Theorem rnss 5837

Description: Subset theorem for range. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
rnss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Proof of Theorem rnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvss 5770	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ◡𝐴 ⊆ ◡𝐵)
2		dmss 5800	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ⊆ ◡𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
4		df-rn 5591	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		df-rn 5591	. 2 ⊢ ran 𝐵 = dom ◡𝐵
6	3, 4, 5	3sstr4g 3962	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3883  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580  ran crn 5581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-cnv 5588  df-dm 5590  df-rn 5591

This theorem is referenced by:  rnssi  5838  imass1  5998  imass2  5999  ssxpb  6066  sofld  6079  resssxp  6162  funssxp  6613  dff2  6957  dff3  6958  fliftf  7166  1stcof  7834  2ndcof  7835  frxp  7938  fodomfi  9022  marypha1lem  9122  marypha1  9123  dfac12lem2  9831  fpwwe2lem12  10329  prdsvallem  17082  prdsval  17083  prdsbas  17085  prdsplusg  17086  prdsmulr  17087  prdsvsca  17088  prdshom  17095  catcfuccl  17750  catcfucclOLD  17751  catcxpccl  17840  catcxpcclOLD  17841  odf1o2  19093  dprdres  19546  lmss  22357  txss12  22664  txbasval  22665  fmss  23005  tsmsxplem1  23212  ustimasn  23288  utopbas  23295  metustexhalf  23618  causs  24367  ovoliunlem1  24571  dvcnvrelem1  25086  taylf  25425  subgrprop3  27546  sspba  28990  imadifxp  30841  gsumpart  31217  metideq  31745  sxbrsigalem5  32155  omsmon  32165  carsggect  32185  carsgclctunlem2  32186  frxp2  33718  frxp3  33724  heicant  35739  mblfinlem1  35741  symrefref2  36604  dicval  39117  rntrclfvOAI  40429  diophrw  40497  dnnumch2  40786  lmhmlnmsplit  40828  hbtlem6  40870  mptrcllem  41110  rntrcl  41125  dfrcl2  41171  relexpss1d  41202  rfovcnvf1od  41501  supcnvlimsup  43171  fourierdlem42  43580  sge0less  43820