Theorem filn0 23895

Description: The empty set is not a filter. Remark below Definition 1 of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by FL, 30-Oct-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filn0	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)

Proof of Theorem filn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filtop 23888	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
2	1	ne0d 4351	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∅c0 4342  ‘cfv 6569  Filcfil 23878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fv 6577  df-fbas 21388  df-fil 23879

This theorem is referenced by:  ufileu  23952  filufint  23953  uffixfr  23956  uffix2  23957  uffixsn  23958  hausflim  24014  fclsval  24041  isfcls  24042  fclsopn  24047  fclsfnflim  24060  filnetlem4  36376