Theorem uffinfix 24239

Description: An ultrafilter containing a finite element is fixed. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uffinfix	⊢ ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem uffinfix

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ufilfil 24216	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2		filfinnfr 24189	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)
3	1, 2	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∩ 𝐹 ≠ ∅)
4		uffix2 24236	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → (∩ 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))
5	4	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (∩ 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦}))
6	3, 5	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ 𝐹 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝑥 ∈ 𝑦})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  {crab 3413  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  ∩ cint 4907  ‘cfv 6537  Fincfn 8966  Filcfil 24157  UFilcufil 24211

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1o 8469  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-fil 24158  df-ufil 24213

This theorem is used by: (None)