MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  utopreg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem utopreg 24107
Description: All Hausdorff uniform spaces are regular. Proposition 3 of [BourbakiTop1] p. II.5. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
utopreg.1 𝐽 = (unifTopβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
utopreg ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) β†’ 𝐽 ∈ Reg)

Proof of Theorem utopreg
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑣 𝑀 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 utopreg.1 . . 3 𝐽 = (unifTopβ€˜π‘ˆ)
2 utoptop 24089 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (unifTopβ€˜π‘ˆ) ∈ Top)
32adantr 480 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) β†’ (unifTopβ€˜π‘ˆ) ∈ Top)
41, 3eqeltrid 2831 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) β†’ 𝐽 ∈ Top)
5 simp-4l 780 . . . . . . . . 9 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž))
64ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) β†’ 𝐽 ∈ Top)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
8 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)
9 simp-4l 780 . . . . . . . . . 10 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
10 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)
114ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐽 ∈ Top)
12 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ž ∈ 𝐽)
13 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1413eltopss 22759 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝐽)
1511, 12, 14syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝐽)
16 utopbas 24090 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ (unifTopβ€˜π‘ˆ))
171unieqi 4914 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (unifTopβ€˜π‘ˆ)
1816, 17eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
199, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
2015, 19sseqtrrd 4018 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑋)
21 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ž)
2220, 21sseldd 3978 . . . . . . . . . 10 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
231utopsnnei 24104 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 β€œ {π‘₯}) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}))
249, 10, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑀 β€œ {π‘₯}) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}))
255, 8, 24syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑀 β€œ {π‘₯}) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}))
26 neii2 22962 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑀 β€œ {π‘₯}) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯})) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯})))
277, 25, 26syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯})))
28 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯}))) β†’ {π‘₯} βŠ† 𝑏)
29 vex 3472 . . . . . . . . . . . 12 π‘₯ ∈ V
3029snss 4784 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝑏 ↔ {π‘₯} βŠ† 𝑏)
3128, 30sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯}))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑏)
327ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯}))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
33 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
345, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
3534ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯}))) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
368ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯}))) β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)
37 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ 𝐽)
386, 37, 14syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝐽)
3933, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
4038, 39sseqtrrd 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑋)
41 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ž)
4240, 41sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
4342ad6antr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯}))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
44 ustimasn 24083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋)
4535, 36, 43, 44syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯}))) β†’ (𝑀 β€œ {π‘₯}) βŠ† 𝑋)
4635, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯}))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
4745, 46sseqtrd 4017 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯}))) β†’ (𝑀 β€œ {π‘₯}) βŠ† βˆͺ 𝐽)
48 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯}))) β†’ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯}))
4913clsss 22908 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑀 β€œ {π‘₯}) βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯})) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘) βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑀 β€œ {π‘₯})))
5032, 47, 48, 49syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯}))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘) βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑀 β€œ {π‘₯})))
51 ustssxp 24059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑀 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
5234, 8, 51syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑀 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
5334, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
5453sqxpeqd 5701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) = (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐽))
5552, 54sseqtrd 4017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ 𝑀 βŠ† (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐽))
565, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝐽)
57 simp-5r 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ž)
5856, 57sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽)
5913, 13imasncls 23546 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 ∈ Top) ∧ (𝑀 βŠ† (βˆͺ 𝐽 Γ— βˆͺ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑀 β€œ {π‘₯})) βŠ† (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜π‘€) β€œ {π‘₯}))
607, 7, 55, 58, 59syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑀 β€œ {π‘₯})) βŠ† (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜π‘€) β€œ {π‘₯}))
61 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ ◑𝑀 = 𝑀)
621utop3cls 24106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋)) ∧ (𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ ◑𝑀 = 𝑀)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜π‘€) βŠ† (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)))
6334, 52, 8, 61, 62syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜π‘€) βŠ† (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)))
64 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)
6563, 64sstrd 3987 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ ((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜π‘€) βŠ† 𝑣)
66 imass1 6093 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜π‘€) βŠ† 𝑣 β†’ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜π‘€) β€œ {π‘₯}) βŠ† (𝑣 β€œ {π‘₯}))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ (((clsβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐽))β€˜π‘€) β€œ {π‘₯}) βŠ† (𝑣 β€œ {π‘₯}))
6860, 67sstrd 3987 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑀 β€œ {π‘₯})) βŠ† (𝑣 β€œ {π‘₯}))
6968ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯}))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(𝑀 β€œ {π‘₯})) βŠ† (𝑣 β€œ {π‘₯}))
7050, 69sstrd 3987 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯}))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘) βŠ† (𝑣 β€œ {π‘₯}))
71 simp-5r 783 . . . . . . . . . . 11 ((((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯}))) β†’ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯}))
7270, 71sseqtrrd 4018 . . . . . . . . . 10 ((((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯}))) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘) βŠ† π‘Ž)
7331, 72jca 511 . . . . . . . . 9 ((((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) ∧ ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯}))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑏 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘) βŠ† π‘Ž))
7473ex 412 . . . . . . . 8 (((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽) β†’ (({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯})) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑏 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘) βŠ† π‘Ž)))
7574reximdva 3162 . . . . . . 7 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 ({π‘₯} βŠ† 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† (𝑀 β€œ {π‘₯})) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑏 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘) βŠ† π‘Ž)))
7627, 75mpd 15 . . . . . 6 ((((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑏 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘) βŠ† π‘Ž))
77 simp-5l 782 . . . . . . 7 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
78 simplr 766 . . . . . . 7 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) β†’ 𝑣 ∈ π‘ˆ)
79 ustex3sym 24072 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣))
8077, 78, 79syl2anc 583 . . . . . 6 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ (𝑀 ∘ (𝑀 ∘ 𝑀)) βŠ† 𝑣))
8176, 80r19.29a 3156 . . . . 5 ((((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑏 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘) βŠ† π‘Ž))
82 opnneip 22973 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}))
836, 37, 41, 82syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}))
841utopsnneip 24103 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) = ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {π‘₯})))
8533, 42, 84syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) = ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {π‘₯})))
8683, 85eleqtrd 2829 . . . . . 6 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {π‘₯})))
87 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {π‘₯})) = (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {π‘₯}))
8887elrnmpt 5948 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝐽 β†’ (π‘Ž ∈ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {π‘₯})) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})))
8937, 88syl 17 . . . . . 6 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) β†’ (π‘Ž ∈ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {π‘₯})) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯})))
9086, 89mpbid 231 . . . . 5 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ π‘ˆ π‘Ž = (𝑣 β€œ {π‘₯}))
9181, 90r19.29a 3156 . . . 4 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑏 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘) βŠ† π‘Ž))
9291ralrimiva 3140 . . 3 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑏 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘) βŠ† π‘Ž))
9392ralrimiva 3140 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑏 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘) βŠ† π‘Ž))
94 isreg 23186 . 2 (𝐽 ∈ Reg ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 βˆ€π‘₯ ∈ π‘Ž βˆƒπ‘ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑏 ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘) βŠ† π‘Ž)))
954, 93, 94sylanbrc 582 1 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ Haus) β†’ 𝐽 ∈ Reg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668  ran crn 5670   β€œ cima 5672   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Topctop 22745  clsccl 22872  neicnei 22951  Hauscha 23162  Regcreg 23163   Γ—t ctx 23414  UnifOncust 24054  unifTopcutop 24085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405  df-topgen 17395  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-reg 23170  df-tx 23416  df-ust 24055  df-utop 24086
This theorem is referenced by:  uspreg  24129
  Copyright terms: Public domain W3C validator