Theorem uffix2 23971

Description: A classification of fixed ultrafilters. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uffix2	⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∩ 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem uffix2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 23951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2		filn0 23909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
3		intssuni 4925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ → ∩ 𝐹 ⊆ ∪ 𝐹)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∩ 𝐹 ⊆ ∪ 𝐹)
5		filunibas 23928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)
6	1, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)
7	4, 6	sseqtrd 3970	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∩ 𝐹 ⊆ 𝑋)
8	7	sseld 3933	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 → 𝑥 ∈ 𝑋))
9	8	pm4.71rd 570	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹)))
10		uffixfr 23970	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))
11	10	anbi2d 639	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
12	9, 11	bitrd 281	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
13	12	exbidv 1940	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
14		n0 4303	. 2 ⊢ (∩ 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ∩ 𝐹)
15		df-rex 3086	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))
16	13, 14, 15	3bitr4g 316	1 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∩ 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085  {crab 3413   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  ∪ cuni 4862  ∩ cint 4902  ‘cfv 6515  Filcfil 23892  UFilcufil 23946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-fbas 21408  df-fg 21409  df-fil 23893  df-ufil 23948

This theorem is referenced by:  uffinfix  23974