MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnss 5777
Description: Subset theorem for range. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
rnss (𝐴𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Proof of Theorem rnss
StepHypRef Expression
1 cnvss 5711 . . 3 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2 dmss 5739 . . 3 (𝐴𝐵 → dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵)
31, 2syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵)
4 df-rn 5534 . 2 ran 𝐴 = dom 𝐴
5 df-rn 5534 . 2 ran 𝐵 = dom 𝐵
63, 4, 53sstr4g 3963 1 (𝐴𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wss 3884  ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-v 3446  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-br 5034  df-opab 5096  df-cnv 5531  df-dm 5533  df-rn 5534
This theorem is referenced by:  rnssi  5778  imass1  5935  imass2  5936  ssxpb  6002  sofld  6015  resssxp  6093  funssxp  6513  dff2  6846  dff3  6847  fliftf  7051  1stcof  7705  2ndcof  7706  frxp  7807  fodomfi  8785  marypha1lem  8885  marypha1  8886  dfac12lem2  9559  fpwwe2lem13  10057  prdsval  16724  prdsbas  16726  prdsplusg  16727  prdsmulr  16728  prdsvsca  16729  prdshom  16736  catcfuccl  17365  catcxpccl  17453  odf1o2  18694  dprdres  19147  lmss  21907  txss12  22214  txbasval  22215  fmss  22555  tsmsxplem1  22762  ustimasn  22838  utopbas  22845  metustexhalf  23167  causs  23906  ovoliunlem1  24110  dvcnvrelem1  24624  taylf  24960  subgrprop3  27070  sspba  28514  imadifxp  30368  gsumpart  30744  metideq  31250  sxbrsigalem5  31660  omsmon  31670  carsggect  31690  carsgclctunlem2  31691  heicant  35091  mblfinlem1  35093  symrefref2  35958  dicval  38471  rntrclfvOAI  39629  diophrw  39697  dnnumch2  39986  lmhmlnmsplit  40028  hbtlem6  40070  mptrcllem  40310  rntrcl  40325  dfrcl2  40372  relexpss1d  40403  rfovcnvf1od  40702  supcnvlimsup  42379  fourierdlem42  42788  sge0less  43028
  Copyright terms: Public domain W3C validator