MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uffix2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uffix2 23932
Description: A classification of fixed ultrafilters. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
uffix2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ( 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem uffix2
StepHypRef Expression
1 ufilfil 23912 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2 filn0 23870 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)
3 intssuni 4970 . . . . . . . 8 (𝐹 ≠ ∅ → 𝐹 𝐹)
41, 2, 33syl 18 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 𝐹)
5 filunibas 23889 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 = 𝑋)
61, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 = 𝑋)
74, 6sseqtrd 4020 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹𝑋)
87sseld 3982 . . . . 5 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 𝐹𝑥𝑋))
98pm4.71rd 562 . . . 4 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 𝐹 ↔ (𝑥𝑋𝑥 𝐹)))
10 uffixfr 23931 . . . . 5 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 𝐹𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦}))
1110anbi2d 630 . . . 4 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ((𝑥𝑋𝑥 𝐹) ↔ (𝑥𝑋𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦})))
129, 11bitrd 279 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (𝑥 𝐹 ↔ (𝑥𝑋𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦})))
1312exbidv 1921 . 2 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥 𝐹 ↔ ∃𝑥(𝑥𝑋𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦})))
14 n0 4353 . 2 ( 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 𝐹)
15 df-rex 3071 . 2 (∃𝑥𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦} ↔ ∃𝑥(𝑥𝑋𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦}))
1613, 14, 153bitr4g 314 1 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ( 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cuni 4907   cint 4946  cfv 6561  Filcfil 23853  UFilcufil 23907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-fil 23854  df-ufil 23909
This theorem is referenced by:  uffinfix  23935
  Copyright terms: Public domain W3C validator