Theorem filn0 24236

Description: The empty set is not a filter. Remark below Definition 1 of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by FL, 30-Oct-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filn0	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)

Proof of Theorem filn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filtop 24229	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
2	1	ne0d 4291	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  ‘cfv 6566  Filcfil 24219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-fbas 21726  df-fil 24220

This theorem is used by:  ufileu  24293  filufint  24294  uffixfr  24297  uffix2  24298  uffixsn  24299  hausflim  24355  fclsval  24382  isfcls  24383  fclsopn  24388  fclsfnflim  24401  filnetlem4  37384