MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filunibas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filunibas 23314
Description: Recover the base set from a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filunibas (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 = 𝑋)

Proof of Theorem filunibas
StepHypRef Expression
1 filsspw 23284 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
2 sspwuni 5096 . . 3 (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 𝐹𝑋)
31, 2sylib 217 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹𝑋)
4 filtop 23288 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
5 unissel 4935 . 2 (( 𝐹𝑋𝑋𝐹) → 𝐹 = 𝑋)
63, 4, 5syl2anc 584 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3944  𝒫 cpw 4596   cuni 4901  cfv 6532  Filcfil 23278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fv 6540  df-fbas 20875  df-fil 23279
This theorem is referenced by:  filunirn  23315  filconn  23316  uffixfr  23356  uffix2  23357  uffixsn  23358  ufildr  23364  flimtopon  23403  flimss1  23406  flffval  23422  fclsval  23441  isfcls  23442  fclstopon  23445  fclsfnflim  23460  fcfval  23466
  Copyright terms: Public domain W3C validator