Theorem ufilfil 23824

Description: An ultrafilter is a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ufilfil	⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))

Proof of Theorem ufilfil

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isufil 23823	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ∈ 𝐹 ∨ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝐹)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∖ cdif 3908  𝒫 cpw 4559  ‘cfv 6499  Filcfil 23765  UFilcufil 23819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-ufil 23821

This theorem is referenced by:  ufilb  23826  isufil2  23828  ufprim  23829  trufil  23830  ufileu  23839  filufint  23840  uffixfr  23843  uffix2  23844  uffixsn  23845  uffinfix  23847  cfinufil  23848  ufilen  23850  ufildr  23851  fmufil  23879  ufldom  23882  uffclsflim  23951  ufilcmp  23952  uffcfflf  23959  alexsublem  23964