Theorem trlsonwlkon 29865

Description: A trail between two vertices is a walk between these vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
trlsonwlkon	⊢ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃)

Proof of Theorem trlsonwlkon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	trlsonprop 29863	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)))
3		simp3l 1214	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)) → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝐹(𝐴(TrailsOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Vtxcvtx 29154  WalksOncwlkson 29755  Trailsctrls 29846  TrailsOnctrlson 29847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-trlson 29849

This theorem is referenced by:  uhgrwkspth  29912  usgr2wlkspth  29916  wspthneq1eq2  30017  conngrv2edg  30354