Theorem filn0 23988

Description: The empty set is not a filter. Remark below Definition 1 of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by FL, 30-Oct-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filn0	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)

Proof of Theorem filn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filtop 23981	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
2	1	ne0d 4303	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∅c0 4294  ‘cfv 6537  Filcfil 23971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-fbas 21488  df-fil 23972

This theorem is referenced by:  ufileu  24045  filufint  24046  uffixfr  24049  uffix2  24050  uffixsn  24051  hausflim  24107  fclsval  24134  isfcls  24135  fclsopn  24140  fclsfnflim  24153  filnetlem4  36781