MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ustuqtop0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ustuqtop0 24163
Description: Lemma for ustuqtop 24169. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
utopustuq.1 𝑁 = (𝑝 ∈ 𝑋 ↦ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})))
Assertion
Ref Expression
ustuqtop0 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑁:π‘‹βŸΆπ’« 𝒫 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑝,π‘ˆ   𝑋,𝑝,𝑣   𝑁,𝑝
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑣)
Proof of Theorem ustuqtop0
StepHypRef Expression
1 ustimasn 24151 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ (𝑣 β€œ {𝑝}) βŠ† 𝑋)
213expa 1115 . . . . . . 7 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ (𝑣 β€œ {𝑝}) βŠ† 𝑋)
32an32s 650 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑣 β€œ {𝑝}) βŠ† 𝑋)
4 vex 3467 . . . . . . . 8 𝑣 ∈ V
54imaex 7920 . . . . . . 7 (𝑣 β€œ {𝑝}) ∈ V
65elpw 4602 . . . . . 6 ((𝑣 β€œ {𝑝}) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑣 β€œ {𝑝}) βŠ† 𝑋)
73, 6sylibr 233 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑣 β€œ {𝑝}) ∈ 𝒫 𝑋)
87ralrimiva 3136 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {𝑝}) ∈ 𝒫 𝑋)
9 eqid 2725 . . . . 5 (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})) = (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝}))
109rnmptss 7128 . . . 4 (βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (𝑣 β€œ {𝑝}) ∈ 𝒫 𝑋 β†’ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})) βŠ† 𝒫 𝑋)
118, 10syl 17 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})) βŠ† 𝒫 𝑋)
12 mptexg 7229 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})) ∈ V)
13 rnexg 7908 . . . . 5 ((𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})) ∈ V β†’ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})) ∈ V)
14 elpwg 4601 . . . . 5 (ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})) ∈ V β†’ (ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})) βŠ† 𝒫 𝑋))
1512, 13, 143syl 18 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})) βŠ† 𝒫 𝑋))
1615adantr 479 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ (ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})) βŠ† 𝒫 𝑋))
1711, 16mpbird 256 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})) ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
18 utopustuq.1 . 2 𝑁 = (𝑝 ∈ 𝑋 ↦ ran (𝑣 ∈ π‘ˆ ↦ (𝑣 β€œ {𝑝})))
1917, 18fmptd 7119 1 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑁:π‘‹βŸΆπ’« 𝒫 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939  π’« cpw 4598  {csn 4624   ↦ cmpt 5226  ran crn 5673   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  UnifOncust 24122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ust 24123
This theorem is referenced by:  ustuqtop  24169  utopsnneiplem  24170
  Copyright terms: Public domain W3C validator