Theorem opprmulfval 20287

Description: Value of the multiplication operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
opprval.3	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprmulfval.4	⊢ ∙ = (.r‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
opprmulfval	⊢ ∙ = tpos ·

Proof of Theorem opprmulfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprmulfval.4	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑂)
2		opprval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		opprval.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		opprval.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
5	2, 3, 4	opprval 20286	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)
6	5	fveq2i 6845	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))
7	3	fvexi 6856	. . . . . 6 ⊢ · ∈ V
8	7	tposex 8212	. . . . 5 ⊢ tpos · ∈ V
9		mulridx 17227	. . . . . 6 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
10	9	setsid 17146	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ tpos · ∈ V) → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
11	8, 10	mpan2 692	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
12	6, 11	eqtr4id 2791	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = tpos · )
13		tpos0 8208	. . . . 5 ⊢ tpos ∅ = ∅
14	9	str0 17128	. . . . 5 ⊢ ∅ = (.r‘∅)
15	13, 14	eqtr2i 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘∅) = tpos ∅
16		fvprc 6834	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (oppr‘𝑅) = ∅)
17	4, 16	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
18	17	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = (.r‘∅))
19		fvprc 6834	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
20	3, 19	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
21	20	tposeqd 8181	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → tpos · = tpos ∅)
22	15, 18, 21	3eqtr4a 2798	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = tpos · )
23	12, 22	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (.r‘𝑂) = tpos ·
24	1, 23	eqtri 2760	1 ⊢ ∙ = tpos ·

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ∅c0 4287  ⟨cop 4588  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  tpos ctpos 8177   sSet csts 17102  ndxcnx 17132  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  opp_rcoppr 20284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-mulr 17203  df-oppr 20285

This theorem is referenced by:  opprmul  20288  opprabs  33575