Theorem filn0 23806

Description: The empty set is not a filter. Remark below Definition 1 of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by FL, 30-Oct-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filn0	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)

Proof of Theorem filn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filtop 23799	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
2	1	ne0d 4294	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∅c0 4285  ‘cfv 6492  Filcfil 23789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-fbas 21306  df-fil 23790

This theorem is referenced by:  ufileu  23863  filufint  23864  uffixfr  23867  uffix2  23868  uffixsn  23869  hausflim  23925  fclsval  23952  isfcls  23953  fclsopn  23958  fclsfnflim  23971  filnetlem4  36575