Theorem rnss 5899

Description: Subset theorem for range. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
rnss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Proof of Theorem rnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvss 5833	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ◡𝐴 ⊆ ◡𝐵)
2		dmss 5863	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ⊆ ◡𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
4		df-rn 5649	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		df-rn 5649	. 2 ⊢ ran 𝐵 = dom ◡𝐵
6	3, 4, 5	3sstr4g 3992	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3913  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2702

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5111  df-opab 5173  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649

This theorem is referenced by:  rnssi  5900  imass1  6058  imass2  6059  ssxpb  6131  sofld  6144  resssxp  6227  funssxp  6702  dff2  7054  dff3  7055  fliftf  7265  1stcof  7956  2ndcof  7957  frxp  8063  frxp2  8081  frxp3  8088  fodomfi  9276  marypha1lem  9378  marypha1  9379  dfac12lem2  10089  fpwwe2lem12  10587  prdsvallem  17350  prdsval  17351  prdsbas  17353  prdsplusg  17354  prdsmulr  17355  prdsvsca  17356  prdshom  17363  catcfuccl  18019  catcfucclOLD  18020  catcxpccl  18109  catcxpcclOLD  18110  odf1o2  19369  dprdres  19821  lmss  22686  txss12  22993  txbasval  22994  fmss  23334  tsmsxplem1  23541  ustimasn  23617  utopbas  23624  metustexhalf  23949  causs  24699  ovoliunlem1  24903  dvcnvrelem1  25418  taylf  25757  subgrprop3  28287  sspba  29732  imadifxp  31586  gsumpart  31967  metideq  32563  sxbrsigalem5  32977  omsmon  32987  carsggect  33007  carsgclctunlem2  33008  heicant  36186  mblfinlem1  36188  symrefref2  37098  dicval  39712  rntrclfvOAI  41072  diophrw  41140  dnnumch2  41430  lmhmlnmsplit  41472  hbtlem6  41514  mptrcllem  42007  rntrcl  42022  dfrcl2  42068  relexpss1d  42099  rfovcnvf1od  42398  supcnvlimsup  44101  fourierdlem42  44510  sge0less  44753