Theorem filunibas 23868

Description: Recover the base set from a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filunibas	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)

Proof of Theorem filunibas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filsspw 23838	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
2		sspwuni 5032	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐹 ⊆ 𝑋)
3	1, 2	sylib 220	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 ⊆ 𝑋)
4		filtop 23842	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
5		unissel 4873	. 2 ⊢ ((∪ 𝐹 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) → ∪ 𝐹 = 𝑋)
6	3, 4, 5	syl2anc 591	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∪ 𝐹 = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3885  𝒫 cpw 4532  ∪ cuni 4841  ‘cfv 6489  Filcfil 23832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fv 6497  df-fbas 21348  df-fil 23833

This theorem is referenced by:  filunirn  23869  filconn  23870  uffixfr  23910  uffix2  23911  uffixsn  23912  ufildr  23918  flimtopon  23957  flimss1  23960  flffval  23976  fclsval  23995  isfcls  23996  fclstopon  23999  fclsfnflim  24014  fcfval  24020