Theorem ustimasn 24577

Description: Lemma for ustuqtop 24595. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ustimasn	⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑉 “ {𝑃}) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem ustimasn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 6210	. 2 ⊢ (𝑉 “ {𝑃}) ⊆ ran 𝑉
2		ustssxp 24554	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
3	2	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
4		rnss 5928	. . . 4 ⊢ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → ran 𝑉 ⊆ ran (𝑋 × 𝑋))
5		rnxpid 6177	. . . 4 ⊢ ran (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
6	4, 5	sseqtrdi 3953	. . 3 ⊢ (𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → ran 𝑉 ⊆ 𝑋)
7	3, 6	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ran 𝑉 ⊆ 𝑋)
8	1, 7	sstrid 3924	1 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑉 “ {𝑃}) ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  {csn 4588   × cxp 5653  ran crn 5656   “ cima 5658  ‘cfv 6558  UnifOncust 24549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fv 6566  df-ust 24550

This theorem is used by:  ustuqtop0  24589  ustuqtop4  24593  utopreg  24601  ucncn  24633