Theorem opprmulfval 19377

Description: Value of the multiplication operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
opprval.3	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprmulfval.4	⊢ ∙ = (.r‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
opprmulfval	⊢ ∙ = tpos ·

Proof of Theorem opprmulfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprmulfval.4	. 2 ⊢ ∙ = (.r‘𝑂)
2		opprval.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3	2	fvexi 6686	. . . . . 6 ⊢ · ∈ V
4	3	tposex 7928	. . . . 5 ⊢ tpos · ∈ V
5		mulrid 16618	. . . . . 6 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
6	5	setsid 16540	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ tpos · ∈ V) → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
7	4, 6	mpan2 689	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → tpos · = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)))
8		opprval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		opprval.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
10	8, 2, 9	opprval 19376	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)
11	10	fveq2i 6675	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘(𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))
12	7, 11	syl6reqr 2877	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = tpos · )
13		tpos0 7924	. . . . 5 ⊢ tpos ∅ = ∅
14	5	str0 16537	. . . . 5 ⊢ ∅ = (.r‘∅)
15	13, 14	eqtr2i 2847	. . . 4 ⊢ (.r‘∅) = tpos ∅
16		fvprc 6665	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (oppr‘𝑅) = ∅)
17	9, 16	syl5eq 2870	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑂 = ∅)
18	17	fveq2d 6676	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = (.r‘∅))
19		fvprc 6665	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
20	2, 19	syl5eq 2870	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
21	20	tposeqd 7897	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → tpos · = tpos ∅)
22	15, 18, 21	3eqtr4a 2884	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑂) = tpos · )
23	12, 22	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (.r‘𝑂) = tpos ·
24	1, 23	eqtri 2846	1 ⊢ ∙ = tpos ·

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496  ∅c0 4293  ⟨cop 4575  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  tpos ctpos 7893  ndxcnx 16482   sSet csts 16483  Basecbs 16485  ._rcmulr 16568  opp_rcoppr 19374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-1cn 10597  ax-addcl 10599

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-sets 16492  df-mulr 16581  df-oppr 19375

This theorem is referenced by:  opprmul  19378