Theorem ustimasn 23578

Description: Lemma for ustuqtop 23596. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ustimasn	⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑉 “ {𝑃}) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem ustimasn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 6024	. 2 ⊢ (𝑉 “ {𝑃}) ⊆ ran 𝑉
2		ustssxp 23554	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
3	2	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
4		rnss 5894	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → ran 𝑉 ⊆ ran (𝑋 × 𝑋))
5		rnxpid 6125	. . . 4 ⊢ ran (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
6	4, 5	sseqtrdi 3994	. . 3 ⊢ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → ran 𝑉 ⊆ 𝑋)
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ran 𝑉 ⊆ 𝑋)
8	1, 7	sstrid 3955	1 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑉 “ {𝑃}) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3910  {csn 4586   × cxp 5631  ran crn 5634   “ cima 5636  ‘cfv 6496  UnifOncust 23549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fv 6504  df-ust 23550

This theorem is referenced by:  ustuqtop0  23590  ustuqtop4  23594  utopreg  23602  ucncn  23635