Theorem rnss 5793

Description: Subset theorem for range. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
rnss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Proof of Theorem rnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvss 5726	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ◡𝐴 ⊆ ◡𝐵)
2		dmss 5756	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ⊆ ◡𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
4		df-rn 5547	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		df-rn 5547	. 2 ⊢ ran 𝐵 = dom ◡𝐵
6	3, 4, 5	3sstr4g 3932	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3853  ^◡ccnv 5535  dom cdm 5536  ran crn 5537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-br 5040  df-opab 5102  df-cnv 5544  df-dm 5546  df-rn 5547

This theorem is referenced by:  rnssi  5794  imass1  5949  imass2  5950  ssxpb  6017  sofld  6030  resssxp  6113  funssxp  6552  dff2  6896  dff3  6897  fliftf  7102  1stcof  7769  2ndcof  7770  frxp  7871  fodomfi  8927  marypha1lem  9027  marypha1  9028  dfac12lem2  9723  fpwwe2lem12  10221  prdsvallem  16913  prdsval  16914  prdsbas  16916  prdsplusg  16917  prdsmulr  16918  prdsvsca  16919  prdshom  16926  catcfuccl  17579  catcfucclOLD  17580  catcxpccl  17668  catcxpcclOLD  17669  odf1o2  18916  dprdres  19369  lmss  22149  txss12  22456  txbasval  22457  fmss  22797  tsmsxplem1  23004  ustimasn  23080  utopbas  23087  metustexhalf  23408  causs  24149  ovoliunlem1  24353  dvcnvrelem1  24868  taylf  25207  subgrprop3  27318  sspba  28762  imadifxp  30613  gsumpart  30988  metideq  31511  sxbrsigalem5  31921  omsmon  31931  carsggect  31951  carsgclctunlem2  31952  frxp2  33471  frxp3  33477  heicant  35498  mblfinlem1  35500  symrefref2  36363  dicval  38876  rntrclfvOAI  40157  diophrw  40225  dnnumch2  40514  lmhmlnmsplit  40556  hbtlem6  40598  mptrcllem  40838  rntrcl  40853  dfrcl2  40900  relexpss1d  40931  rfovcnvf1od  41230  supcnvlimsup  42899  fourierdlem42  43308  sge0less  43548