Theorem opprmulfval 19779

Description: Value of the multiplication operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
opprval.3	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprmulfval.4	⊢ ∙ = (.r‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
opprmulfval	⊢ ∙ = tpos ·

Proof of Theorem opprmulfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprmulfval.4	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑂)
2		opprval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		opprval.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		opprval.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
5	2, 3, 4	opprval 19778	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)
6	5	fveq2i 6759	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))
7	3	fvexi 6770	. . . . . 6 ⊢ · ∈ V
8	7	tposex 8047	. . . . 5 ⊢ tpos · ∈ V
9		mulrid 16930	. . . . . 6 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
10	9	setsid 16837	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ tpos · ∈ V) → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
11	8, 10	mpan2 687	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
12	6, 11	eqtr4id 2798	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = tpos · )
13		tpos0 8043	. . . . 5 ⊢ tpos ∅ = ∅
14	9	str0 16818	. . . . 5 ⊢ ∅ = (.r‘∅)
15	13, 14	eqtr2i 2767	. . . 4 ⊢ (.r‘∅) = tpos ∅
16		fvprc 6748	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (oppr‘𝑅) = ∅)
17	4, 16	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
18	17	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = (.r‘∅))
19		fvprc 6748	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
20	3, 19	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
21	20	tposeqd 8016	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → tpos · = tpos ∅)
22	15, 18, 21	3eqtr4a 2805	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = tpos · )
23	12, 22	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (.r‘𝑂) = tpos ·
24	1, 23	eqtri 2766	1 ⊢ ∙ = tpos ·

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  tpos ctpos 8012   sSet csts 16792  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  opp_rcoppr 19776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-1cn 10860  ax-addcl 10862

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-mulr 16902  df-oppr 19777

This theorem is referenced by:  opprmul  19780