Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uffix2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uffix2 22533
 Description: A classification of fixed ultrafilters. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
uffix2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ( 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem uffix2
StepHypRef Expression
1 ufilfil 22513 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2 filn0 22471 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
3 intssuni 4863 . . . . . . . 8 (𝐹 ≠ ∅ → 𝐹 𝐹)
41, 2, 33syl 18 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 𝐹)
5 filunibas 22490 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 = 𝑋)
61, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 = 𝑋)
74, 6sseqtrd 3958 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹𝑋)
87sseld 3917 . . . . 5 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 𝐹𝑥𝑋))
98pm4.71rd 566 . . . 4 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 𝐹 ↔ (𝑥𝑋𝑥 𝐹)))
10 uffixfr 22532 . . . . 5 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 𝐹𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦}))
1110anbi2d 631 . . . 4 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ((𝑥𝑋𝑥 𝐹) ↔ (𝑥𝑋𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦})))
129, 11bitrd 282 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 𝐹 ↔ (𝑥𝑋𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦})))
1312exbidv 1922 . 2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥 𝐹 ↔ ∃𝑥(𝑥𝑋𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦})))
14 n0 4263 . 2 ( 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 𝐹)
15 df-rex 3115 . 2 (∃𝑥𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦} ↔ ∃𝑥(𝑥𝑋𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦}))
1613, 14, 153bitr4g 317 1 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ( 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∃wrex 3110  {crab 3113   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  𝒫 cpw 4500  ∪ cuni 4803  ∩ cint 4841  ‘cfv 6328  Filcfil 22454  UFilcufil 22508 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-fil 22455  df-ufil 22510 This theorem is referenced by:  uffinfix  22536
 Copyright terms: Public domain W3C validator