MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filunibas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filunibas 23605
Description: Recover the base set from a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filunibas (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 = 𝑋)

Proof of Theorem filunibas
StepHypRef Expression
1 filsspw 23575 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
2 sspwuni 5102 . . 3 (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 𝐹𝑋)
31, 2sylib 217 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹𝑋)
4 filtop 23579 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
5 unissel 4941 . 2 (( 𝐹𝑋𝑋𝐹) → 𝐹 = 𝑋)
63, 4, 5syl2anc 582 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2104  wss 3947  𝒫 cpw 4601   cuni 4907  cfv 6542  Filcfil 23569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-fbas 21141  df-fil 23570
This theorem is referenced by:  filunirn  23606  filconn  23607  uffixfr  23647  uffix2  23648  uffixsn  23649  ufildr  23655  flimtopon  23694  flimss1  23697  flffval  23713  fclsval  23732  isfcls  23733  fclstopon  23736  fclsfnflim  23751  fcfval  23757
  Copyright terms: Public domain W3C validator