Theorem uffix2 23827

Description: A classification of fixed ultrafilters. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uffix2	⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∩ 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem uffix2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 23807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2		filn0 23765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
3		intssuni 4923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ → ∩ 𝐹 ⊆ ∪ 𝐹)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∩ 𝐹 ⊆ ∪ 𝐹)
5		filunibas 23784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)
6	1, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)
7	4, 6	sseqtrd 3974	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∩ 𝐹 ⊆ 𝑋)
8	7	sseld 3936	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 → 𝑥 ∈ 𝑋))
9	8	pm4.71rd 562	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹)))
10		uffixfr 23826	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))
11	10	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
12	9, 11	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
13	12	exbidv 1921	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
14		n0 4306	. 2 ⊢ (∩ 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ∩ 𝐹)
15		df-rex 3054	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))
16	13, 14, 15	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∩ 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3396   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4553  ∪ cuni 4861  ∩ cint 4899  ‘cfv 6486  Filcfil 23748  UFilcufil 23802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-fil 23749  df-ufil 23804

This theorem is referenced by:  uffinfix  23830