MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uffinfix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uffinfix 22463
Description: An ultrafilter containing a finite element is fixed. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
uffinfix ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → ∃𝑥𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem uffinfix
StepHypRef Expression
1 ufilfil 22440 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2 filfinnfr 22413 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → 𝐹 ≠ ∅)
31, 2syl3an1 1155 . 2 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → 𝐹 ≠ ∅)
4 uffix2 22460 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ( 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦}))
543ad2ant1 1125 . 2 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → ( 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦}))
63, 5mpbid 233 1 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → ∃𝑥𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  {crab 3139  c0 4288  𝒫 cpw 4535   cint 4867  cfv 6348  Fincfn 8497  Filcfil 22381  UFilcufil 22435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-fil 22382  df-ufil 22437
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator