . . 5 ∅ = (.r‘∅)
1513, 14eqtr2i 2848 . . . 4 (.r‘∅) = tpos ∅
16 fvprc 6654 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (oppr𝑅) = ∅)
179, 16syl5eq 2871 . . . . 5 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
1817fveq2d 6665 . . . 4 𝑅 ∈ V → (.r𝑂) = (.r‘∅))
19 fvprc 6654 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (.r𝑅) = ∅)
202, 19syl5eq 2871 . . . . 5 𝑅 ∈ V → · = ∅)
2120tposeqd 7891 . . . 4 𝑅 ∈ V → tpos · = tpos ∅)
2215, 18, 213eqtr4a 2885 . . 3 𝑅 ∈ V → (.r𝑂) = tpos · )
2312, 22pm2.61i 185 . 2 (.r𝑂) = tpos ·
241, 23eqtri 2847 1 = tpos ·
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  ∅c0 4276  ⟨cop 4556  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  tpos ctpos 7887  ndxcnx 16480   sSet csts 16481  Basecbs 16483  .rcmulr 16566  opprcoppr 19375 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-1cn 10593  ax-addcl 10595 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-sets 16490  df-mulr 16579  df-oppr 19376 This theorem is referenced by:  opprmul  19379
 Copyright terms: Public domain W3C validator