Theorem rnss 5913

Description: Subset theorem for range. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
rnss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Proof of Theorem rnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvss 5842	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ◡𝐴 ⊆ ◡𝐵)
2		dmss 5876	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ⊆ ◡𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
4		df-rn 5656	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		df-rn 5656	. 2 ⊢ ran 𝐵 = dom ◡𝐵
6	3, 4, 5	3sstr4g 3989	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3904  ^◡ccnv 5644  dom cdm 5645  ran crn 5646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-cnv 5653  df-dm 5655  df-rn 5656

This theorem is referenced by:  rnssi  5914  imass1  6087  imass2  6088  ssxpb  6156  sofld  6169  resssxp  6253  funssxp  6716  dff2  7076  dff3  7077  fliftf  7295  1stcof  7996  2ndcof  7997  frxp  8101  frxp2  8119  frxp3  8126  fodomfi  9252  fodomfiOLD  9270  marypha1lem  9376  marypha1  9377  dfac12lem2  10098  fpwwe2lem12  10597  prdsvallem  17466  prdsval  17467  prdsbas  17469  prdsplusg  17470  prdsmulr  17471  prdsvsca  17472  prdshom  17479  catcfuccl  18134  catcxpccl  18222  odf1o2  19596  dprdres  20053  lmss  23338  txss12  23645  txbasval  23646  fmss  23986  tsmsxplem1  24193  ustimasn  24268  utopbas  24275  metustexhalf  24596  causs  25340  ovoliunlem1  25544  dvcnvrelem1  26059  taylf  26401  subgrprop3  29423  sspba  30876  imadifxp  32750  gsumpart  33204  metideq  34151  sxbrsigalem5  34546  omsmon  34556  carsggect  34576  carsgclctunlem2  34577  heicant  38118  mblfinlem1  38120  symrefref2  39110  dicval  41764  aks6d1c2  42711  rntrclfvOAI  43236  diophrw  43304  dnnumch2  43586  lmhmlnmsplit  43628  hbtlem6  43670  mptrcllem  44153  rntrcl  44168  dfrcl2  44214  relexpss1d  44245  rfovcnvf1od  44544  supcnvlimsup  46278  fourierdlem42  46687  sge0less  46930  isubgredgss  48451