Theorem rnss 5920

Description: Subset theorem for range. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
rnss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Proof of Theorem rnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvss 5849	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ◡𝐴 ⊆ ◡𝐵)
2		dmss 5883	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ⊆ ◡𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
4		df-rn 5663	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		df-rn 5663	. 2 ⊢ ran 𝐵 = dom ◡𝐵
6	3, 4, 5	3sstr4g 3992	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3907  ^◡ccnv 5651  dom cdm 5652  ran crn 5653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5106  df-opab 5168  df-cnv 5660  df-dm 5662  df-rn 5663

This theorem is referenced by:  rnssi  5921  imass1  6094  imass2  6095  ssxpb  6164  sofld  6177  resssxp  6261  funssxp  6724  dff2  7084  dff3  7085  fliftf  7303  1stcof  8004  2ndcof  8005  frxp  8110  frxp2  8128  frxp3  8135  fodomfi  9260  marypha1lem  9381  marypha1  9382  dfac12lem2  10116  fpwwe2lem12  10615  prdsvallem  17497  prdsval  17498  prdsbas  17500  prdsplusg  17501  prdsmulr  17502  prdsvsca  17503  prdshom  17510  catcfuccl  18165  catcxpccl  18253  odf1o2  19634  dprdres  20091  lmss  23416  txss12  23723  txbasval  23724  fmss  24064  tsmsxplem1  24271  ustimasn  24346  utopbas  24353  metustexhalf  24674  causs  25418  ovoliunlem1  25622  dvcnvrelem1  26137  taylf  26482  subgrprop3  29535  sspba  30988  imadifxp  32856  gsumpart  33296  metideq  34200  sxbrsigalem5  34595  omsmon  34605  carsggect  34625  carsgclctunlem2  34626  heicant  38166  mblfinlem1  38168  symrefref2  39158  dicval  41812  aks6d1c2  42759  rntrclfvOAI  43284  diophrw  43352  dnnumch2  43634  lmhmlnmsplit  43676  hbtlem6  43718  mptrcllem  44201  rntrcl  44216  dfrcl2  44262  relexpss1d  44293  rfovcnvf1od  44592  supcnvlimsup  46312  fourierdlem42  46721  sge0less  46964  isubgredgss  48485