Theorem rnss 5939

Description: Subset theorem for range. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
rnss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Proof of Theorem rnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvss 5873	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ◡𝐴 ⊆ ◡𝐵)
2		dmss 5903	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ⊆ ◡𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom ◡𝐴 ⊆ dom ◡𝐵)
4		df-rn 5688	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		df-rn 5688	. 2 ⊢ ran 𝐵 = dom ◡𝐵
6	3, 4, 5	3sstr4g 4028	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3949  ^◡ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688

This theorem is referenced by:  rnssi  5940  imass1  6101  imass2  6102  ssxpb  6174  sofld  6187  resssxp  6270  funssxp  6747  dff2  7101  dff3  7102  fliftf  7312  1stcof  8005  2ndcof  8006  frxp  8112  frxp2  8130  frxp3  8137  fodomfi  9325  marypha1lem  9428  marypha1  9429  dfac12lem2  10139  fpwwe2lem12  10637  prdsvallem  17400  prdsval  17401  prdsbas  17403  prdsplusg  17404  prdsmulr  17405  prdsvsca  17406  prdshom  17413  catcfuccl  18069  catcfucclOLD  18070  catcxpccl  18159  catcxpcclOLD  18160  odf1o2  19441  dprdres  19898  lmss  22802  txss12  23109  txbasval  23110  fmss  23450  tsmsxplem1  23657  ustimasn  23733  utopbas  23740  metustexhalf  24065  causs  24815  ovoliunlem1  25019  dvcnvrelem1  25534  taylf  25873  subgrprop3  28533  sspba  29980  imadifxp  31832  gsumpart  32207  metideq  32873  sxbrsigalem5  33287  omsmon  33297  carsggect  33317  carsgclctunlem2  33318  heicant  36523  mblfinlem1  36525  symrefref2  37433  dicval  40047  rntrclfvOAI  41429  diophrw  41497  dnnumch2  41787  lmhmlnmsplit  41829  hbtlem6  41871  mptrcllem  42364  rntrcl  42379  dfrcl2  42425  relexpss1d  42456  rfovcnvf1od  42755  supcnvlimsup  44456  fourierdlem42  44865  sge0less  45108