Theorem rnss 5936

Description: Subset theorem for range. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
rnss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Proof of Theorem rnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvss 5870	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ◡𝐴 ⊆ ◡𝐵)
2		dmss 5900	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ⊆ ◡𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
4		df-rn 5684	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		df-rn 5684	. 2 ⊢ ran 𝐵 = dom ◡𝐵
6	3, 4, 5	3sstr4g 4024	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3945  ^◡ccnv 5672  dom cdm 5673  ran crn 5674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2699

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5144  df-opab 5206  df-cnv 5681  df-dm 5683  df-rn 5684

This theorem is referenced by:  rnssi  5937  imass1  6100  imass2  6101  ssxpb  6173  sofld  6186  resssxp  6269  funssxp  6747  dff2  7104  dff3  7105  fliftf  7318  1stcof  8018  2ndcof  8019  frxp  8126  frxp2  8144  frxp3  8151  fodomfi  9344  marypha1lem  9451  marypha1  9452  dfac12lem2  10162  fpwwe2lem12  10660  prdsvallem  17430  prdsval  17431  prdsbas  17433  prdsplusg  17434  prdsmulr  17435  prdsvsca  17436  prdshom  17443  catcfuccl  18102  catcfucclOLD  18103  catcxpccl  18192  catcxpcclOLD  18193  odf1o2  19522  dprdres  19979  lmss  23196  txss12  23503  txbasval  23504  fmss  23844  tsmsxplem1  24051  ustimasn  24127  utopbas  24134  metustexhalf  24459  causs  25220  ovoliunlem1  25425  dvcnvrelem1  25944  taylf  26289  subgrprop3  29083  sspba  30531  imadifxp  32385  gsumpart  32764  metideq  33489  sxbrsigalem5  33903  omsmon  33913  carsggect  33933  carsgclctunlem2  33934  heicant  37123  mblfinlem1  37125  symrefref2  38030  dicval  40644  aks6d1c2  41596  rntrclfvOAI  42102  diophrw  42170  dnnumch2  42460  lmhmlnmsplit  42502  hbtlem6  42544  mptrcllem  43034  rntrcl  43049  dfrcl2  43095  relexpss1d  43126  rfovcnvf1od  43425  supcnvlimsup  45119  fourierdlem42  45528  sge0less  45771