Theorem rnss 5903

Description: Subset theorem for range. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
rnss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Proof of Theorem rnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvss 5836	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ◡𝐴 ⊆ ◡𝐵)
2		dmss 5866	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ⊆ ◡𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
4		df-rn 5649	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		df-rn 5649	. 2 ⊢ ran 𝐵 = dom ◡𝐵
6	3, 4, 5	3sstr4g 4000	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3914  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649

This theorem is referenced by:  rnssi  5904  imass1  6072  imass2  6073  ssxpb  6147  sofld  6160  resssxp  6243  funssxp  6716  dff2  7071  dff3  7072  fliftf  7290  1stcof  7998  2ndcof  7999  frxp  8105  frxp2  8123  frxp3  8130  fodomfi  9261  fodomfiOLD  9281  marypha1lem  9384  marypha1  9385  dfac12lem2  10098  fpwwe2lem12  10595  prdsvallem  17417  prdsval  17418  prdsbas  17420  prdsplusg  17421  prdsmulr  17422  prdsvsca  17423  prdshom  17430  catcfuccl  18080  catcxpccl  18168  odf1o2  19503  dprdres  19960  lmss  23185  txss12  23492  txbasval  23493  fmss  23833  tsmsxplem1  24040  ustimasn  24116  utopbas  24123  metustexhalf  24444  causs  25198  ovoliunlem1  25403  dvcnvrelem1  25922  taylf  26268  subgrprop3  29203  sspba  30656  imadifxp  32530  gsumpart  32997  metideq  33883  sxbrsigalem5  34279  omsmon  34289  carsggect  34309  carsgclctunlem2  34310  heicant  37649  mblfinlem1  37651  symrefref2  38554  dicval  41170  aks6d1c2  42118  rntrclfvOAI  42679  diophrw  42747  dnnumch2  43034  lmhmlnmsplit  43076  hbtlem6  43118  mptrcllem  43602  rntrcl  43617  dfrcl2  43663  relexpss1d  43694  rfovcnvf1od  43993  supcnvlimsup  45738  fourierdlem42  46147  sge0less  46390  isubgredgss  47865