Theorem uffix2 23748

Description: A classification of fixed ultrafilters. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uffix2	⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∩ 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem uffix2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 23728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2		filn0 23686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
3		intssuni 4974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ → ∩ 𝐹 ⊆ ∪ 𝐹)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∩ 𝐹 ⊆ ∪ 𝐹)
5		filunibas 23705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)
6	1, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)
7	4, 6	sseqtrd 4022	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ∩ 𝐹 ⊆ 𝑋)
8	7	sseld 3981	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 → 𝑥 ∈ 𝑋))
9	8	pm4.71rd 562	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹)))
10		uffixfr 23747	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))
11	10	anbi2d 628	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ∩ 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
12	9, 11	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
13	12	exbidv 1923	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥 ∈ ∩ 𝐹 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})))
14		n0 4346	. 2 ⊢ (∩ 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ∩ 𝐹)
15		df-rex 3070	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦} ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))
16	13, 14, 15	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∩ 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069  {crab 3431   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602  ∪ cuni 4908  ∩ cint 4950  ‘cfv 6543  Filcfil 23669  UFilcufil 23723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-fbas 21230  df-fg 21231  df-fil 23670  df-ufil 23725

This theorem is referenced by:  uffinfix  23751