Theorem uffix2 22775

Description: A classification of fixed ultrafilters. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uffix2	⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∩ 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem uffix2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 22755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2		filn0 22713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
3		intssuni 4867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ → ∩ 𝐹 ⊆ ∪ 𝐹)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∩ 𝐹 ⊆ ∪ 𝐹)
5		filunibas 22732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)
6	1, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)
7	4, 6	sseqtrd 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∩ 𝐹 ⊆ 𝑋)
8	7	sseld 3886	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 → 𝑥 ∈ 𝑋))
9	8	pm4.71rd 566	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹)))
10		uffixfr 22774	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))
11	10	anbi2d 632	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
12	9, 11	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
13	12	exbidv 1929	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
14		n0 4247	. 2 ⊢ (∩ 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ∩ 𝐹)
15		df-rex 3057	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))
16	13, 14, 15	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∩ 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543  ∃wex 1787   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ∃wrex 3052  {crab 3055   ⊆ wss 3853  ∅c0 4223  𝒫 cpw 4499  ∪ cuni 4805  ∩ cint 4845  ‘cfv 6358  Filcfil 22696  UFilcufil 22750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-fbas 20314  df-fg 20315  df-fil 22697  df-ufil 22752

This theorem is referenced by:  uffinfix  22778