NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  rabxp GIF version

Theorem rabxp 4814
Description: Membership in a class builder restricted to a cross product. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rabxp.1 (x = y, z → (φψ))
Assertion
Ref Expression
rabxp {x (A × B) φ} = {y, z (y A z B ψ)}
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   φ,y,z   ψ,x
Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y,z)

Proof of Theorem rabxp
StepHypRef Expression
1 elxp 4801 . . . . 5 (x (A × B) ↔ yz(x = y, z (y A z B)))
21anbi1i 676 . . . 4 ((x (A × B) φ) ↔ (yz(x = y, z (y A z B)) φ))
3 19.41vv 1902 . . . 4 (yz((x = y, z (y A z B)) φ) ↔ (yz(x = y, z (y A z B)) φ))
4 anass 630 . . . . . 6 (((x = y, z (y A z B)) φ) ↔ (x = y, z ((y A z B) φ)))
5 rabxp.1 . . . . . . . . 9 (x = y, z → (φψ))
65anbi2d 684 . . . . . . . 8 (x = y, z → (((y A z B) φ) ↔ ((y A z B) ψ)))
7 df-3an 936 . . . . . . . 8 ((y A z B ψ) ↔ ((y A z B) ψ))
86, 7syl6bbr 254 . . . . . . 7 (x = y, z → (((y A z B) φ) ↔ (y A z B ψ)))
98pm5.32i 618 . . . . . 6 ((x = y, z ((y A z B) φ)) ↔ (x = y, z (y A z B ψ)))
104, 9bitri 240 . . . . 5 (((x = y, z (y A z B)) φ) ↔ (x = y, z (y A z B ψ)))
11102exbii 1583 . . . 4 (yz((x = y, z (y A z B)) φ) ↔ yz(x = y, z (y A z B ψ)))
122, 3, 113bitr2i 264 . . 3 ((x (A × B) φ) ↔ yz(x = y, z (y A z B ψ)))
1312abbii 2465 . 2 {x (x (A × B) φ)} = {x yz(x = y, z (y A z B ψ))}
14 df-rab 2623 . 2 {x (A × B) φ} = {x (x (A × B) φ)}
15 df-opab 4623 . 2 {y, z (y A z B ψ)} = {x yz(x = y, z (y A z B ψ))}
1613, 14, 153eqtr4i 2383 1 {x (A × B) φ} = {y, z (y A z B ψ)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1541   = wceq 1642   wcel 1710  {cab 2339  {crab 2618  cop 4561  {copab 4622   × cxp 4770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-phi 4565  df-op 4566  df-opab 4623  df-xp 4784
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator