MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumle 14477
Description: If all of the terms of finite sums compare, so do the sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumle.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumle.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumle.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fsumle.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
fsumle (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumle
StepHypRef Expression
1 fsumle.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumle.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3 fsumle.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
42, 3resubcld 10418 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
5 fsumle.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
62, 3subge0d 10577 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (0 ≤ (𝐶𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
75, 6mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ (𝐶𝐵))
81, 4, 7fsumge0 14473 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 (𝐶𝐵))
92recnd 10028 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
103recnd 10028 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
111, 9, 10fsumsub 14467 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐶𝐵) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 − Σ𝑘𝐴 𝐵))
128, 11breqtrd 4649 . 2 (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘𝐴 𝐶 − Σ𝑘𝐴 𝐵))
131, 2fsumrecl 14414 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℝ)
141, 3fsumrecl 14414 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
1513, 14subge0d 10577 . 2 (𝜑 → (0 ≤ (Σ𝑘𝐴 𝐶 − Σ𝑘𝐴 𝐵) ↔ Σ𝑘𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐶))
1612, 15mpbid 222 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  cr 9895  0cc0 9896  cle 10035  cmin 10226  Σcsu 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-ico 12139  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367
This theorem is referenced by:  o1fsum  14491  climcndslem1  14525  climcndslem2  14526  mertenslem1  14560  ovoliunlem1  23210  ovolicc2lem4  23228  uniioombllem4  23294  dvfsumle  23722  dvfsumabs  23724  mtest  24096  mtestbdd  24097  abelthlem7  24130  birthdaylem3  24614  fsumharmonic  24672  ftalem1  24733  ftalem5  24737  basellem8  24748  chtleppi  24869  chpub  24879  logfaclbnd  24881  bposlem1  24943  chebbnd1lem1  25092  chtppilimlem1  25096  vmadivsum  25105  rplogsumlem1  25107  rplogsumlem2  25108  rpvmasumlem  25110  dchrisumlem2  25113  dchrmusum2  25117  dchrvmasumlem3  25122  dchrvmasumiflem1  25124  dchrisum0fno1  25134  dchrisum0lem1  25139  dchrisum0lem2a  25140  mudivsum  25153  mulogsumlem  25154  mulog2sumlem2  25158  vmalogdivsum2  25161  2vmadivsumlem  25163  selberglem2  25169  selbergb  25172  selberg2b  25175  chpdifbndlem1  25176  logdivbnd  25179  selberg3lem1  25180  selberg4lem1  25183  pntrlog2bndlem1  25200  pntrlog2bndlem2  25201  pntrlog2bndlem3  25202  pntrlog2bndlem5  25204  pntrlog2bndlem6  25206  pntpbnd2  25210  pntlemj  25226  knoppndvlem11  32208  geomcau  33226  stoweidlem11  39565  stoweidlem26  39580  stoweidlem38  39592  stirlinglem12  39639  etransclem23  39811  etransclem32  39820  sge0le  39961  hoidmvlelem2  40147
  Copyright terms: Public domain W3C validator