Theorem trlsonistrl 30273

Description: A trail between two vertices is a trail. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Dec-2017.) (Revised by AV, 7-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
trlsonistrl	⊢ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem trlsonistrl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	trlsonprop 30272	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
3		simp3r 1221	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
4	2, 3	syl 18	1 ⊢ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Vtxcvtx 29556  WalksOncwlkson 30160  Trailsctrls 30255  TrailsOnctrlson 30256

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-trlson 30258

This theorem is used by: (None)