MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uffinfix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uffinfix 23951
Description: An ultrafilter containing a finite element is fixed. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
uffinfix ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → ∃𝑥𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem uffinfix
StepHypRef Expression
1 ufilfil 23928 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2 filfinnfr 23901 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → 𝐹 ≠ ∅)
31, 2syl3an1 1162 . 2 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → 𝐹 ≠ ∅)
4 uffix2 23948 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ( 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦}))
543ad2ant1 1132 . 2 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → ( 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦}))
63, 5mpbid 232 1 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → ∃𝑥𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  {crab 3433  c0 4339  𝒫 cpw 4605   cint 4951  cfv 6563  Fincfn 8984  Filcfil 23869  UFilcufil 23923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-fil 23870  df-ufil 23925
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator