Theorem filunibas 23829

Description: Recover the base set from a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filunibas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)

Proof of Theorem filunibas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filsspw 23799	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
2		sspwuni 5056	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐹 ⊆ 𝑋)
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 ⊆ 𝑋)
4		filtop 23803	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
5		unissel 4896	. 2 ⊢ ((∪ 𝐹 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → ∪ 𝐹 = 𝑋)
6	3, 4, 5	syl2anc 585	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4555  ∪ cuni 4864  ‘cfv 6493  Filcfil 23793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-fbas 21310  df-fil 23794

This theorem is referenced by:  filunirn  23830  filconn  23831  uffixfr  23871  uffix2  23872  uffixsn  23873  ufildr  23879  flimtopon  23918  flimss1  23921  flffval  23937  fclsval  23956  isfcls  23957  fclstopon  23960  fclsfnflim  23975  fcfval  23981