Theorem ustimasn 24508

Description: Lemma for ustuqtop 24526. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ustimasn	⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑉 “ {𝑃}) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem ustimasn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 6061	. 2 ⊢ (𝑉 “ {𝑃}) ⊆ ran 𝑉
2		ustssxp 24485	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
3	2	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
4		rnss 5917	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → ran 𝑉 ⊆ ran (𝑋 × 𝑋))
5		rnxpid 6160	. . . 4 ⊢ ran (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
6	4, 5	sseqtrdi 3970	. . 3 ⊢ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → ran 𝑉 ⊆ 𝑋)
7	3, 6	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ran 𝑉 ⊆ 𝑋)
8	1, 7	sstrid 3941	1 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑉 “ {𝑃}) ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898  {csn 4583   × cxp 5645  ran crn 5648   “ cima 5650  ‘cfv 6527  UnifOncust 24480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fv 6535  df-ust 24481

This theorem is used by:  ustuqtop0  24520  ustuqtop4  24524  utopreg  24532  ucncn  24564