Theorem filunibas 22732

Description: Recover the base set from a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filunibas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)

Proof of Theorem filunibas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filsspw 22702	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
2		sspwuni 4994	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐹 ⊆ 𝑋)
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 ⊆ 𝑋)
4		filtop 22706	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
5		unissel 4838	. 2 ⊢ ((∪ 𝐹 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → ∪ 𝐹 = 𝑋)
6	3, 4, 5	syl2anc 587	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3853  𝒫 cpw 4499  ∪ cuni 4805  ‘cfv 6358  Filcfil 22696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fv 6366  df-fbas 20314  df-fil 22697

This theorem is referenced by:  filunirn  22733  filconn  22734  uffixfr  22774  uffix2  22775  uffixsn  22776  ufildr  22782  flimtopon  22821  flimss1  22824  flffval  22840  fclsval  22859  isfcls  22860  fclstopon  22863  fclsfnflim  22878  fcfval  22884