Theorem filunibas 23824

Description: Recover the base set from a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filunibas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)

Proof of Theorem filunibas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filsspw 23794	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
2		sspwuni 5043	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐹 ⊆ 𝑋)
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 ⊆ 𝑋)
4		filtop 23798	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
5		unissel 4883	. 2 ⊢ ((∪ 𝐹 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → ∪ 𝐹 = 𝑋)
6	3, 4, 5	syl2anc 585	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4851  ‘cfv 6490  Filcfil 23788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-fbas 21308  df-fil 23789

This theorem is referenced by:  filunirn  23825  filconn  23826  uffixfr  23866  uffix2  23867  uffixsn  23868  ufildr  23874  flimtopon  23913  flimss1  23916  flffval  23932  fclsval  23951  isfcls  23952  fclstopon  23955  fclsfnflim  23970  fcfval  23976