Theorem rnss 5927

Description: Subset theorem for range. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
rnss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Proof of Theorem rnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvss 5856	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ◡𝐴 ⊆ ◡𝐵)
2		dmss 5890	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ⊆ ◡𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
4		df-rn 5670	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		df-rn 5670	. 2 ⊢ ran 𝐵 = dom ◡𝐵
6	3, 4, 5	3sstr4g 3987	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ⊆ wss 3902  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  ran crn 5660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670

This theorem is used by:  rnssi  5928  imass1  6101  imass2  6102  ssxpb  6171  sofld  6184  resssxp  6271  funssxp  6735  dff2  7096  dff3  7097  fliftf  7320  1stcof  8020  2ndcof  8021  frxp  8128  frxp2  8146  frxp3  8153  fodomfi  9286  marypha1lem  9407  marypha1  9408  dfac12lem2  10151  fpwwe2lem12  10655  prdsvallem  17545  prdsval  17546  prdsbas  17548  prdsplusg  17549  prdsmulr  17550  prdsvsca  17551  prdshom  17558  catcfuccl  18213  catcxpccl  18301  odf1o2  19706  dprdres  20163  lmss  23529  txss12  23837  txbasval  23838  fmss  24178  tsmsxplem1  24385  ustimasn  24460  utopbas  24467  metustexhalf  24788  causs  25532  ovoliunlem1  25736  dvcnvrelem1  26251  taylf  26604  subgrprop3  29744  sspba  31216  imadifxp  33082  gsumpart  33511  metideq  34411  sxbrsigalem5  34807  omsmon  34817  carsggect  34837  carsgclctunlem2  34838  heicant  38412  mblfinlem1  38414  symrefref2  39403  dicval  42057  aks6d1c2  43004  rntrclfvOAI  43544  diophrw  43612  dnnumch2  43894  lmhmlnmsplit  43936  hbtlem6  43978  mptrcllem  44461  rntrcl  44476  dfrcl2  44522  relexpss1d  44553  rfovcnvf1od  44852  supcnvlimsup  46576  fourierdlem42  46985  sge0less  47228  isubgredgss  48789