MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uffinfix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uffinfix 23184
Description: An ultrafilter containing a finite element is fixed. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
uffinfix ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → ∃𝑥𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem uffinfix
StepHypRef Expression
1 ufilfil 23161 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2 filfinnfr 23134 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → 𝐹 ≠ ∅)
31, 2syl3an1 1162 . 2 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → 𝐹 ≠ ∅)
4 uffix2 23181 . . 3 (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → ( 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦}))
543ad2ant1 1132 . 2 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → ( 𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦}))
63, 5mpbid 231 1 ((𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑆𝐹𝑆 ∈ Fin) → ∃𝑥𝑋 𝐹 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑦})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wrex 3070  {crab 3403  c0 4269  𝒫 cpw 4547   cint 4894  cfv 6479  Fincfn 8804  Filcfil 23102  UFilcufil 23156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1o 8367  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fbas 20700  df-fg 20701  df-fil 23103  df-ufil 23158
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator